中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：整式的乘除（解析版）

專題1.1整式的乘除

典例精析

【典例1】【知識(shí)回顧】有這樣一類題:

代數(shù)式(1久一y+6+3x-5y-1的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a的值;

通常的解題方法；

把x,y看作字母，?？醋飨禂?shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0,即原

式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=0,即a=-3.

b

圖1圖2

【理解應(yīng)用】

(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式(2m-3)x+2m2-3m的值與x的取值無(wú)關(guān)，求m的值；

(2)已知3[(2x+1)(刀-1)一x(l-3y)]+6(-/+無(wú)y-1)的值與x無(wú)關(guān)，求了的值；

【能力提升】

(3)如圖1,小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為°、寬為6,有7張圖1中的紙片按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形

/BCD內(nèi)，大長(zhǎng)方形中有兩個(gè)部分(圖中陰影部分)未被覆蓋，設(shè)右上角的面積為Si，左下角的面積為S2,

當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)變化時(shí)，S「S2的值始終保持不變，求。與6的等量關(guān)系.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)含x項(xiàng)的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；

(2)先根據(jù)整式的加減求出34+6B的值，再根據(jù)含x項(xiàng)的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；

(3)設(shè)4B=x,先求出SiS，從而可得S1—S2，再根據(jù)“當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，S1一S2的值始終保持不變”

可知Si-52的值與x的值無(wú)關(guān),由此即可得.

【解題過(guò)程】

解：(1)(2%—3)m+2m2-3x=2mx—3m+2m2—3x

=(2m—3)x—3m+2m2,

???關(guān)于x的多項(xiàng)式(2%—3)m+2m2—3%的值與x的取值無(wú)關(guān)，

2m—3=0,

解得m=

(2)令4=(2x+l)(x-l)-x(l-3y)=2%2-2%+x-l-x+3%y=2x2+3xy-2%-l,

B=—%2+xy—1,

原式=3Z+68=3(2/+3xy—2%—1)+6(—%2+xy-1)

=6x2+9xy—6%—3—6x2+6xy—6

=15xy—6x—9

=(15y—6)x—9,

???34+6B的值與%無(wú)關(guān)，

???15y—6=0,

解得y=I；

(3)解：設(shè)48=%,

由圖可知，S1=a(x-3b)=ax—3ab,S2—2b(x—2d)=2bx—4abf

則Si-S2=ax-3ab—(2bx—4ab)

=ax—3ab—2bx+4ab

=(a-2b)x+ab,

???當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，Si-S2的值始終保持不變，

???Si—S2的值與％的值無(wú)關(guān)，

a-2b=0,

ct—2b.

學(xué)霸必刷

1.（2022春?貴州六盤(pán)水?七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知。1，。2,。3，…，。2022均為負(fù)數(shù)，則M=31+。2+。3+…+

a2021)(a2+a3----卜。2022)，N=(%+。2+a3----卜a2022)(a2+a3----卜。2021)，則”與N的大小關(guān)系是

()

A.M=NB.M>NC.M<ND.無(wú)法確定

【思路點(diǎn)撥】

令。2+。3---1-。2021=%，則M=(%+%)(%+。2022)=alx+。1。2022++/+。2022%，N=(%+%+

。2022)%=+/+。2022%，將腦V,進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論?

【解題過(guò)程】

解：令做+。3---1"。2021=%，則M=+%)(%+@2022)=alx+ala2022+/+。2022%，N=(%+%+

口2022)%=d+a2022Xf

：.MN=a1X+。1。2022+/+。2022汽(的％+/+。2022%)=%。2022，

?。1，4，…，。2022均為負(fù)數(shù)，

??。1。2022>°，

即M>N.

故選：B.

2.(2022秋?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))設(shè)％,y為任意有理數(shù)，定義運(yùn)算：％*y=(%+l)(y+1)-1,得到

下列五個(gè)結(jié)論：①％*y=y*久；②%*y+z=%*y+%*z；③(％+1)*(久—1)=%*%—1；@x*0=0；

⑤(％+1)*(%+1)=%*%+2*%+1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)題中定義的運(yùn)算，對(duì)各結(jié)論中新定義的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，判斷即可解答.

【解題過(guò)程】

解：'.'x*y=(%+l)(y+1)-1,

y*x=(y+1)(%+1)—1,

.\x*y=y*x,

故①正確；

*/%*y+z=(%+l)(y+l)-l+z=xy+x+y+z,

x*y+x*z=(%+l)(y+1)—1+(%+l)(z+1)—l=%y+久+y+%z+%+z=%y+%z+2%+y+z,

.,.%*y+z^=x*y+x*z,

故②錯(cuò)誤；

'/(%+1)*(%—1)=(%+1+l)(x—1+1)-1=(X+2)x—1=%2+2%—1.

x*x—l=(x+l)(x+l)—1—l=x2+2x—1.

