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知識點01:解分式方程【高頻考點精講】1.解分式方程的步驟(1)去分母。方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程。(2)去括號。系數(shù)分別乘以括號里的數(shù)。(3)移項。含有未知數(shù)的式子移到方程左邊,常數(shù)移到方程右邊。(4)合并同類項。(5)系數(shù)化為1。(6)檢驗。把整式方程的根代入最簡公分母,如果最簡公分母等于0,這個根就是增根;如果最簡公分母不等于0,這個根就是原分式方程的根;如果解出的根是增根,那么原方程無解。2.換元法解分式方程(1)將原分式方程中含有字母的整體用另一個字母代替,從而使問題得到簡化,這種方法叫做換元法。(2)常見類型①直接換元。例如,設(shè)。②配方換元。例如,原方程配方,得,設(shè)。③倒數(shù)換元。例如,設(shè)。④變形換元。例如,可變形為,設(shè)。知識點02:由實際問題抽象出分式方程【高頻考點精講】1.利用常見數(shù)量關(guān)系確定等量關(guān)系。例如行程問題中的相遇時間、追擊時間相等。2.利用關(guān)鍵詞確定等量關(guān)系。例如“倍”“多”“少”等。檢測時間:90分鐘試題滿分:100分難度系數(shù):0.56一.選擇題(共10小題,滿分20分,每小題2分)1.(2分)(2023?哈爾濱)方程=的解為()A.x=1 B.x=﹣1 C.x=2 D.x=﹣22.(2分)(2023?德州)某次列車平均提速v千米/小時,用相同的時間,列車提速前行駛s千米,相同的時間,提速后比提速前多行駛50千米,根據(jù)以上信息,下列說法正確的是()A.若設(shè)提速后這次列車的平均速度為x千米/小時,則可列方程為 B.若設(shè)提速后這次列車的平均速度為x千米/小時,則可列方程為 C.若設(shè)提速前這次列車的平均速度為y千米/小時,則可列方程為 D.若設(shè)提速前這次列車的平均速度為y千米/小時,則可列方程為3.(2分)(2023?大連)解方程去分母,兩邊同乘(x﹣1)后的式子為()A.1+3=3x(1﹣x) B.1+3(x﹣1)=﹣3x C.x﹣1+3=﹣3x D.1+3(x﹣1)=3x4.(2分)(2023?深圳)某運輸公司運輸一批貨物,已知大貨車比小貨車每輛多運輸5噸貨物,且大貨車運輸75噸貨物所用車輛數(shù)與小貨車運輸50噸貨物所用車輛數(shù)相同,設(shè)大貨車每輛運輸x噸,則所列方程正確的是()A.= B.= C.= D.=5.(2分)(2023?聊城)若關(guān)于x的分式方程+1=的解為非負數(shù),則m的取值范圍是()A.m≤1且m≠﹣1 B.m≥﹣1且m≠1 C.m<1且m≠﹣1 D.m>﹣1且m≠16.(2分)(2023?廣元)近年來,我市大力發(fā)展交通,建成多條快速通道,小張開車從家到單位有兩條路線可選擇,路線a為全程10千米的普通道路,路線b包含快速通道,全程7千米,走路線b比路線a平均速度提高40%,時間節(jié)省10分鐘,求走路線a和路線b的平均速度分別是多少?設(shè)走路線a的平均速度為x千米/小時,依題意,可列方程為()A. B. C. D.7.(2分)(2023?東營)為扎實推進“五育”并舉工作,加強勞動教育,東營市某中學針對七年級學生開設(shè)了“跟我學面點”烹飪課程.課程開設(shè)后學?;ㄙM6000元購進第一批面粉,用完后學校又花費9600元購進了第二批面粉,第二批面粉的采購量是第一批采購量的1.5倍,但每千克面粉價格提高了0.4元.設(shè)第一批面粉采購量為x千克,依題意所列方程正確的是()A.﹣=0.4 B.﹣=0.4 C.﹣=0.4 D.﹣=0.48.(2分)(2023?云南)閱讀,正如一束陽光.孩子們無論在哪兒,都可以感受到陽光的照耀,都可以通過閱讀觸及更廣闊的世界.某區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學生推出“童心讀書會”的分享活動.甲、乙兩同學分別從距離活動地點800米和400米的兩地同時出發(fā),參加分享活動.甲同學的速度是乙同學的速度的1.2倍,乙同學比甲同學提前4分鐘到達活動地點.若設(shè)乙同學的速度是x米/分,則下列方程正確的是()A. B. C. D.9.(2分)(2023?遼寧)某校八年級學生去距離學校120km的游覽區(qū)游覽,一部分學生乘慢車先行,出發(fā)1h后,另一部分學生乘快車前往,結(jié)果他們同時到達.已知快車的速度是慢車速度的1.5倍,求慢車的速度.設(shè)慢車的速度是xkm/h,所列方程正確的是()A.+1= B.﹣1= C.= D.=10.(2分)(2023?黑龍江)已知關(guān)于x的分式方程+1=的解是非負數(shù).則m的取值范圍是()A.m≤2 B.m≥2 C.m≤2且m≠﹣2 D.m<2且m≠﹣2二.填空題(共10小題,滿分20分,每小題2分)11.(2分)(2023?青島)某校組織學生進行勞動實踐活動,用1000元購進甲種勞動工具,用2400元購進乙種勞動工具,乙種勞動工具購買數(shù)量是甲種的2倍,但單價貴了4元.設(shè)甲種勞動工具單價為x元,則x滿足的分式方程為.12.(2分)(2023?蘇州)分式方程的解為x=.13.(2分)(2023?永州)若關(guān)于x的分式方程(m為常數(shù))有增根,則增根是.14.(2分)(2023?綿陽)隨著國家提倡節(jié)能減排,新能源車將成為時代“寵兒”.端午節(jié),君君一家駕乘新購買的新能源車,去相距180km的古鎮(zhèn)旅行,原計劃以速度vkm/h勻速前行,因急事以計劃速度的1.2倍勻速行駛,結(jié)果就比原計劃提前了0.5h到達,則原計劃的速度v為km/h.15.(2分)(2023?建華區(qū)三模)若關(guān)于x的分式方程﹣1=有正數(shù)解,求m的取值范圍.16.(2分)(2023?南海區(qū)模擬)分式方程的解是.17.(2分)(2023?高新區(qū)模擬)若關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù),則a的取值范圍是.18.