




版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
專題1.1整式的乘除
典例精析
【典例1】【知識(shí)回顧】有這樣一類題:
代數(shù)式(1久一y+6+3x-5y-1的值與x的取值無(wú)關(guān),求a的值;
通常的解題方法;
把x,y看作字母,。看作系數(shù)合并同類項(xiàng),因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān),所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0,即原
式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=0,即a=-3.
b
圖1圖2
【理解應(yīng)用】
(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式(2m-3)x+2m2-3m的值與x的取值無(wú)關(guān),求m的值;
(2)已知3[(2x+1)(刀-1)一x(l-3y)]+6(-/+無(wú)y-1)的值與x無(wú)關(guān),求了的值;
【能力提升】
(3)如圖1,小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為°、寬為6,有7張圖1中的紙片按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形
/BCD內(nèi),大長(zhǎng)方形中有兩個(gè)部分(圖中陰影部分)未被覆蓋,設(shè)右上角的面積為Si,左下角的面積為S2,
當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)變化時(shí),S「S2的值始終保持不變,求。與6的等量關(guān)系.
【思路點(diǎn)撥】
(1)根據(jù)含x項(xiàng)的系數(shù)為0建立方程,解方程即可得;
(2)先根據(jù)整式的加減求出34+6B的值,再根據(jù)含x項(xiàng)的系數(shù)為0建立方程,解方程即可得;
(3)設(shè)4B=x,先求出SiS,從而可得S1—S2,再根據(jù)“當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí),S1一S2的值始終保持不變”
可知Si-52的值與x的值無(wú)關(guān),由此即可得.
【解題過(guò)程】
解:(1)(2%—3)m+2m2-3x=2mx—3m+2m2—3x
=(2m—3)x—3m+2m2,
???關(guān)于x的多項(xiàng)式(2%—3)m+2m2—3%的值與x的取值無(wú)關(guān),
2m—3=0,
解得m=
(2)令4=(2x+l)(x-l)-x(l-3y)=2%2-2%+x-l-x+3%y=2x2+3xy-2%-l,
B=—%2+xy—1,
原式=3Z+68=3(2/+3xy—2%—1)+6(—%2+xy-1)
=6x2+9xy—6%—3—6x2+6xy—6
=15xy—6x—9
=(15y—6)x—9,
???34+6B的值與%無(wú)關(guān),
???15y—6=0,
解得y=I;
(3)解:設(shè)48=%,
由圖可知,S1=a(x-3b)=ax—3ab,S2—2b(x—2d)=2bx—4abf
則Si-S2=ax-3ab—(2bx—4ab)
=ax—3ab—2bx+4ab
=(a-2b)x+ab,
???當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí),Si-S2的值始終保持不變,
???Si—S2的值與%的值無(wú)關(guān),
a-2b=0,
ct—2b.
學(xué)霸必刷
1.(2022春?貴州六盤(pán)水?七年級(jí)統(tǒng)考期中)已知。1,。2,。3,…,。2022均為負(fù)數(shù),則M=31+。2+。3+…+
a2021)(a2+a3----卜。2022),N=(%+。2+a3----卜a2022)(a2+a3----卜。2021),則”與N的大小關(guān)系是
()
A.M=NB.M>NC.M<ND.無(wú)法確定
【思路點(diǎn)撥】
令。2+。3---1-。2021=%,則M=(%+%)(%+。2022)=alx+。1。2022++/+。2022%,N=(%+%+
。2022)%=+/+。2022%,將腦V,進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論?
【解題過(guò)程】
解:令做+。3---1"。2021=%,則M=+%)(%+@2022)=alx+ala2022+/+。2022%,N=(%+%+
口2022)%=d+a2022Xf
:.MN=a1X+。1。2022+/+。2022汽(的%+/+。2022%)=%。2022,
?。1,4,…,。2022均為負(fù)數(shù),
??。1。2022>°,
即M>N.
故選:B.
2.(2022秋?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))設(shè)%,y為任意有理數(shù),定義運(yùn)算:%*y=(%+l)(y+1)-1,得到
下列五個(gè)結(jié)論:①%*y=y*久;②%*y+z=%*y+%*z;③(%+1)*(久—1)=%*%—1;@x*0=0;
⑤(%+1)*(%+1)=%*%+2*%+1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)題中定義的運(yùn)算,對(duì)各結(jié)論中新定義的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算,判斷即可解答.
