廣西壯族自治區(qū)河池市十校聯(lián)考2024-2025學年高二上學期10月月考 數(shù)學試題含答案解析

2024年秋季學期高二年級校聯(lián)體第一次聯(lián)考數(shù)學（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、班級、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.2.經過，兩點的直線的斜率為（）A. B.2 C. D.33.已知，，且，則（）A B. C.1 D.24.若直線的斜率為，在軸上的截距為，則（）A.， B.，C.， D.，5.經過點，傾斜角為的直線方程為（）A. B.C. D.6.點在直線上，為原點，則的最小值是（）A.1 B.2 C. D.7.如圖，在長方體中，為與的交點．若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.8.已知直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的斜率的范圍為（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知空間向量，，，則（）A. B.C. D.是共面向量10.下列說法正確的是（）A.直線的斜率為B.若直線經過第三象限，則，C.直線恒過定點D.若，則直線與直線垂直11.如圖，在棱長為2的正方體中，為面的中心，、分別為和的中點，則（）A.平面B.若為上的動點，則的最小值為C.點到直線的距離為D.平面與平面相交三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在空間直角坐標系中，已知點，，則________．13.設，分別是空間中兩個不重合的平面，的法向量，且，，則平面，的位置關系是________．14.過點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟．15.根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程.（1）斜率是，且經過點；（2）斜率為，在軸上的截距為；（3）經過，兩點.16.如圖，空間直角坐標系中有長方體，，，.求：（1）向量，，的坐標；（2）異面直線與所成角余弦值.17.已知直線，，其中為實數(shù)，（1）當時，求直線，之間的距離；（2）當時，求過直線，交點，且平行于直線的直線方程．18.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求直線與平面所成角的余弦值．19.如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點中點，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．（1）當二面角為直二面角時，求點到平面的距離；（2）在（1）的條件下，設點為線段上任意一點（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．