(2分)(2023?眉山)關(guān)于x的方程的解為非負數(shù),則m的取值范圍是.19.(2分)(2023?重慶)若關(guān)于x的不等式組的解集為x<﹣2,且關(guān)于y的分式方程+=2的解為正數(shù),則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為.20.(2分)(2023?沙坪壩區(qū)校級二模)若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x>2,且關(guān)于y的分式方程的解為非負整數(shù),則所有滿足條件的a的值之積為.三.解答題(共8小題,滿分60分)21.(6分)(2023?鎮(zhèn)江)(1)解方程:=+1;解不等式組:.22.(6分)(2023?南通)為推進全民健身設(shè)施建設(shè),某體育中心準備改擴建一塊運動場地.現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工,具體信息如下:信息一工程隊每天施工面積(單位:m2)每天施工費用(單位:元)甲x+3003600乙x2200信息二甲工程隊施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊施工1200m2所需天數(shù)相等.(1)求x的值;(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天,再由乙工程隊單獨繼續(xù)施工,兩隊共施工22天,且完成的施工面積不少于15000m2.該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付多少施工費用?23.(8分)(2023?長春)隨著中國網(wǎng)民規(guī)模突破10億,博物館美育不斷向線上拓展.敦煌研究院順勢推出數(shù)字敦煌文化大使“伽瑤”,受到廣大敦煌文化愛好者的好評.某工廠計劃制作3000個“伽瑤”玩偶擺件,為了盡快完成任務(wù),實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的1.5倍,結(jié)果提前5天完成任務(wù),問原計劃平均每天制作多少個擺件?24.(8分)(2023?寧夏)“人間煙火味,最撫凡人心”,地攤經(jīng)濟、小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要來源.某經(jīng)營者購進了A型和B型兩種玩具,已知用520元購進A型玩具的數(shù)量比用175元購進B型玩具的數(shù)量多30個,且A型玩具單價是B型玩具單價的1.6倍.(1)求兩種型號玩具的單價各是多少元?根據(jù)題意,甲、乙兩名同學分別列出如下方程:甲:=+30,解得x=5,經(jīng)檢驗x=5是原方程的解.乙:=1.6×,解得x=65,經(jīng)檢驗x=65是原方程的解.則甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示該經(jīng)營者準備用1350元以原單價再次購進這兩種型號的玩具共200個,則最多可購進A型玩具多少個?25.(8分)(2023?黑龍江)2023年5月30日上午9點31分,神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空.某中學組織畢業(yè)班的同學到當?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播,學校準備為同學們購進A,B兩款文化衫,每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元,用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同.(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元?(2)已知畢業(yè)班的同學一共有300人,學校計劃用不多于14800元,不少于14750元購買文化衫,求有幾種購買方案?(3)在實際購買時,由于數(shù)量較多,商家讓利銷售,A款七折優(yōu)惠,B款每件讓利m元,采購人員發(fā)現(xiàn)(2)中的所有購買方案所需資金恰好相同,試求m值.26.(8分)(2023?荊州)荊州古城旁“荊街”某商鋪打算購進A,B兩種文創(chuàng)飾品對游客銷售.已知1400元采購A種的件數(shù)是630元采購B種件數(shù)的2倍,A種的進價比B種的進價每件多1元,兩種飾品的售價均為每件15元;計劃采購這兩種飾品共600件,采購B種的件數(shù)不低于390件,不超過A種件數(shù)的4倍.(1)求A,B飾品每件的進價分別為多少元?(2)若采購這兩種飾品只有一種情況可優(yōu)惠,即一次性采購A種超過150件時,A種超過的部分按進價打6折.設(shè)購進A種飾品x件,①求x的取值范圍;②設(shè)計能讓這次采購的飾品獲利最大的方案,并求出最大利潤.27.(8分)(2023?濟南)某校開設(shè)智能機器人編程的校本課程,購買了A,B兩種型號的機器人模型.A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元,用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數(shù)量相同.(1)求A型,B型機器人模型的單價分別是多少元?(2)學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺,購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍,且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優(yōu)惠.問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少?最少花
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