廣東省揭陽市惠來縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題含答案解析

2024——2025學(xué)年惠來一中高二第一學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題滿分150分，時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．43．設(shè)的平均數(shù)為與的平均數(shù)為與的平均數(shù)為.若，則與的大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．不能確定4．已知某圓錐的側(cè)面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成的角為（

）A． B． C． D．5．小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為，，，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為，則他三道題都答錯(cuò)的概率為（

）A． B． C． D．6．已知，，且恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．如圖，邊長為2的正方形沿對角線折疊，使，則三棱錐的體積為（

）

A． B． C． D．48．是定義在R上的函數(shù)，若，且對任意，滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對一個(gè)得3分;若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得2分。9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量，共面10．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．C．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镈．若方程在區(qū)間上恰有六個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為11．如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長度的最小值是D．使直線與平面所成的角為的點(diǎn)P的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12．電影《孤注一擲》的上映引發(fā)了電信詐騙問題熱議，也加大了各個(gè)社區(qū)反電信詐騙的宣傳力度.已知某社區(qū)共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年齡進(jìn)行等比例的分層隨機(jī)抽樣，共抽取36人作為代表，則中年人比青少年多人13．邢臺(tái)一中高二年級研究性學(xué)習(xí)小組為了實(shí)地測量某塔的高度，選取與塔底中心O在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)A與B，在A點(diǎn)測得：塔頂P的仰角為45°，O在A的北偏東60°處，B在A的正東方向36米處，且在B點(diǎn)測得O與A的張角為45°，則此塔的高度約為米（四舍五入，保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：，）.14．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有4個(gè)解，分別為，，，，其中，則，的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知空間中三點(diǎn)，設(shè)(1)已知，求的值；(2)若，且，求的坐標(biāo).16．已知的內(nèi)角所對的邊分別是.(1)求角；(2)若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長的取值范圍.17．某年級數(shù)學(xué)興趣小組組織游戲闖關(guān)活動(dòng)，共設(shè)置了20道數(shù)學(xué)問題，滿分100分.結(jié)束后在所有的答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績分成六段：，，……，90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該年級全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；(2)活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)獨(dú)立參加競賽，已知甲同學(xué)答對了12道，乙同學(xué)答對了8道，假設(shè)每道數(shù)學(xué)問題難度相當(dāng)，被答對的可能性都相同.任選一道數(shù)學(xué)問題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對的概率.18．《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正切值；(3)求與平面所成角的正弦值．19．已知是指數(shù)函數(shù)，且過點(diǎn)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)(1)求的值；(2)若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍

2024——2025學(xué)年惠來一中高二第一學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)參考答案：題號(hào)12345678910答案DCBCCBCCABDBCD題號(hào)11答案ABD12．913．2614．115．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，，又，所以，得?（2）因?yàn)?，又，所以，解得或，所以的坐?biāo)為或.16．【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，化簡可得，由余弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，B∈0,π，所以.（2）因?yàn)榈耐饨訄A面積為，故其外接圓半徑為，因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻霉?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，即的周長的取值范圍為.17．【詳解】（1）由頻率分布直方圖有，解得，因?yàn)?，所以中位?shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為x，則有，得，所以估計(jì)該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為75；（2）設(shè)“任選一道題，甲答對”，“任選一道題，乙答對”，“任選一道題，丙答對”，則由古典概型概率計(jì)算公式得：，，所以有，記“甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對”，則有，且有與互斥，因?yàn)槊课煌瑢W(xué)獨(dú)立作答，所以A，B互相獨(dú)立，則A與，與B，與均相互獨(dú)立，所以，所以任選一道數(shù)學(xué)問題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對的概率.18．【詳解】（1）由已知，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，連接，因?yàn)?，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.（2）由已知平面，平面，所以，又，所以直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A3,0,0，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，所以，取，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，又為平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，所以，觀察可得，所以，所以，所以二面角的正切值為.（3）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，為平面的一個(gè)法向量，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，所以，所以與平面所成角的正弦值為.19．【詳解】（1）設(shè)，函數(shù)過，代入，即，解得，則.定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則，解得，則，由于，解得，則.檢驗(yàn)：，則滿足題意.則.（2），即，即存在，使得成立.由于，越大，則由指數(shù)單調(diào)性知道越大，則也變大，變小，變小.則在定義域