.,.(%+1)*(%—1)=%*%—1,

故③正確；

Vx*0=(%+1)(0+1)—l=x+l—l=x,

x*0豐0,

故④錯(cuò)誤；

V(x+1)*(x+1)=(%+1+1)(%+1+1)—1=0+2)2—1=/+4%+3,

x*x+2*x+l=(%+1)(%+1)—1+(2+1)(%+1)—l+l=(x+I)2+3(%+1)-1=%2+5x+3.

二.(%+1)*(%+1)W%*%+2*%+1

故⑤錯(cuò)誤.

綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

3.(2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))設(shè)X+y+z=2020,且喘=施；，則％3+y3+一3%yz=

()

A.673B.—C.—D.674

33

【思路點(diǎn)撥】

令肅可將x、z的值用y與a表示，利用“+y+z=202°求出a的值，然后將所求的

式子化簡(jiǎn)成只含有y與a的式子，再代入求解即可.

【解題過(guò)程】

角星：設(shè)」一=—^―=，一=a

201920202021

X—2019a,y=2020a,z=2021a

貝小x=y—a

z=y+a

將x,y,z的值代入久+y+z=2020可得：2019a+2020a+2021a=2020

解得：a=[

???%3=(y—a)3=(y-a)(y2—2ay+a2)=y3—3ay2+3a2y—a3

3322323

z=(y+a)=(y+a)(y+2ay+a)=y+3ay+3a2y+a

3xyz=3y(y—a)(y+a)=3y(y2—a2)=3y3—3a2y

???%3+y34-z3—3xyz

=(y3-3ay2+3a2y—a3)+y3+(y3+3ay2+3a2y+a3)—(3y3—3a2y)

=9a2y

=9a2-2020a

1,

=9x2020x(-)3

_2020

3

故選：B.

4.(2022春?江蘇南京?七年級(jí)南京市人民中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖，長(zhǎng)為y(cm),寬為x(cm)的大長(zhǎng)方形被

分割為7小塊，除陰影/,3外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短的邊長(zhǎng)為5cm,下列

說(shuō)法中正確的是()

①小長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)邊為丫-15；

②陰影/的較短邊和陰影2的較短邊之和為無(wú)-y+5；

③若x為定值，則陰影/和陰影3的周長(zhǎng)和為定值；

④當(dāng)久=15時(shí)，陰影/和陰影2的面積和為定值.

A.①③B.②④C.①③④D.①④

【思路點(diǎn)撥】

①觀察圖形，由大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)及小長(zhǎng)方形的寬，可得出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為015)cm,說(shuō)法①正確；②由大長(zhǎng)

方形的寬及小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，可得出陰影4,8的較短邊長(zhǎng)，將其相加可得出陰影/的較短邊和陰影8

的較短邊之和為(2x+5y)cm,說(shuō)法②錯(cuò)誤；③由陰影4,2的相鄰兩邊的長(zhǎng)度，利用長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算公

式可得出陰影/和陰影2的周長(zhǎng)之和為2(2"5),結(jié)合x(chóng)為定值可得出說(shuō)法③正確；④由陰影Z,3的相

鄰兩邊的長(zhǎng)度，利用長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可得出陰影/和陰影3的面積之和為(町25y+375)cm2,代入

x=15可得出說(shuō)法④錯(cuò)誤.

【解題過(guò)程】

解：①：大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為ycm,小長(zhǎng)方形的寬為5cm,

.,.小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為了3*5=(yl5)cm,說(shuō)法①正確；

②：大長(zhǎng)方形的寬為xcm,小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為(yl5)cm,小長(zhǎng)方形的寬為5cm,

二陰影/的較短邊為x2*5=(xlO)cm,陰影2的較短邊為x=(xy+15)cm,

???陰影4的較短邊和陰影8的較短邊之和為xlO+xy+15=(2x+5y)cm,說(shuō)法②錯(cuò)誤；

③：陰影/的較長(zhǎng)邊為(yl5)cm,較短邊為(xlO)cm,陰影3的較長(zhǎng)邊為3x5=15cm,較短邊為(xy+15)

cm,

...陰影/的周長(zhǎng)為2(yl5+xlO)=2(x+y25),陰影8的周長(zhǎng)為2(15+盯+15)=2(xj汁30),

陰影/和陰影3的周長(zhǎng)之和為2G+y25)+2(xy+30)=2(2x+5),

若x為定值，則陰影/和陰影3的周長(zhǎng)之和為定值，說(shuō)法③正確；

④：陰影N的較長(zhǎng)邊為(yl5)cm,較短邊為(xlO)cm,陰影3的較長(zhǎng)邊為3x5=15cm,較短邊為(孫+15)

陰影4的面積為（yl5）（xlO）=（xyl5xlOy+15O）cm2,陰影5的面積為15（xy+15）=（15xl5y+225）

cm2,

：?陰影/和陰影8的面積之和為砂15xlQy+150+15xl5尹225=（刈25y+375）cm2,

當(dāng)x=15時(shí)，孫25y+375=（3751Oy）cm2,說(shuō)法④錯(cuò)誤.

