高等數(shù)學（第二版）課件：冪級數(shù)

高等數(shù)學（第二版）一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)冪級數(shù)無窮級數(shù)三、冪級數(shù)的運算與性質如果給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列一、函數(shù)項級數(shù)的概念則由該函數(shù)列構成的表達式稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項無窮級數(shù)，簡稱函數(shù)項級數(shù)。（1）對于每一個確定的值，函數(shù)項級數(shù)（1）成為常數(shù)項級數(shù)這個級數(shù)（2）可能收斂也可能發(fā)散。如果（1）收斂，我們稱點是函數(shù)項級數(shù)（1）的收斂點；如果（2）發(fā)散，我們稱是函數(shù)項級數(shù)（1）的發(fā)散點。函數(shù)項級數(shù)（1）的所有收斂點的全體稱為它的收斂域，所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域。（2）函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項均為冪次函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)，即所謂的冪級數(shù)。形如二、冪級數(shù)的函數(shù)項級數(shù)我們將其稱之為以為中心的冪級數(shù)，其中常數(shù)稱作冪級數(shù)的第項系數(shù)。（3）我們先來討論冪級數(shù)得收斂域，為了研究方便，不妨設冪級數(shù)中的=0，即討論形如的冪級數(shù)，我們又稱之為的冪級數(shù)。這不影響討論的一般性，因為只需作代換，就可將式（3）化成式（4）。幾何級數(shù)（4）是中心在的冪級數(shù)。它的收斂域是以原點為中心的對稱區(qū)間(-1,1)。定理1（阿貝爾定理）(3)若冪級數(shù)在處發(fā)散，則對于滿足不等式

的一切，冪級數(shù)發(fā)散。(2)若冪級數(shù)在處收斂，則對于滿足不等式

的一切，冪級數(shù)絕對收斂。(1)冪級數(shù)在處收斂。阿貝爾定理給出了冪級數(shù)收斂域的結構情況，即若點是冪級數(shù)（4）的收斂點，則到坐標原點距離比點近的點都是冪級數(shù)（4）的收斂點；若點是冪級數(shù)的發(fā)散點，則到坐標原點距離比點遠的點都是冪級數(shù)的發(fā)散點。數(shù)軸上的點不是冪級數(shù)（4）的收斂點就是發(fā)散點，假設冪級數(shù)（4）不僅僅在處收斂，也不是在整個數(shù)軸上收斂，設想從原點出發(fā)沿數(shù)軸向右行進，先遇到的必然都是收斂點，一旦遇到了一個發(fā)散點，那么以后遇到的都是發(fā)散點。自原點向左也有類似情況。因此，它在原點的左右兩側各有一個臨界點，由定理1可知它們到原點的距離是一樣的，記這個距離為R。有如下推論：推論：如果冪級數(shù)不是僅在一點收斂也不是在整個數(shù)軸上收斂，則必存在惟一的正數(shù)，使得(1)當時，冪級數(shù)絕對收斂；(2)當時，冪級數(shù)發(fā)散；(3)當時，冪級數(shù)可能發(fā)散也可能收斂。我們把滿足推論的實數(shù)稱為冪級數(shù)的收斂半徑。開區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間。根據(jù)冪級數(shù)在端點處的收斂性，就可以確定其收斂域有四種情形：或。特殊地，如果冪級數(shù)只在處收斂，此時收斂域內僅有一點其收斂半徑；如果冪級數(shù)對一切均收斂，則規(guī)定其收斂半徑，此時的收斂域為。定理2設為冪級數(shù)，且，為其收斂半徑。(1)若，則。(2)若，則。(3)若，則。例1冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。解：故收斂半徑為，收斂區(qū)間為(-1,1)。當時，級數(shù)為萊布尼茲級數(shù)，是收斂的。當時，級數(shù)為調和級數(shù)，發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂域為。例2求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。解：記，則有故收斂半徑為，收斂域為。例3求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。解記，則有故收斂半徑為，收斂域為0。例4求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間。解記，則有故收斂半徑為，收斂區(qū)間為，即。三、冪級數(shù)的運算與性質1．冪級數(shù)的運算設冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與。記，則在內有(1)(2)

其中。值得注意的是，兩個冪級數(shù)相加減或相乘的冪級數(shù)，其收斂半徑2．和函數(shù)的性質則冪級數(shù)的和函數(shù)有如下性質設冪級數(shù)的收斂半徑為，和函數(shù)為，即(1)（連續(xù)性）在內連續(xù)，且當在（或）處收斂時，在處左連續(xù)（或在處右連續(xù)）。(3)（逐項積分）在內任何子區(qū)間上可積，并可逐項積分，即(2)（逐項微分）在內可導，并可逐項求導，即且逐項求導后得到的冪級數(shù)與原冪級數(shù)的收斂半徑相同。且逐項積分后得到的冪級數(shù)與原冪級數(shù)的收斂半徑相同。解：所給冪級數(shù)的系數(shù)故收斂半徑為，收斂區(qū)間為(-1,1)。由于幾何級數(shù)所以例5求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。且，所以由逐項微分的性質，當時，解：所給冪級數(shù)的系數(shù)