第11講 函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊）

第11講函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【人教A版2019】模塊一模塊一函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值.(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).關(guān)系如下表所示：根零點(diǎn)交點(diǎn)方程f(x)=0的根函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)方程f(x)=g(x)的根函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2．函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的解.(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的幾何意義：在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)不斷的曲線y=f(x)，且曲線的起始點(diǎn)(a,f(a))與終點(diǎn)(b,f(b))分別在x軸的兩側(cè)，則連續(xù)曲線與x軸至少有一個交點(diǎn).3．確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).【題型1求函數(shù)的零點(diǎn)（個數(shù)）】【例1.1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=lnx，則函數(shù)y=f(f(x))的零點(diǎn)為（A．1 B．0 C．e D．e【例1.2】（23-24高一上·甘肅武威·期末）已知函數(shù)fx=xx+3,x<0,A．1 B．2 C．3 D．4【變式1.1】（2024·陜西西安·一模）函數(shù)f(x)=log2x?A．4 B．4或5 C．5 D．?4或5【變式1.2】（23-24高一上·吉林·期末）函數(shù)fx=xA．l B．2 C．3 D．4【題型2零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用】【例2.1】（23-24高一下·湖南·期中）函數(shù)fx=xA．1,2 B．2,3 C．3,4 D．4,5【例2.2】（24-25高三上·河北唐山·階段練習(xí)）“a≤?2”是“函數(shù)fx=ax+3在區(qū)間?1,2上存在零點(diǎn)”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2.1】（23-24高二下·河北邯鄲·階段練習(xí)）函數(shù)fx=2A．?2,?1 B．0,1 C．?1,0 D．?1,0【變式2.2】（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）函數(shù)fx=xA．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4【題型3\o"比較零點(diǎn)的大小關(guān)系"\t"/gzsx/zj145218/_blank"比較零點(diǎn)的大小關(guān)系】【例3.1】（2024·廣東梅州·二模）三個函數(shù)fx=x3+x?3，gx=lnx+x?3A．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a【例3.2】（2024·新疆烏魯木齊·二模）設(shè)x>0，函數(shù)y=x2+x?7,y=2xA．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<a<b【變式3.1】（23-24高一上·河北唐山·期末）若函數(shù)f(x)=12x?x，g(x)=log13x?x，?(x)=xA．a(chǎn)>b>c B．c>a>b C．a(chǎn)>c>b D．c>b>a【變式3.2】（2024·浙江麗水·二模）已知正實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足x12A．x3<xC．x1<x【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個數(shù)求參數(shù)范圍】【例4.1】（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x?2+a,x≥2ax?2,x<2（a>0且a≠1），若存在實(shí)數(shù)A．0<a<1 B．a(chǎn)>1 C．12<a<1 【例4.2】（24-25高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知fx=|log21?x|，x<1A．(1,2) B．2,C．13+12,4【變式4.1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x+2a,x<0x2?ax,x≥0，若關(guān)于x的方程【變式4.2】（23-24高一上·貴州黔西·期末）已知函數(shù)f(1)若fx=1，求(2)若函數(shù)y=ffx?m模塊模塊二二分法1．二分法(1)二分法的定義：

對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.(2)區(qū)間的中點(diǎn)：一般地，我們把x=稱為區(qū)間(a,b)的中點(diǎn).

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一個包含根的區(qū)間，然后多次將包含根的區(qū)間一分為二，直至根落在要求的區(qū)間內(nèi)，即用區(qū)間中點(diǎn)將區(qū)間(a,b)一分為二，從而得到兩個區(qū)間(a,)和(,b)，其中一個區(qū)間一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我們便知區(qū)間(a,)包含根，如圖，不斷重復(fù)上述步驟，根最終落在要求的區(qū)間內(nèi).(4)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟

給定精確度，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：

1.確定零點(diǎn)的初始區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0.

2.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c.

3.計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：

(1)若f(c)=0(此時=c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

(2)若f(a)f(c)<0(此時∈(a,c))，則令b=c；

(3)若f(c)f(b)<0(此時∈(c,b))，則令a=c.