綜上所述，正確的說(shuō)法有①③.

故選：A.

443322

5.（2022春?浙江杭州?七年級(jí)統(tǒng)考期中）若a=255,b=3,c=4,5,則a,b,c,d的大小

（用〈號(hào)連接）.

【思路點(diǎn)撥】

把a(bǔ),b,c,d各數(shù)的指數(shù)轉(zhuǎn)為相等，再比較底數(shù)即可.

【解題過(guò)程】

解：a=255=（25）11=32、

=344=（34）11=8111,

c=433=（43）11=641I,

d=522=（52）11=2511,

25<32<64<81,

.--2511<3211<6411<8pi,

即d<a<c<b.

故答案為：d<a<c<b.

6.（2022秋?七年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算（1_|_3一、一4（,+3+；+3+3_。_\_3_、_3_*）（3+\+、+

以的結(jié)果是.

【思路點(diǎn)撥】

設(shè)久=4+1+：+)，把原式化簡(jiǎn)為關(guān)于X的代數(shù)式，再運(yùn)算求解

2345

【解題過(guò)程】

解：設(shè)第=J+J+:+Il,

2345

則原式=(1--(1-%-工

115

=x+——x2——x——x+X2

666

_1

-6

故答案為："

O

7.(2022春?浙江杭州?七年級(jí)校考期中)如果(x-l)(x-2)(x-3)。-4)+爪是一個(gè)完全平方式，那么

m=______

【思路點(diǎn)撥】

2

先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開(kāi)得出原式=(/—5x+4)(x2—5x+6)+m,求出原式=(/-5%+4)

+2(%2-5x+4)+m,再根據(jù)完全平方式得出加即可.

【解題過(guò)程】

解：(x-1)(%-2)(%—3)(x-4)+m

=(x—1)(x-4)(x-2)(x-3)+加

=(x2—5%+4)(%2—5%+6)+m

=(%2—5%+4)[(%2—5x+4)+2]+m

2

=(%2—5%+4)+2(%2—5x+4)+m

*.*(xT)(x-2)(x-3)(工-4)+加是一個(gè)完全平方式，

.*.m=I2=1.

故答案為：1.

333

8.(2022秋?湖南長(zhǎng)沙?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))若a+b+c=0,a+b+c=0,貝lj

a23+b23+c23=.

【思路點(diǎn)撥】

由題意得(Q+b+c)3=0,a+b——c,a+c=—b,b+c=-a,再根據(jù)￡+報(bào)+03=0可得出abc=0,

從而可判斷出a、b、c有一個(gè)等于零，假設(shè)。=0,則b+c=0,b=-c9從而可得出答案.

【解題過(guò)程】

解：???a+b+c=0,

???(a+b+c)3=0,a+b=—c,a+c=—b,b+c=—a,

即Q3+h3+c3+2a2(h+c)+2/)2(a+c)+2c2(a+b)+6abc=0,

整理得：a3+fo3+c3—2a?—2b3—2c3+6abc=0,

即一a3—b3—c3+6abc=0,

又???/+報(bào)+/=o,

:.abc=0,

???a、b、c中有一個(gè)等于零，

假設(shè)a=0,貝！Jb+c=0,即b=—c,

2323232323

則小3+脛+c=0+(-c)23+C=0-C+C=0,

故答案為：0.

9.(2022秋?上海?七年級(jí)專題練習(xí))若a,b,c滿足a-bb+c=1,a2+b2+c2=2,a3+h3+c3=3,

則Q，+/?4+C4=

【思路點(diǎn)撥】

關(guān)鍵整式的乘法法則運(yùn)算，并整體代入變形即可.

【解題過(guò)程】

解：因?yàn)閍+b+C=1,

所以(a+b+c)2=1,即/+fa2+c2+2(ab+ac+be)=1

因?yàn)椤?+抉+=2

所以u(píng)b+etc+be=——

因?yàn)?a+b+c)(a2+h2+c2)=2

所以蘇+力3+03+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=2

因?yàn)閍+b+c=La?+83+03=3

所以3+ab(l-c)+bc(l-a)+uc(l—b)=2

即3+(ab+ba+ac)—3abc=2

3------3o.bc=2

2

abc=-

6

因?yàn)?a+b+c)(a3+h3+c3)=3

即a，+h4+c4+ab(a2+Z)2)+ac(a2+c2)+bc{b2+c2)=3

a4+b4+c4+ab(2—c2)+ac(2—b2)+bc(2—a2)=3

a4+h4+c4+2(a&+be+ac)—abeQa+b+c)=3

1

a4+h4+c4—1——=3

6

1

a4+fo4+c4=4—

6

故答案為：41

10.(2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))建黨100周年主題活動(dòng)中，702班滑將設(shè)計(jì)了如圖1的“紅色徽章”其

設(shè)計(jì)原理是：如圖2,在邊長(zhǎng)為a的正方形EFGH四周分別放置四個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，構(gòu)造了一個(gè)大正

方形ABCD,并畫(huà)出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標(biāo).現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作Si，每一個(gè)邊長(zhǎng)

為b的小正方形面積記作52,若SI=6S2,則藍(lán)的值是.