【解題過(guò)程】
解:'.'x*y=(%+l)(y+1)-1,
y*x=(y+1)(%+1)—1,
.\x*y=y*x,
故①正確;
*/%*y+z=(%+l)(y+l)-l+z=xy+x+y+z,
x*y+x*z=(%+l)(y+1)—1+(%+l)(z+1)—l=%y+久+y+%z+%+z=%y+%z+2%+y+z,
.,.%*y+z^=x*y+x*z,
故②錯(cuò)誤;
'/(%+1)*(%—1)=(%+1+l)(x—1+1)-1=(X+2)x—1=%2+2%—1.
x*x—l=(x+l)(x+l)—1—l=x2+2x—1.
.,.(%+1)*(%—1)=%*%—1,
故③正確;
Vx*0=(%+1)(0+1)—l=x+l—l=x,
x*0豐0,
故④錯(cuò)誤;
V(x+1)*(x+1)=(%+1+1)(%+1+1)—1=0+2)2—1=/+4%+3,
x*x+2*x+l=(%+1)(%+1)—1+(2+1)(%+1)—l+l=(x+I)2+3(%+1)-1=%2+5x+3.
二.(%+1)*(%+1)W%*%+2*%+1
故⑤錯(cuò)誤.
綜上所述,正確的個(gè)數(shù)為2.
故選:B.
3.(2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))設(shè)X+y+z=2020,且喘=施;,則%3+y3+一3%yz=
()
A.673B.—C.—D.674
33
【思路點(diǎn)撥】
令肅可將x、z的值用y與a表示,利用“+y+z=202°求出a的值,然后將所求的
式子化簡(jiǎn)成只含有y與a的式子,再代入求解即可.
【解題過(guò)程】
角星:設(shè)」一=—^―=,一=a
201920202021
X—2019a,y=2020a,z=2021a
貝小x=y—a
z=y+a
將x,y,z的值代入久+y+z=2020可得:2019a+2020a+2021a=2020
解得:a=[
???%3=(y—a)3=(y-a)(y2—2ay+a2)=y3—3ay2+3a2y—a3
3322323
z=(y+a)=(y+a)(y+2ay+a)=y+3ay+3a2y+a
3xyz=3y(y—a)(y+a)=3y(y2—a2)=3y3—3a2y
???%3+y34-z3—3xyz
=(y3-3ay2+3a2y—a3)+y3+(y3+3ay2+3a2y+a3)—(3y3—3a2y)
=9a2y
=9a2-2020a
1,
=9x2020x(-)3
_2020
3
故選:B.
4.(2022春?江蘇南京?七年級(jí)南京市人民中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖,長(zhǎng)為y(cm),寬為x(cm)的大長(zhǎng)方形被
分割為7小塊,除陰影/,3外,其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形,其較短的邊長(zhǎng)為5cm,下列
說(shuō)法中正確的是()
①小長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)邊為丫-15;
②陰影/的較短邊和陰影2的較短邊之和為無(wú)-y+5;
③若x為定值,則陰影/和陰影3的周長(zhǎng)和為定值;
④當(dāng)久=15時(shí),陰影/和陰影2的面積和為定值.
A.①③B.②④C.①③④D.①④
【思路點(diǎn)撥】
①觀察圖形,由大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)及小長(zhǎng)方形的寬,可得出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為015)cm,說(shuō)法①正確;②由大長(zhǎng)
方形的寬及小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬,可得出陰影4,8的較短邊長(zhǎng),將其相加可得出陰影/的較短邊和陰影8
的較短邊之和為(2x+5y)cm,說(shuō)法②錯(cuò)誤;③由陰影4,2的相鄰兩邊的長(zhǎng)度,利用長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算公
式可得出陰影/和陰影2的周長(zhǎng)之和為2(2"5),結(jié)合x(chóng)為定值可得出說(shuō)法③正確;④由陰影Z,3的相
鄰兩邊的長(zhǎng)度,利用長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可得出陰影/和陰影3的面積之和為(町25y+375)cm2,代入
x=15可得出說(shuō)法④錯(cuò)誤.