2024年秋季學期高二年級校聯(lián)體第一次聯(lián)考數(shù)學（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、班級、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助斜率與傾斜角的關系計算即可得.【詳解】直線的斜率為，設傾斜角為，則有，即.故選：B.2.經過，兩點的直線的斜率為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】代入斜率公式求解即可.【詳解】經過，兩點的直線的斜率.故選：.3.已知，，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據空間向量數(shù)量積坐標公式得到方程，求出答案.【詳解】，解得.故選：C4.若直線的斜率為，在軸上的截距為，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據斜截式方程的定義求解即可.【詳解】直線的斜率為，在軸上的截距為.故選：D.5.經過點，傾斜角為的直線方程為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線的傾斜角求得斜率，再根據直線的點斜式方程化簡即得.【詳解】依題意，直線的斜率為，由直線的點斜式方程，可得，即.故選：A6.點在直線上，為原點，則的最小值是（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點到直線的距離公式直接求出原點到直線的距離，即為的最小值.【詳解】原點到直線上的點的距離的最小值為原點到直線的距離，由點到線的距離公式可得原點到直線的距離，所以的最小值為.故選：C.7.如圖，在長方體中，為與的交點．若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量運算的三角形法則、平行四邊形法則表示出即可.【詳解】在長方體中，為與的交點，因為，，，則，，所以故選：B.8.已知直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的斜率的范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線所過定點的坐標，數(shù)形結合求出直線的斜率的取值范圍.【詳解】直線的方程化為，由，解得，因此直線過定點，線的斜率，直線的斜率，由直線與線段總有公共點，得直線的斜率有或，又直線的斜率，所以直線的斜率的范圍為.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知空間向量，，，則（）A. B.C. D.是共面向量【答案】ABD【解析】【分析】根據題意，利用空間向量的坐標運算與表示，共線向量的坐標運算，共面向量定理，逐項判定，即可求解.【詳解】由向量，可得，，所以A、B正確；設，可得，所以，此時方程組無解，所以向量與向量不共線，所以C錯誤；設，可得，所以，解得，所以共面，所以D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.直線的斜率為B.若直線經過第三象限，則，C.直線恒過定點D.若，則直線與直線垂直【答案】CD【解析】【分析】A化為斜截式判斷；B特殊值判斷即可；C化為，即可確定定點；D將參數(shù)代入直線方程即可判斷.【詳解】A：將直線化為斜截式，有，即直線斜率為，錯；B：當時，直線為也過第三象限，錯；C：，令，即直線過定點，對；D：由題設，，顯然兩線垂直，對.故選：CD11.如圖，在棱長為2的正方體中，為面的中心，、分別為和的中點，則（）A.平面B.若為上的動點，則的最小值為C.點到直線距離為D.平面與平面相交【答案】BD【解析】【分析】A選項，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，得到，故故與平面不平行，A錯誤；B選項，將兩平面展開到一個平面內，利用勾股定理求出最小值；C選項，利用點到直線距離向量公式求出答案；D選項，求出平面的法向量，與平面的法向量不平行，得到兩平行相交.【詳解】A選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，，設平面的法向量為m=x,y,z則，令得，故，所以，故與平面不平行，A錯誤；B選項，把平面與平面以為公共邊展開到同一平面內，如圖，連接與相交于點，此時最小，最小值為，B正確；C選項，，，，，點到直線的距離為，C錯誤；D選項，，所以，設平面的法向量為n=a,b,c則，令，則，故，顯然與不平行，故平面與平面不平行，又兩平面不重合，故兩平面相交，D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在空間直角坐標系中，已知點，，則________．【答案】【解析】【分析】由空間兩點距離公式可得答案.【詳解】由題，.故答案為：13.設，分別是空間中兩個不重合的平面，的法向量，且，，則平面，的位置關系是________．【答案】平行【解析】【分析】利用向量共線關系，即可判斷兩平面是平行的.【詳解】因為，，所以，即，則平面平面.故答案為：平行14.過點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是__________.【答案】或【解析】【分析】分直線過原點不不過原點兩種情況，當直線過原點時，設直線方程是，當直線不過原點時，這直線.【詳解】當直線過于原點時，設直線，代入點，得，所以直線方程是，即，當直線不過原點時，設直線方程，代入點，得，解得，所以直線方程是.故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟．15.根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程.（1）斜率是，且經過點；（2）斜率為，在軸上的截距為；（3）經過，兩點.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由直線的點斜式方程可得；（2）由直線的斜截式方程可得；（3）先求出直線的斜率，再由直線的點斜式方程即得.【小問1詳解】由直線的點斜式方程可得直線方程為，即；【小問2詳解】由直線的斜截式方程可得直線方程為，即；【小問3詳解】由題意，直線的斜率為，故由直線的點斜式方程可得直線方程為，即.16.如圖，在空間直角坐標系中有長方體，，，.求：（1）向量，，的坐標；（2）異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）寫出相關點的坐標，進而結合向量運算的坐標表示即可求出向量的坐標；（2）利用空間向量法結合向量夾角余弦值公式即可求出異面直線夾角的余弦值.【小問1詳解】依題意，，，所以.【小問2詳解】由（1）知，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.17.已知直線，，其中為實數(shù)，（1）當時，求直線，之間距離；（2）當時，求過直線，的交點，且平行于直線的直線方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由兩個直線平行求得，然后求平行直線距離即可；（2）先求兩個直線的交點，然后設平行直線的方程，求解即可.【小問1詳解】由題可知，，解得，所以，此時直線，之間的距離為.【小問2詳解】由題可知，，聯(lián)立，解得，所以與的交點坐標為.設所求直線為，所以有，得，所求直線為.18.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）13（3）【解析】【分析】（1）通過取的中點為，再利用線線平行即可證明線面平行；（2）利用空間向量法可直接求出二面角的余弦值；（3）利用空間向量法可先求出線面角的正弦值，再利用同角關系求出余弦值即可.【小問1詳解】取的中點為，又由于為棱的中點，則在正方體中可得：則四邊形是平行四邊形，所以；又由于為棱的中點，又可得則四邊形是平行四邊形，所以；由平行的傳遞性可知：，又因為平面，平面，所以平面；小問2詳解】

如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，在棱長為2的正方體中，，，，則，，設平面的法向量為，則，即令，則，所以，由于平面與軸垂直，則平面的法向量可取，所以，由圖可看出二面角一定是銳角，所以可設它為，則，所以二面角的余弦值為；【小問3詳解】由（2）得，平面的法向量可取，則，設直線與平面所成角為，則，所以即直線與平面所成角的余弦值為．19.如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點是中點，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．（1）當二面角為直二面角時，求點到平面的距離；（2）在（1）的條件下，設點為線段上任意一點（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得點到平面的距離.（2）設，求得點坐標，表示出二面角的余弦值，再求其范圍.【小問1詳解】∵，，∴．點是