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)圖形中陰影部分均為三角形，利用三角形面積公式，找到底和高可求出AOG/與AMNC面積，求AKMD

面積使用正方形面積減去三個(gè)三角形面積，可求得Si，S2，利用已知條件進(jìn)行多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)即可得出答案.

【解題過(guò)程】

解：如圖所示，對(duì)需要的交點(diǎn)標(biāo)注字母：

圖2

SRDGI=[(a+b)xb=^ab+^b2,

S^KMD=^ABCD~S&DMC~SADKA~S^KBM

111

=(a+2b￥——(tz+b)(a+2b)——(tz+2b)(a+b)——

=ab+-b2

2f

S^MNC="I(a+b)xb=gab+3,

二?Si=S^DGI+SAKMD+S^MNC=2ab+qb，

2

52=bf

VSi=6s2，

.\2ab+-b2=6b2,

2

化簡(jiǎn)得：2a=1/),

.a_7

?二一"

故答案為：p

11.(2022秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))若(必+3mx-(%2—3%+九)的積中不含有x與第3項(xiàng).

(1)直接寫(xiě)出他、幾的值，即m=,n=；

23

(2)求代數(shù)式(一mn)+(9)7m>+(3根)2014rl2016的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，然后根據(jù)積中不含有無(wú)與％3項(xiàng)可以求解血、九的值.

(2)將TH、九的值代入代數(shù)式求值即可.

【解題過(guò)程】

(1)解：卜2+3mx—0(%2—3x+n)

=x4—3x3+nx2+3mx3—9mx2+3mnx--x2+x--n

33

=x4+(3m—3)x3+(ri—9m—i)x2+(3mn+l)x—

???積中不含有％與％3項(xiàng)，

3m—3=0,3mn+1=0,

解得m=1,n=—

故答案為：1,—g.

(2)解：當(dāng)m=l,九=一］時(shí)，

220142016

(―m2rl)3.|_(9mn)+(3m)n

45一孫向《孫叫《曠

=鉆+5+上閭°"與

11

=—+9+—

279

4

=9——.

27

12.(2020春?浙江杭州?七年級(jí)?？计谥?回答下列問(wèn)題：

(1)填空：

(a—b)(a+b)—；

(a—b)(a2+ab+b2)=；

(a—b)(a3+a2b+ab2+fe3)=.

(2)猜想：

(a-Z))(an-1+an-2b++abn~2+bn-1)=.(其中n為正整數(shù)，且zi22)；

(3)利用(2)猜想的結(jié)論計(jì)算：

①210+29+28+27+…+23+22+2；

②210-29+28-27+??--23+22-2.

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則對(duì)每個(gè)式子進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)(1)中的各個(gè)式子的規(guī)律，可以寫(xiě)出相應(yīng)的猜想；

(3)利用(2)中的猜想，對(duì)算式進(jìn)行變形即可解答本題.

【解題過(guò)程】

解：(a—6)(a+&)=a2-62；

(a—6)(a2+ab+h2)

=a3+a2b+a/72—a2b—ab2—b3

=a3—b3；

(a—6)(a3+a2b+ab2+h3)

4234

=a+a3b+a2b2+二扭—a3b_Q2b—ab—b

=a4—b4；

故答案為：a2-62；a3-h3；a4-fo4；

(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律，可得猜想：

(a—h)(an-1+呼-2b+—FaZ?n-2+6n-1)=a！1—bn(其中n為正整數(shù)，且九22),

故答案為：那一〃；

(3)@210+29+28+27+-+23+22+2

=210+29+28+27+???+23+22+2+1-1

=(2-1)(210+29x1+28xI2+27xI3+-+23xI7+22xI8+2xI9+I10)-1

=211-1-1

=2048-1-1

=2046；

②210-29+28-27+…一23+22-2

=210-29+28-27+-23+22-2+1-1

=|x[2-(-1)][210+29x(-1)+28x(-I)2+27x(-I)3+-+23x(-I)7+22x(-I)8+2x

(-I)9+(-I)10]-l=1x[211-(-I)11]-1

1

=~x2049-1

3

=683-1

=682.