【解題過(guò)程】
解:①:大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為ycm,小長(zhǎng)方形的寬為5cm,
.,.小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為了3*5=(yl5)cm,說(shuō)法①正確;
②:大長(zhǎng)方形的寬為xcm,小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為(yl5)cm,小長(zhǎng)方形的寬為5cm,
二陰影/的較短邊為x2*5=(xlO)cm,陰影2的較短邊為x=(xy+15)cm,
???陰影4的較短邊和陰影8的較短邊之和為xlO+xy+15=(2x+5y)cm,說(shuō)法②錯(cuò)誤;
③:陰影/的較長(zhǎng)邊為(yl5)cm,較短邊為(xlO)cm,陰影3的較長(zhǎng)邊為3x5=15cm,較短邊為(xy+15)
cm,
...陰影/的周長(zhǎng)為2(yl5+xlO)=2(x+y25),陰影8的周長(zhǎng)為2(15+盯+15)=2(xj汁30),
陰影/和陰影3的周長(zhǎng)之和為2G+y25)+2(xy+30)=2(2x+5),
若x為定值,則陰影/和陰影3的周長(zhǎng)之和為定值,說(shuō)法③正確;
④:陰影N的較長(zhǎng)邊為(yl5)cm,較短邊為(xlO)cm,陰影3的較長(zhǎng)邊為3x5=15cm,較短邊為(孫+15)
陰影4的面積為(yl5)(xlO)=(xyl5xlOy+15O)cm2,陰影5的面積為15(xy+15)=(15xl5y+225)
cm2,
:?陰影/和陰影8的面積之和為砂15xlQy+150+15xl5尹225=(刈25y+375)cm2,
當(dāng)x=15時(shí),孫25y+375=(3751Oy)cm2,說(shuō)法④錯(cuò)誤.
綜上所述,正確的說(shuō)法有①③.
故選:A.
443322
5.(2022春?浙江杭州?七年級(jí)統(tǒng)考期中)若a=255,b=3,c=4,5,則a,b,c,d的大小
(用〈號(hào)連接).
【思路點(diǎn)撥】
把a(bǔ),b,c,d各數(shù)的指數(shù)轉(zhuǎn)為相等,再比較底數(shù)即可.
【解題過(guò)程】
解:a=255=(25)11=32、
=344=(34)11=8111,
c=433=(43)11=641I,
d=522=(52)11=2511,
25<32<64<81,
.--2511<3211<6411<8pi,
即d<a<c<b.
故答案為:d<a<c<b.
6.(2022秋?七年級(jí)單元測(cè)試)計(jì)算(1_|_3一、一4(,+3+;+3+3_。_\_3_、_3_*)(3+\+、+
以的結(jié)果是.
【思路點(diǎn)撥】
設(shè)久=4+1+:+),把原式化簡(jiǎn)為關(guān)于X的代數(shù)式,再運(yùn)算求解
2345
【解題過(guò)程】
解:設(shè)第=J+J+:+Il,
2345
則原式=(1--(1-%-工
115
=x+——x2——x——x+X2
666
_1
-6
故答案為:"
O
7.(2022春?浙江杭州?七年級(jí)校考期中)如果(x-l)(x-2)(x-3)。-4)+爪是一個(gè)完全平方式,那么
m=______
【思路點(diǎn)撥】
2
先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開(kāi)得出原式=(/—5x+4)(x2—5x+6)+m,求出原式=(/-5%+4)
+2(%2-5x+4)+m,再根據(jù)完全平方式得出加即可.
【解題過(guò)程】
解:(x-1)(%-2)(%—3)(x-4)+m
=(x—1)(x-4)(x-2)(x-3)+加
=(x2—5%+4)(%2—5%+6)+m
=(%2—5%+4)[(%2—5x+4)+2]+m
2
=(%2—5%+4)+2(%2—5x+4)+m
*.*(xT)(x-2)(x-3)(工-4)+加是一個(gè)完全平方式,
.*.m=I2=1.
故答案為:1.
333
8.(2022秋?湖南長(zhǎng)沙?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))若a+b+c=0,a+b+c=0,貝lj
a23+b23+c23=.
