2025屆甘肅省蘭州市蘭大附中高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2025屆甘肅省蘭州市蘭大附中高考數(shù)學(xué)二模試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C．5 D．62．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A． B． C． D．3．記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A． B． C． D．4．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（）A．2 B．5 C．1 D．36．如圖所示，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）A． B．C． D．7．等差數(shù)列中，，，則數(shù)列前6項(xiàng)和為（）A．18 B．24 C．36 D．728．已知，，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線交直線于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．10．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．811．設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．12．集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，則球的表面積為__________.14．已知集合，其中，.且，則集合中所有元素的和為_________.15．執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_______.16．已知，若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和．18．（12分）如圖，是矩形，的頂點(diǎn)在邊上，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)（的長(zhǎng)度滿足需求）.設(shè)，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.19．（12分）設(shè)數(shù)陣，其中、、、．設(shè)，其中，且．定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以；若其中沒(méi)有且沒(méi)有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、、、）．表示“將經(jīng)過(guò)變換得到，再將經(jīng)過(guò)變換得到、，以此類推，最后將經(jīng)過(guò)變換得到”，記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為．（1）若，寫出經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣；（2）若，，求的值；（3）對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過(guò)．20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）記關(guān)于的方程的兩根分別為，求證：.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓．已知曲線上的點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)，射線與曲線交于點(diǎn)．（1）求曲線，的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)A，B為曲線上的兩個(gè)點(diǎn)且，求的值．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，且為正三角形．（1）求點(diǎn)，的極坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出過(guò)點(diǎn)與的一條漸近線的平行的直線方程，通過(guò)解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中：，因此右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為：，根據(jù)雙曲線和漸近線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn)，所以直線的斜率為，因此直線方程為：，因此點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組：的解，解得方程組的解為：，即，所以的面積為：.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用，考查了兩直線平行的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、C【解析】

根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果，直到輸出結(jié)果是8時(shí).【詳解】第一次循環(huán)：第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第五次循環(huán)：第六次循環(huán)：第七次循環(huán)：第八次循環(huán)：所以框圖中①處填時(shí)，滿足輸出的值為8.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查算法程序框圖，根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決，屬于簡(jiǎn)單題目.3、C【解析】

先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值，再根據(jù)的方程組可得的值，從而得到數(shù)列的公比，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和，根據(jù)后兩個(gè)公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，故即，由可得或，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，故符合.此時(shí)，所以或（舍，因?yàn)闉檫f增數(shù)列）.故，.故選C.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.4、D【解析】

根據(jù)，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項(xiàng)，又由，所以．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的比較大小問(wèn)題，其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.6、D【解析】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形，所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為，又因?yàn)殡u蛋的體積為，所以球的半徑為，所以球心到截面的距離，而截面到球體最低點(diǎn)距離為，而蛋巢的高度為，故球體到蛋巢底面的最短距離為.點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問(wèn)題，考查球體有關(guān)的知識(shí).在解答過(guò)程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問(wèn)題時(shí)，可以采用軸截面的方法來(lái)處理.也就是畫出題目通過(guò)球心和最低點(diǎn)的截面，然后利用弦長(zhǎng)和勾股定理來(lái)解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.7、C【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即，∴，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由題意得，即可得點(diǎn)M的軌跡為以A，B為左、右焦點(diǎn)，的雙曲線，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，連接OP，AM，由題意得，點(diǎn)M的軌跡為以A，B為左、右焦點(diǎn)，的雙曲線，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.9、A【解析】

由及得到、，進(jìn)一步得到，再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.10、B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，，且，由于，所以..所以，即..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)由得，當(dāng)時(shí)，有最小值為，即，，解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.11、A【解析】

根據(jù)兩個(gè)已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng)，即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因?yàn)?且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12、D【解析】

利用交集的定義直接計(jì)算即可.【詳解】，故，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，注意常見(jiàn)集合的符號(hào)表示，本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)、寬、高分別為，計(jì)算得到，得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.14、2889【解析】

先計(jì)算集合中最小的數(shù)為，最大的數(shù)，可得，求和即得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，集合中最小數(shù)；當(dāng)時(shí)，得到集合中最大的數(shù)；故答案為：2889【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列與集合綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.15、8【解析】

根據(jù)偽代碼逆向運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿足題意本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查算法中的語(yǔ)言，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

由題意先求得的值，可得，再令，可得結(jié)論．【詳解】已知，，，，令，可得，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）4953【解析】

（Ⅰ）遞推公式變形為，由數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，得到，根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項(xiàng)公式；（Ⅱ），根據(jù)新定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算分類討論數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求前2020項(xiàng)和．【詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴又∵數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，∴，即．∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴．（Ⅱ）∵，∴，．∴數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式和數(shù)列的前項(xiàng)和，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型.18、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)勾股定理逆定理求得.（2）設(shè)，由此求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)，，，由，根據(jù)正弦定理和余弦定理得.化簡(jiǎn)整理得.由勾股定理逆定理得.（2）設(shè)，，由（1）的結(jié)論知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.【點(diǎn)睛】本小題考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函數(shù)性質(zhì)及其三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)換思想，應(yīng)用意識(shí).19、（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析.【解析】

（1）由，能求出經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣；（2）由，，求出數(shù)陣經(jīng)過(guò)變化后的矩陣，進(jìn)而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過(guò)．【詳解】（1），經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣；（2）經(jīng)變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行均變?yōu)?、；含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行均變?yōu)?、；同時(shí)含有和的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行仍為、；不含也不含的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過(guò)變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若，則的所有非空子集中，含有的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行均變?yōu)椤?；不含有的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過(guò)變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為．同理，經(jīng)過(guò)變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為．所以的所有可能取值的和為，又因?yàn)椤?、、，所以的所有可能取值的和不超過(guò)．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)陣變換的求法，考查數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和不超過(guò)的證明，考查類比推理、數(shù)陣變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，綜合性強(qiáng)，難度大．20、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；（2）是方程的兩根，代入方程，化簡(jiǎn)換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】（1）依題意，；若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)既無(wú)極大值，也無(wú)極小值；若，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)有極大值，無(wú)極小值；若，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)有極大值，無(wú)極小值；（2）依題意，，則，，故，；要證：，即證，即證：，即證，設(shè)，只需證：，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法：(1)若與的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明；(2)若與的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或最值，證明.21、（1）．．（2）【解析】

（1）先求解a,b，消去參數(shù)，即得曲線的直角坐標(biāo)方程；再求解，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由于，可設(shè)，，代入曲線直角坐標(biāo)方程，可得的關(guān)系，轉(zhuǎn)化，可得解.【詳解】（1）將及對(duì)應(yīng)的參數(shù)，代入得，即，所以曲線的方程為，為參數(shù)，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．設(shè)圓的半徑為R，由題意，圓的極坐標(biāo)方程為（或），將點(diǎn)代入，得，即，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）由于，故可設(shè)，代入曲線直角坐標(biāo)方程，可得，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)，參數(shù)方程和一般方程的互化以及極坐標(biāo)的幾何意義的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.22、（1），；（