13.(2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+...+22020+2?。21的值，采

用以下方法:

設(shè)S=l+2+22+.?.+22020+22021①

貝|J2s=2+22+…+22021+22022②

②一①得，2S—S=S=22022一1.

請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問(wèn)題：

(1)2+22+…+220=.

(2)求l+g+*+…++壺=;

(3)求(—2)+(-2)2+.??+(-2)1。。的和；(請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)

(4)求a+2a3a3H---Fzian的和(其中a：/：0且aKl).(請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)閱讀材料可得：設(shè)s=2+22+…+22。①，貝12s=22+23+…+22。+221②，②一①即可得結(jié)果；

⑵設(shè)S=l+g+也H---①，+---1■貴+*②，②一①即可得結(jié)果；

(3)設(shè)s=(-2)+(—2產(chǎn)+…+(—2)1。。①，2s=(-2/+(—2尸+…+(—2)1?！竣冢谝虎偌纯傻媒Y(jié)果；

(4)設(shè)s=a+2a2+3a3H---Fna71①，as=a2+2a3+3a4HF九。H】②，②一①得ass=aa2—a3—a4H---

a71+nan+1,同理：求得a?—a3—a’+…一a"]，進(jìn)而即可求解.

【解題過(guò)程】

解：根據(jù)閱讀材料可知：

(1)設(shè)s=2+22+…+22°①，

2s=22+23+...+22。+221②，

②-①得，2s-s=s=22i-2；

故答案為：221-2；

(2)設(shè)s=l+[+±+…+^@’

點(diǎn)三+或+?”+*+*，

②一①得，3r=}=表1,

故答案為：2/；

(3)設(shè)s=(—2)+(—2)2+.??+(-2＞。。①

25=(-2)2+(-2)3+…+(-2)101②

②—①得，2s—s=3s=(-2)i0i+2

._2101-2

?*s-；

(4)設(shè)s=a+2a2+3a3,|----1_n。九①，

as=az+2a3+3a4,|---1_72azi+i②，

②①得：ass=aa2—a3—a4H-----an+nan+1,

設(shè)m=ao^—c?—q4+…一a71③，

am=a2—a3—a4H-----an+1(4),

④③得：amm=aan+1,

.a-an+1i

??ass=------\~nan+,

a—1

._a-an+1,nan+1

-S—g_i)2十Q_I?

14.(2022秋?湖南永州?七年級(jí)?？计谥?規(guī)定兩數(shù)a,b之間的一種運(yùn)算，記作(a,b),如果出=6.我們

叫(哂為“雅對(duì)”.

例如：因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3.我們還可以利用“雅對(duì)”定義說(shuō)明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.證明

如下：

設(shè)(3,3)=小，(3,5)=n,貝i]3"l=3,3n=5,故3m?3八=37n+"=3x5=15,

則(3,15)=m+n,即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(2,4)=；(5,1)=；(3,27)=.

(2)計(jì)算(5,2)+(5,7)=,并說(shuō)明理由.

(3)利用“雅對(duì)”定義證明：(253八)=(2,3),對(duì)于任意自然數(shù)幾都成立.

【思路點(diǎn)撥】

(1)由于22=4,5°=1,33=27根據(jù)“雅對(duì)”的定義可得；

(2)設(shè)(5,2)=m,(5,7)=n,利用新定義得到51n=2,5n=7,根據(jù)同底數(shù)賽的乘法得到5m?5八=

5m+n=14,然后根據(jù)“雅對(duì)''的定義得到(5,14)=m+n,從而得

到(5,2)+(5,7)=(5,14);

(3)設(shè)：(2n,3n)=a,(2,3)=b,利用新定義得到(2n)"=3%2^=3,根據(jù)賽的乘方得到

(2n)"=(2":從而得到a=b,所以(2n,3n)=(2,3),對(duì)于任意自然數(shù)"都成立.

【解題過(guò)程】

(1)V22=4，

.,.(2,4)=2；

V50=1,

A(5,1)=0；

V33=27,

：.(3,27)=3

故答案為：2；0；3；

(2)(5,2)+(5,7)=(5,14)；

理由如下：

設(shè)(5,2)=小，(5,7)=律，貝I]5m=2,5n=7,

5m?5n=5m+n=2x7=14,

,/(5,14)—m+n,

：.(5,2)+(5,7)=(5,14)；

故答案為：(5,14)；

(3)設(shè)(2n,3n)=a,(2,3)=b,

：.(2n)a=3",2b=3,

a,n

：.⑵)=(2fi),

即2麗=2bn,

an=bn,

??ct—b,

即(2L3D=(2,3),對(duì)于任意自然數(shù)〃都成立.