【思路點(diǎn)撥】
由題意得(Q+b+c)3=0,a+b——c,a+c=—b,b+c=-a,再根據(jù)£+報(bào)+03=0可得出abc=0,
從而可判斷出a、b、c有一個(gè)等于零,假設(shè)。=0,則b+c=0,b=-c9從而可得出答案.
【解題過(guò)程】
解:???a+b+c=0,
???(a+b+c)3=0,a+b=—c,a+c=—b,b+c=—a,
即Q3+h3+c3+2a2(h+c)+2/)2(a+c)+2c2(a+b)+6abc=0,
整理得:a3+fo3+c3—2a?—2b3—2c3+6abc=0,
即一a3—b3—c3+6abc=0,
又???/+報(bào)+/=o,
:.abc=0,
???a、b、c中有一個(gè)等于零,
假設(shè)a=0,貝!Jb+c=0,即b=—c,
2323232323
則小3+脛+c=0+(-c)23+C=0-C+C=0,
故答案為:0.
9.(2022秋?上海?七年級(jí)專題練習(xí))若a,b,c滿足a-bb+c=1,a2+b2+c2=2,a3+h3+c3=3,
則Q,+/?4+C4=
【思路點(diǎn)撥】
關(guān)鍵整式的乘法法則運(yùn)算,并整體代入變形即可.
【解題過(guò)程】
解:因?yàn)閍+b+C=1,
所以(a+b+c)2=1,即/+fa2+c2+2(ab+ac+be)=1
因?yàn)椤?+抉+=2
所以u(píng)b+etc+be=——
因?yàn)?a+b+c)(a2+h2+c2)=2
所以蘇+力3+03+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=2
因?yàn)閍+b+c=La?+83+03=3
所以3+ab(l-c)+bc(l-a)+uc(l—b)=2
即3+(ab+ba+ac)—3abc=2
3------3o.bc=2
2
abc=-
6
因?yàn)?a+b+c)(a3+h3+c3)=3
即a,+h4+c4+ab(a2+Z)2)+ac(a2+c2)+bc{b2+c2)=3
a4+b4+c4+ab(2—c2)+ac(2—b2)+bc(2—a2)=3
a4+h4+c4+2(a&+be+ac)—abeQa+b+c)=3
1
a4+h4+c4—1——=3
6
1
a4+fo4+c4=4—
6
故答案為:41
10.(2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))建黨100周年主題活動(dòng)中,702班滑將設(shè)計(jì)了如圖1的“紅色徽章”其
設(shè)計(jì)原理是:如圖2,在邊長(zhǎng)為a的正方形EFGH四周分別放置四個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形,構(gòu)造了一個(gè)大正
方形ABCD,并畫(huà)出陰影部分圖形,形成了“紅色徽章”的圖標(biāo).現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作Si,每一個(gè)邊長(zhǎng)
為b的小正方形面積記作52,若SI=6S2,則藍(lán)的值是.
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)圖形中陰影部分均為三角形,利用三角形面積公式,找到底和高可求出AOG/與AMNC面積,求AKMD
面積使用正方形面積減去三個(gè)三角形面積,可求得Si,S2,利用已知條件進(jìn)行多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)即可得出答案.
【解題過(guò)程】
解:如圖所示,對(duì)需要的交點(diǎn)標(biāo)注字母:
圖2
SRDGI=[(a+b)xb=^ab+^b2,
S^KMD=^ABCD~S&DMC~SADKA~S^KBM
111
=(a+2b¥——(tz+b)(a+2b)——(tz+2b)(a+b)——
=ab+-b2
2f
S^MNC="I(a+b)xb=gab+3,
二?Si=S^DGI+SAKMD+S^MNC=2ab+qb,
2
52=bf
VSi=6s2,
.\2ab+-b2=6b2,
2
化簡(jiǎn)得:2a=1/),
.a_7
?二一"
故答案為:p
11.(2022秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))若(必+3mx-(%2—3%+九)的積中不含有x與第3項(xiàng).
(1)直接寫(xiě)出他、幾的值,即m=,n=;
23
(2)求代數(shù)式(一mn)+(9)7m>+(3根)2014rl2016的值.
【思路點(diǎn)撥】
(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算,然后根據(jù)積中不含有無(wú)與%3項(xiàng)可以求解血、九的值.
