數(shù)學學案：課堂探究不等式的性質(zhì)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究一、不等式的性質(zhì)的應用誤區(qū)剖析：使用不等式的性質(zhì)時，一定要注意它們成立的前提條件,不可強化或弱化它們成立的條件，盲目套用,例如：(1)a＞b，c＞da＋c＞b＋d,已知的兩個不等式必須是同向不等式；(2)a＞b＞0，且c＞d＞0ac＞bd，已知的兩個不等式不僅要求同向，而且不等式的兩邊必須為正值；(3)a＞b＞0an＞bn（n∈N＋，n＞1)及a＞b＞0eq\r(n，a）＞eq\r（n，b)(n∈N＋，n＞1)，成立的條件是已知不等式的兩邊為正值，并且n∈N＋,n＞1，否則結(jié)論就不成立．假設去掉b＞0這個條件,取a＝3，b＝－4，n＝2，就會出現(xiàn)32＞（－4）2的錯誤結(jié)論；又若去掉了“n∈N＋，n＞1"這個條件，取a＝3，b＝2,n＝－1，又會出現(xiàn)3－1＞2－1，即eq\f(1,3)＞eq\f（1,2)的錯誤結(jié)論．對于性質(zhì)4的推論2和推論3，在n取正奇數(shù)時，可放寬條件，命題仍成立，即有：a＞ban＞bn(n＝2k＋1，k∈N)，a＞beq\r（n,a)＞eq\r(n，b)（n＝2k＋1，k∈N)．名師點撥：(1)性質(zhì)中的a和b可以是實數(shù),也可以是代數(shù)式．（2）對于性質(zhì)2，要正確處理帶等號的情況，由a〉b，b≥c或a≥b，b>c均可推出a>c；而a≥b,b≥c可推出a≥c．(3）性質(zhì)3是不等式移項法則的基礎．（4）性質(zhì)3的推論2是同向不等式相加法則的依據(jù)．(5）若a＞b且ab＞0，則eq\f（1，a）＜eq\f(1,b)．若a＞b，且ab＜0，則eq\f（1,a）＞eq\f(1，b），即“同號取倒數(shù)，方向改變，異號取倒數(shù)，方向不變"．（6）若a＞b,c＜d，則a－c＞b－d．（7）若a＞b＞0，c＞d＞0，則eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)．二、教材中的“？"在解一元一次不等式3x－2≤5x＋1的過程中,應用了不等式的哪些性質(zhì)？剖析：不等式的解運用性質(zhì)3x－2≤5x＋1－2x≤3移項:性質(zhì)3的推論12x≥－3同乘－1:性質(zhì)4x≥－eq\f(3，2)同乘eq\f（1，2):性質(zhì)4題型一判斷真假【例1】下列命題中，一定正確的是()A．若a＞b，且eq\f（1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0B．若a＞b，b≠0，則eq\f（a，b)＞1C．若a＞b，且a＋c＞b＋d，則c＞dD．若a＞b，且ac＞bd,則c＞d解析：對選項A,∵eq\f(1,a）＞eq\f（1，b),∴eq\f(b－a，ab）＞0．又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＜0,∴a＞0，b＜0．對選項B，當a＞0,b＜0時,有eq\f（a,b)＜1,故B錯．對選項C,當a＝10,b＝2，c＝1，d＝3時，雖然10＋1＞2＋3，但1＜3，故C錯．對選項D，當a＝－1，b＝－2,c＝－1,d＝3時，有(－1)×（－1)＞(－2)×3,但－1＜3，故D錯．答案：A反思:運用不等式的性質(zhì)進行數(shù)的大小的判斷時，要注意不等式性質(zhì)成立的條件，不能弱化條件,尤其是不能憑想當然隨意捏造性質(zhì)，解有關不等式的選擇題時,也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設條件;二是取值要簡單，便于驗證計算．題型二應用不等式的性質(zhì)證明不等式【例2】已知a〉b〉0,c〈d〈0．求證:〈．分析:本題是考查不等式性質(zhì)的應用，首先要看證明不等式需要用到哪幾條性質(zhì)，其次要注意性質(zhì)成立的條件是否具備．解：∵c〈d<0，∴－c>－d〉0．∴0〈－eq\f(1,c)<－eq\f（1,d）．a(chǎn)〉b>0，∴－eq\f（a，d）〉－eq\f（b，c）〉0．∴〉，即－〉－,兩邊同乘以－1，得〈．反思:（1）利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應用．（2）應用不等式的性質(zhì)進行推導時，應注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件,且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．【互動探究】若把條件“c〈d<0”改為“c>d>0"，結(jié)論改為“>”，其他條件不變，應該怎樣證明?證明：∵a>b>0,∴0〈eq\f（1，a)〈eq\f(1,b)，即eq\f（1,b)〉eq\f（1,a）〉0．又c>d〉0,∴eq\f（c,b）〉eq\f（d，a)〉0，∴>．題型三不等式性質(zhì)的實際應用【例3】建筑設計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積．但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于10％，且這個比值越大，住宅的采光條件越好．試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了,還是變壞了？請說明理由．分析:可先設住宅的窗戶面積、地板面積分別為a,b，根據(jù)題意知a＜b且eq\f(a，b)≥10％,然后設同時增加的面積為m，得到a＋m＜b＋m，用比較法判斷eq\f（a＋m,b＋m)與eq\f(a,b）的大小即可．解：變好了．理由:設住宅的窗戶面積、地板面積分別為a,b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求可知a＜b且eq\f（a,b）≥10%．由于eq\f(a＋m,b＋m）－eq\f（a,b）＝eq\f（m(b－a），b(b＋m)）＞0，于是eq\f（a＋m，b＋m)＞eq\f（a,b）．又eq\f(a,b）≥10％,因此eq\f（a＋m，b＋m)＞eq\f（a,b）≥10%．所以，同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了．反思:一般地，設a,b為正實數(shù),且a＜b，m＞0，則eq\f（a＋m，b＋m)＞eq\f(a，b)．利用這個不等式，可以解釋很多現(xiàn)象，比如b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖(m＞0且未達到飽和狀態(tài))，則糖水變甜了．再比如芭蕾舞演員跳芭蕾時總是踮起腳尖，這是為什么呢？這是因為踮起腳尖改變了演員下半身與整個身高的比值，使這個比值接近于黃金分割比0。618，從而帶給觀眾更美的享受．題型四易錯辨析【例4】已知－eq\f(π,2）＜β＜α＜eq\f(π,2），求2α－β的取值范圍．錯解：∵－eq\f（π,2）＜α＜eq\f(π,2),∴－π＜2α＜π．又∵－eq\f(π，2）＜β＜eq\f(π,2),∴－eq\f(π，2）＜－β＜eq\f(π,2)．∴－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f（3π,2)．錯因分析：2α－β的取值范圍可看做α＋（α－β)的取值范圍，因為忽視了不等式自身的隱含條件β＜α?α－β＞0而導致擴大了取值范