4.判斷是否達(dá)到精確度：若|a-b|<，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2~4.【題型5\o"用二分法求近似解的條件"\t"/gzsx/zj145219/_blank"用二分法求近似解的條件】【例5.1】（23-24高一上·吉林延邊·期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（）A．fx=2x C．fx=x+1【例5.2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的為（

）A．log2x+x=0 B．ex+x=0 C．【變式5.1】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式5.2】（23-24高一上·福建福州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A．fx=3x+1 B．fx=x3【題型6用二分法求方程的近似解】【例6.1】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）若函數(shù)fxffffff那么方程x3+xA．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875【例6.2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）用二分法求方程ln2x+6+2=3x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918-0.3604-0.9989則由表中的數(shù)據(jù)，可得方程ln2x+6+2=3A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875【變式6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）設(shè)函數(shù)fx=xlnx+2x?6，用二分法求方程xlnx+2x?6=0在A．2.5,3 B．2.25,2.5 C．2,2.25 D．不能確定【變式6.2】（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）若函數(shù)fx=x3+x751.43751.40625f?20.625?0.984?0.2600.165?0.052A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【題型7用二分法求函數(shù)的近似值】【例7.1】（23-24高一上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x3+x?1x010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875f?11?0.3750.1719?0.1309?0.25950.01245?0.06113?0.02483若用二分法求fx零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1），則對區(qū)間0,1等分的最少次數(shù)和fx零點(diǎn)的一個近似值分別為（

）A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65【例7.2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函數(shù)fx=ex?x?2的一個正零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1)A．已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.1作為近似值B．已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.125作為近似值C．沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算fD．沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算f【變式7.1】（23-24高一上·遼寧沈陽·期中）函數(shù)fx=xA．2 B．3 C．4 D．5【變式7.2】（23-24高一上·江蘇淮安·期末）已知函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有一個零點(diǎn)，且求得f(x)的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：x010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875f(x)-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483要使f(x)零點(diǎn)的近似值精確到0.1，則對區(qū)間(0,1)的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.6一、單選題1．（24-25高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）函數(shù)y=x2+3x+2A．1,0,2,0 B．1，2 C．?1,0,2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A．y=3x?1 B．y=x3 C．y=x3．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx在區(qū)間a,b具有單調(diào)性，且fafb<0，則方程fA．至少有一實(shí)根 B．至多有一實(shí)根C．沒有實(shí)根 D．有且只有一實(shí)根4．（23-24高一上·湖南長沙·期末）設(shè)f(x)=2x+x?8，用二分法求方程2x+x?8=0A．1,2或2,3都可以 B．2,3C．1,2 D．不能確定5．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）用二分法求函數(shù)fxx0.06250.093750.1250.156250.1875f-0.4567-0.18090.09780.37970.6647根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可得fx=5A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.0781256．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）設(shè)函數(shù)y=x2+2x?10,y=2x+2x?10,y=log2x+2x?10A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<a<b7．（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且fx+1是奇函數(shù)，當(dāng)x>1時，fx=2?x,1<x≤2x2A．3 B．4 C．5 D．68．（24-25高三上·山東日照·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?1x?1+1,x∈?2,0A．m|?12<m<C．{m|?32<m<?12或m=0}二、多選題9．（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）在用“二分法”求函數(shù)fx零點(diǎn)的近似值時，若第一次所取區(qū)間為?2,4，則第二次所取區(qū)間可能是（

A．?2,?1 B．?2,1 C．2,4 D．1,410．（23-24高二下·湖北孝感·期末）若函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b上的圖象不間斷，則下列說法正確的是（

）A．若fafb>0B．已知方程ex=8?x的解在k,k+1C．若fafb<0，則D．若fx在a,b內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則11．（24-25高三上·江蘇連云港·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=log2x,0<x≤2x2?6x+9,x>2，若方程fx=k有四個不同的零點(diǎn)xA．0<k<1 B．2C．x1x2三、填空題12．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)fx=x?x?6的零點(diǎn)是13．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）用二分法求方程x3?2x?5=0的實(shí)根，由計(jì)算器可算得f2=?1，f3=16，14．（24-25高二上·湖南郴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)gx=2x?1，若函數(shù)fx=四、解答題15．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）用二分法求下列函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)：(1)fx=3x(2)fx=2x16．（24-25高一上·全國·課堂例題）判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果