(2)將TH、九的值代入代數(shù)式求值即可.
【解題過(guò)程】
(1)解:卜2+3mx—0(%2—3x+n)
=x4—3x3+nx2+3mx3—9mx2+3mnx--x2+x--n
33
=x4+(3m—3)x3+(ri—9m—i)x2+(3mn+l)x—
???積中不含有%與%3項(xiàng),
3m—3=0,3mn+1=0,
解得m=1,n=—
故答案為:1,—g.
(2)解:當(dāng)m=l,九=一]時(shí),
220142016
(―m2rl)3.|_(9mn)+(3m)n
45一孫向《孫叫《曠
=鉆+5+上閭°"與
11
=—+9+—
279
4
=9——.
27
12.(2020春?浙江杭州?七年級(jí)??计谥?回答下列問(wèn)題:
(1)填空:
(a—b)(a+b)—;
(a—b)(a2+ab+b2)=;
(a—b)(a3+a2b+ab2+fe3)=.
(2)猜想:
(a-Z))(an-1+an-2b++abn~2+bn-1)=.(其中n為正整數(shù),且zi22);
(3)利用(2)猜想的結(jié)論計(jì)算:
①210+29+28+27+…+23+22+2;
②210-29+28-27+??--23+22-2.
【思路點(diǎn)撥】
(1)利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則對(duì)每個(gè)式子進(jìn)行計(jì)算即可;
(2)根據(jù)(1)中的各個(gè)式子的規(guī)律,可以寫(xiě)出相應(yīng)的猜想;
(3)利用(2)中的猜想,對(duì)算式進(jìn)行變形即可解答本題.
【解題過(guò)程】
解:(a—6)(a+&)=a2-62;
(a—6)(a2+ab+h2)
=a3+a2b+a/72—a2b—ab2—b3
=a3—b3;
(a—6)(a3+a2b+ab2+h3)
4234
=a+a3b+a2b2+二扭—a3b_Q2b—ab—b
=a4—b4;
故答案為:a2-62;a3-h3;a4-fo4;
(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律,可得猜想:
(a—h)(an-1+呼-2b+—FaZ?n-2+6n-1)=a!1—bn(其中n為正整數(shù),且九22),
故答案為:那一〃;
(3)@210+29+28+27+-+23+22+2
=210+29+28+27+???+23+22+2+1-1
=(2-1)(210+29x1+28xI2+27xI3+-+23xI7+22xI8+2xI9+I10)-1
=211-1-1
=2048-1-1
=2046;
②210-29+28-27+…一23+22-2
=210-29+28-27+-23+22-2+1-1
=|x[2-(-1)][210+29x(-1)+28x(-I)2+27x(-I)3+-+23x(-I)7+22x(-I)8+2x
(-I)9+(-I)10]-l=1x[211-(-I)11]-1
1
=~x2049-1
3
=683-1
=682.
13.(2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))閱讀下列材料:小明為了計(jì)算1+2+22+...+22020+2?。21的值,采
用以下方法:
設(shè)S=l+2+22+.?.+22020+22021①
貝|J2s=2+22+…+22021+22022②
②一①得,2S—S=S=22022一1.
請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問(wèn)題:
(1)2+22+…+220=.
(2)求l+g+*+…++壺=;
(3)求(—2)+(-2)2+.??+(-2)1。。的和;(請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)
(4)求a+2a3a3H---Fzian的和(其中a:/:0且aKl).(請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)
【思路點(diǎn)撥】
(1)根據(jù)閱讀材料可得:設(shè)s=2+22+…+22。①,貝12s=22+23+…+22。+221②,②一①即可得結(jié)果;
⑵設(shè)S=l+g+也H---①,+---1■貴+*②,②一①即可得結(jié)果;
(3)設(shè)s=(-2)+(—2產(chǎn)+…+(—2)1。。①,2s=(-2/+(—2尸+…+(—2)1?!竣冢谝虎偌纯傻媒Y(jié)果;
(4)設(shè)s=a+2a2+3a3H---Fna71①,as=a2+2a3+3a4HF九。H】②,②一①得ass=aa2—a3—a4H---
a71+nan+1,同理:求得a?—a3—a’+…一a"],進(jìn)而即可求解.