15.(2022春?江西撫州?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))我們學(xué)過(guò)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，那么多項(xiàng)

式除以多項(xiàng)式該怎么計(jì)算呢？我們也可以用豎式進(jìn)行類似演算，即先把被除式、除式按某個(gè)字母的指數(shù)從

大到小依次排列項(xiàng)的順序，并把所缺的次數(shù)項(xiàng)用零補(bǔ)齊，再類似數(shù)的豎式除法求出商式和余式，其中余式

為0或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù).

例：計(jì)算(8/+6x+1)+(2x+1),可依照672+21的計(jì)算方法用豎式進(jìn)行計(jì)算.因此(8/+6%+1)4-

(2x+1)=4x+1.

0

C1)(x3+4x2+5x-6)-?(%+2)的商是,余式是.

(2)利用上述方法解決：若多項(xiàng)式2/+4爐++8%—匕能被/一萬(wàn)+1整除，求W值.

(3)已知一個(gè)長(zhǎng)為。+2),寬為(X-2)的長(zhǎng)方形/,若將它的長(zhǎng)增加6,寬增加。就得到一個(gè)新長(zhǎng)方形8,

此時(shí)長(zhǎng)方形3的周長(zhǎng)是N周長(zhǎng)的2倍(如圖).另有長(zhǎng)方形C的一邊長(zhǎng)為Q+10),若長(zhǎng)方形8的面積比C

的面積大76,求長(zhǎng)方形C的另一邊長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的法則計(jì)算.

(2)根據(jù)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的法則計(jì)算.

(2)通過(guò)面積關(guān)系求長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng).

【解題過(guò)程】

(1)解：(尤3+4/+5x-6)+(x+2)用豎式計(jì)算如下，

+2x+1

x+2)+3++5x-6

X3+2X2

2%2+5x—6

2x2+4x

x-6

x+2

-8

+4%2+5%_6)+(x+2)的商是/+2%+1,余式是—8.

???答案為：x2+2x+1,—8.

(2)多項(xiàng)式2—+4/+辦2+8%一6能被/r+i整除，

2x2+6x—2

x2-x+1j2x4+4x3+ax2+Sx-b

2——2j?+2f

6x3+(Q-2)x2+8x

則6x3-6x2+6x

(〃+4)f+2x-Z?

-2f+2x-2

0

<7+4(2)=0,b(2)=0.

...a=6,b=2.

ab=(6)2=36.

(3)長(zhǎng)方形4的周長(zhǎng)為：2(x+2+x2)=4x.

長(zhǎng)方形5的周長(zhǎng)為：2G2+a+x+2+6)=4x+2tz+12.

???長(zhǎng)方形B的周長(zhǎng)是4周長(zhǎng)的2倍.

.??4x+2a+12=8x.

:?a=2x6.

二.長(zhǎng)方形5的面積為：(x+2+6)(x2+2x6)=(x+8)(3x8)=3x2+16x64.

?,?長(zhǎng)方形。的面積為：3x2+16xl40.

J長(zhǎng)方形。的另一邊長(zhǎng)為：(3/+16xl40)4-(x+10)=3x14.

314

X+10)3X2+16X-140

3x2+30x

-14x-140

—14140

0

長(zhǎng)方形。的另一邊長(zhǎng)為：3x14.

16.(2022春?浙江金華?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以

得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如圖1可以得到(。+切2=小+2必+52,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

bab

(1)寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；

(2)利用(1)中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若a+b+c=15,ah+ac+be=35,則原+b2+c2=；

(3)小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為。的正方形，丁張邊長(zhǎng)為6的正方形，2張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙

片拼出一個(gè)面積為(2a+b)(a+2b)長(zhǎng)方形圖形，則％+y+z=.

(4)如圖4所示，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為。和b的正方形拼在一起，B,C,G三點(diǎn)在同一直線上，連接ZG和

GE,若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b=12,ab=20,你能求出陰影部分的面積嗎？

【思路點(diǎn)撥】

(1)由大正方形等于9個(gè)長(zhǎng)方形面積的和；

(2)將所求式子轉(zhuǎn)化為小+h2+c2=(a+Z?+c)2—(2ab+2bc+2ac),代入已知條件即可；

(3)將式子化簡(jiǎn)為(2a+b)(a+2b)=2〃+5ab+2b2,即可確定無(wú)、y、z的值；

(4)陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積.

【解題過(guò)程】

解：(1)由圖可知大正方形面積為(a+b+c)2,大正方形由9個(gè)長(zhǎng)方形組成，則有(a+/?+c)2=a2+b2+

c2+2ab+2bc+2ac；

故答案為(a+b+c)2=必+乂+c2+2ab+2bc+2ac；

(2)由(1)可得次+公+c2=(Q+6+。)2—(2尤+2bc+2ac),

???a+b+c=15,abac+be=35,

???次+扶+=225-2x35=155；

故答案為155；

(3)v(2a+6)(a+2b)=2a2+5ab+2b2,

x-2,y=2,z-5f

?,?%+y+z=9；

故答案為9；

(4)由已知，陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積，

即a2+——a(a+6)―5b2——cJ'+———ab=—[(a+b)2_3aZ?],

a+b=12,ab=20,

](a+6)2-3ab]=1(144-60)=42.

