高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：空間中直線和平面

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、空間中的直線和線段二、空間中的平面方程空間中的直線和平面空間解析幾何三、相交直線一、空間的直線和線段假定

是一條過(guò)點(diǎn)

且平行于向量

的直線。則

是使

平行于

的所有點(diǎn)

的集合。于是對(duì)某個(gè)數(shù)值參數(shù)

有

。

的值依賴點(diǎn)

在直線上的位置，并且

的定義域是

。方程

的展開(kāi)形式是這個(gè)方程可以寫(xiě)成：過(guò)點(diǎn)

平行于

的直線的向量方程為其中

是

上的點(diǎn)

的位置向量，而

是

的位置向量。直線的參數(shù)方程：過(guò)

平行于

的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為例1.求過(guò)點(diǎn)

平行于

的直線的參數(shù)方程。解：例2.求過(guò)點(diǎn)

和點(diǎn)

的直線的參數(shù)方程。解：向量平行于直線，又上例中我們還可以取

作為“基點(diǎn)”而寫(xiě)出這些方程的作用跟第一組完全一樣；只不過(guò)在一個(gè)給定時(shí)刻

點(diǎn)在直線上的位置不同。為參數(shù)化連結(jié)兩點(diǎn)的線段，我們首先參數(shù)化過(guò)點(diǎn)的直線。再求端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的

的值并限制以這些為端點(diǎn)的區(qū)間。直線連同這個(gè)附加的限制就是參數(shù)化線段。例3.求過(guò)點(diǎn)

和點(diǎn)

的線段。我們注意點(diǎn)解：從例2中的點(diǎn)

和

的直線在

過(guò)點(diǎn)

，而在

過(guò)點(diǎn)

。我們加上限制

就得到這線段的參數(shù)方程：二、空間中的平面方程假定平面M過(guò)點(diǎn)

并且正交于（垂直于）非零向量

。則M是使

正交于

的所有點(diǎn)

的集合，于是點(diǎn)積

。這個(gè)方程等價(jià)于或過(guò)點(diǎn)

且正交于（垂直于）

平面有：向量方程：分量方程：簡(jiǎn)化分量方程：其中解：分量方程是經(jīng)化簡(jiǎn)得例4．求過(guò)

垂直于

的平面方程。我們要注意例4中

的分量如何成為方程

的系數(shù)。例5．求過(guò)

和

的平面的方程。解：我們求一個(gè)垂直于該平面的向量，再利用這個(gè)向量和三個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)寫(xiě)平面的方程，向量積是正交于所求平面的向量。把這個(gè)向量的分量和坐標(biāo)

代入分量形式的方程，即得三、相交直線不平行的兩張平面交于一條直線。兩條直線平行當(dāng)且僅當(dāng)它們方向相同。類似地，兩張平面平行當(dāng)且僅當(dāng)存在某個(gè)數(shù)

，有

。例6．求平行于平面

和

的交線的向量。解：兩平面的交線正交于法向量

和

從而平行于

。反之，

為一個(gè)平行于交線的向量。的任何非零倍數(shù)都符合要求。例7．求平行于平面

和

的交線。由于例6中已經(jīng)確定了一個(gè)平行于交線的向量

，故僅需求交線上的