17.(2022秋?江蘇常州?七年級(jí)?？计谥?已知7張如圖1所示的長(zhǎng)為a,寬為6(a>b)的小長(zhǎng)方形紙片,

按圖2的方式不重疊地放在矩形4BCD內(nèi)，未被覆蓋的部分(兩個(gè)矩形)用陰影表示.設(shè)左上角與右下角

的陰影部分的面積的差為S.設(shè)8C=t.

(1)用a、b、t的代數(shù)式表示S=.

(2)當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，如果S始終保持不變，則a、b應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是什么？

(3)在(2)的條件下，用這7張長(zhǎng)為a,寬為b的矩形紙片，再加上x(chóng)張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，y張邊

長(zhǎng)為b的正方形紙片(久，y都是正整數(shù))，拼成一個(gè)大的正方形(按原紙張進(jìn)行無(wú)空隙、無(wú)重疊拼接)，

則當(dāng)久+y的值最小時(shí)，求拼成的大的正方形的邊長(zhǎng)為多少(用含6的代數(shù)式表示)？并求出此時(shí)的久、y

的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)先用a、6、t分別表示出陰影部分的長(zhǎng)和寬，進(jìn)而分別表示出陰影的面積，然后作差求解即可；

(2)根據(jù)差與8c無(wú)關(guān)即可求出a、6的關(guān)系；

(3)根據(jù)題意可得出拼得的正方形的面積為7ab+*a2+、/=按f2i+9x+y>；根據(jù)正方形的面積可

得9x+y+21是完全平方數(shù)，結(jié)合x(chóng)、y為正整數(shù)即可得出答案.

【解題過(guò)程】

(1)解：記左上角陰影部分的面積為Si，右下角陰影部分的面積為S2,

左上角陰影部分長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為t-a,寬為36,

；.Si=36(t—a)=3bt-3ab.

右下角陰影部分長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為t-4b,寬為a,

S2=aCt—4b)=at—4ab.

**?S=Si-52--3bt—3ab-Cat—4abl

=3bt—3ab-at+4ab

=ab+(3b—a)t.

(2)解：當(dāng)t的長(zhǎng)度變化時(shí)，要使得S始終保持不變，即上面代數(shù)式的值與t無(wú)關(guān)，

；.36—a=0,即a、6滿足的關(guān)系是：a=3b.

(3)解：拼成的大正方形的面積為：7張邊長(zhǎng)為a,寬為b的矩形的面積+x張邊長(zhǎng)為a的正方形的面積+y

張邊長(zhǎng)為b的正方形的面積，

二拼成的大正方形的面積為：7ab+刈2+皿2,

Va=3b,

2

7ab+xa2+yb2=7x3/?xh+xx(3b)+yb2

=b2(21+9%+y),

9：b2121+9第+y)是一個(gè)完全平方數(shù)，

???9%+y+21是完全平方數(shù)，而％、y都是正整數(shù)，

9x+y+21》9+1+21=31,

當(dāng)9%+y+21=36時(shí)，x=1,y=6,此時(shí)久+y=7,

當(dāng)9%+y+21=49時(shí)，x=3,y=1,止匕時(shí)為+y=4；

或者久=2,y=10,止匕時(shí)x+y=12；

或者第=1,y=19,此時(shí)％+y=20.

當(dāng)9%+y+21取更大的完全平方數(shù)時(shí)，％+y的值也變大，

故％+y的最小值為4,此時(shí)拼成的大正方形的面積為49b2,則邊長(zhǎng)為7b,且％=3,y=l.

18.(2022春?四川達(dá)州?七年級(jí)統(tǒng)考期末)把圖1的長(zhǎng)方形看成一個(gè)基本圖形，用若干相同的基本圖形進(jìn)行

拼圖(重合處無(wú)縫隙).

圖1圖2圖3圖4

(1)如圖2,將四個(gè)基本圖形進(jìn)行拼圖，得到正方形ABCD和正方形EFG”，用兩種不同的方法計(jì)算圖中

陰影部分的面積(用含。，6的代數(shù)式表示)，并寫(xiě)出一個(gè)等式；

(2)如圖3,將四個(gè)基本圖形進(jìn)行拼圖，得到四邊形MNPQ,求陰影部分的面積(用含0,6的代數(shù)式表示);

(3)如圖4,將圖3的上面兩個(gè)基本圖形作為整體圖形向左運(yùn)動(dòng)x個(gè)單位，再向上運(yùn)動(dòng)2b個(gè)單位后得到一

個(gè)長(zhǎng)方形圖形，若AB=b,BC把圖中陰影部分分割成兩部分，這兩部分的面積分別記為Si，S2,若租=Si-

S2,求證：加與x無(wú)關(guān).

【思路點(diǎn)撥】

(1)陰影部分的面積有兩種計(jì)算方法，①S用彩=S大正方杉-AS基本國(guó)夠；②直接根據(jù)正方形EFG"的邊長(zhǎng)求正方

形￡砥汨的面積；

(2)先證明四邊形N8CO是正方形，然后用正方形-4s會(huì)留7

(3)把S/,S2分別用含。、b、x的式子表示出來(lái)，然后計(jì)算"?=S/-S2,即可證明N與x無(wú)關(guān).

【解題過(guò)程】

(1)解：①?.?在圖2中，四邊形A8CD是正方形，

二正方形的面積為S正方影=(a+6)2.

:四個(gè)基本圖形的面積為4ab,

??S場(chǎng)彩=(。+by4ab；

②"/四邊形EFGH是正方形，

:.EH=EF=a-b,

:.S網(wǎng)產(chǎn)EH2=(a-l^；

(a+6)2~4ab=(a-b)2.

(2)解：,:NP=a+b,MN^a+b,

四邊形EFG”是正方形，

Sgj^=MNi~^ab=(a~\~b^—Aab,

即S幽彩=(a+6>-4a6=。?-2a6+ZA

(3)證明：根據(jù)圖形可知，AF=a+x-2b,

m=S「S2

=2b*2b-\-bx-(a-26+x)b-3b，b

=4b2-\~bx—(.ab—2b2-\~bx}-3b2

=4〃+bx~ab+2b2-bxTb2

=3b2-ab

，S與x無(wú)關(guān).

19.(2022春?江蘇泰州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，4張長(zhǎng)為x,寬為y(x>y)的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)邊

長(zhǎng)為(x+y)的正方形48CD.

(1)當(dāng)正方形/BCD的周長(zhǎng)是正方形EFG"周長(zhǎng)的三倍時(shí)，求二的值；

y

(2)當(dāng)空白部分面積是陰影部分面積的二倍時(shí)，求工的值；

y

(3)在(2)的條件下，用題目條件中的4張長(zhǎng)方形紙片，加張正方形紙片和一張正方形￡F"G紙

片(小，〃為正整數(shù))，拼成一個(gè)大的正方形(拼接時(shí)無(wú)空隙、無(wú)重疊)，當(dāng)加，〃為何值時(shí)，拼成的大正

方形的邊長(zhǎng)最??？

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)正方形48CD的周長(zhǎng)是正方形EFGH周長(zhǎng)的3倍列等式可得：x=2y,從而得結(jié)論；

(2)先求得空白部分的面積，再利用面積差可得陰影部分的面積和，根據(jù)題意列方程求解，從而得結(jié)論；

(3)根據(jù)題意可得出大的正方形面積為4xy++y)2+久-y)2,根據(jù)(2)中的結(jié)論x=2y,即大的

正方形面積可化為(8+9m+n)y2,由題意可知因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L(zhǎng)一定是的整數(shù)倍，則8+9加+〃是平方

數(shù)，因?yàn)楦ⅰǘ际钦麛?shù)，即8+9加+〃最小是25,即可得出答案.

【解題過(guò)程】

(1)解:由題意得：4(x+y)=3x4(xy),

解得：x=2y,

...二2；

y

(2)解：如圖,

空白部分的面積=5正方形EFGH+2sAi4PB+^LPED

11

=(%—y)2+2x—y(x+y)+2x-xy

=x2+2y2,

陰影部分的面積和=正方形/BCD的面積空白部分的面積

=(%+y)2—(x2+2y2)

=2xy—y2,

由題意得：x2+2y2=2(2xy-y2),

整理得:(x-2y)2=0,

解得：x=2yf

JJ；

y

(3)

解：由題意得：拼成一個(gè)大的正方形的面積=4%y+zn(x+y)2+九(％-y)2,

由(2)知:x=2y,

4xy+m(x+y)2+n(x—y)2

=4?2y?y+9my2+ny2

=(8+9m+n)y2,

因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L(zhǎng)一定是y的整數(shù)倍，

???8+9加+〃是平方數(shù)，

,:m,〃都是正整數(shù)，

8+9m+?最小是25,即9加+〃=17,

/.m=\,w=8,

此時(shí)4xy+m(x+y)2+n(x—y)2=(8+9m+n)y2=25y2,

則加=1,〃=8時(shí)，拼成的大正方形的邊長(zhǎng)最小.

20.(2022春?廣東佛山?七年級(jí)統(tǒng)考期末)【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法.比如:

在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí)，我們通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：(a+6)2=

a2+2ab+b2(如圖1).利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問(wèn)題，也可以用圖形關(guān)系

解決代數(shù)問(wèn)題.