【解題過(guò)程】
解:根據(jù)閱讀材料可知:
(1)設(shè)s=2+22+…+22°①,
2s=22+23+...+22。+221②,
②-①得,2s-s=s=22i-2;
故答案為:221-2;
(2)設(shè)s=l+[+±+…+^@’
點(diǎn)三+或+?”+*+*,
②一①得,3r=}=表1,
故答案為:2/;
(3)設(shè)s=(—2)+(—2)2+.??+(-2>。。①
25=(-2)2+(-2)3+…+(-2)101②
②—①得,2s—s=3s=(-2)i0i+2
._2101-2
?*s-;
(4)設(shè)s=a+2a2+3a3,|----1_n。九①,
as=az+2a3+3a4,|---1_72azi+i②,
②①得:ass=aa2—a3—a4H-----an+nan+1,
設(shè)m=ao^—c?—q4+…一a71③,
am=a2—a3—a4H-----an+1(4),
④③得:amm=aan+1,
.a-an+1i
??ass=------\~nan+,
a—1
._a-an+1,nan+1
-S—g_i)2十Q_I?
14.(2022秋?湖南永州?七年級(jí)??计谥?規(guī)定兩數(shù)a,b之間的一種運(yùn)算,記作(a,b),如果出=6.我們
叫(哂為“雅對(duì)”.
例如:因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3.我們還可以利用“雅對(duì)”定義說(shuō)明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.證明
如下:
設(shè)(3,3)=小,(3,5)=n,貝i]3"l=3,3n=5,故3m?3八=37n+"=3x5=15,
則(3,15)=m+n,即(3,3)+(3,5)=(3,15).
(1)根據(jù)上述規(guī)定,填空:(2,4)=;(5,1)=;(3,27)=.
(2)計(jì)算(5,2)+(5,7)=,并說(shuō)明理由.
(3)利用“雅對(duì)”定義證明:(253八)=(2,3),對(duì)于任意自然數(shù)幾都成立.
【思路點(diǎn)撥】
(1)由于22=4,5°=1,33=27根據(jù)“雅對(duì)”的定義可得;
(2)設(shè)(5,2)=m,(5,7)=n,利用新定義得到51n=2,5n=7,根據(jù)同底數(shù)賽的乘法得到5m?5八=
5m+n=14,然后根據(jù)“雅對(duì)''的定義得到(5,14)=m+n,從而得
到(5,2)+(5,7)=(5,14);
(3)設(shè):(2n,3n)=a,(2,3)=b,利用新定義得到(2n)"=3%2^=3,根據(jù)賽的乘方得到
(2n)"=(2":從而得到a=b,所以(2n,3n)=(2,3),對(duì)于任意自然數(shù)"都成立.
【解題過(guò)程】
(1)V22=4,
.,.(2,4)=2;
V50=1,
A(5,1)=0;
V33=27,
:.(3,27)=3
故答案為:2;0;3;
(2)(5,2)+(5,7)=(5,14);
理由如下:
設(shè)(5,2)=小,(5,7)=律,貝I]5m=2,5n=7,
5m?5n=5m+n=2x7=14,
,/(5,14)—m+n,
:.(5,2)+(5,7)=(5,14);
故答案為:(5,14);
(3)設(shè)(2n,3n)=a,(2,3)=b,
:.(2n)a=3",2b=3,
a,n
:.⑵)=(2fi),
即2麗=2bn,
an=bn,
??ct—b,
即(2L3D=(2,3),對(duì)于任意自然數(shù)〃都成立.
15.(2022春?江西撫州?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))我們學(xué)過(guò)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,那么多項(xiàng)
式除以多項(xiàng)式該怎么計(jì)算呢?我們也可以用豎式進(jìn)行類似演算,即先把被除式、除式按某個(gè)字母的指數(shù)從
大到小依次排列項(xiàng)的順序,并把所缺的次數(shù)項(xiàng)用零補(bǔ)齊,再類似數(shù)的豎式除法求出商式和余式,其中余式
為0或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù).
例:計(jì)算(8/+6x+1)+(2x+1),可依照672+21的計(jì)算方法用豎式進(jìn)行計(jì)算.因此(8/+6%+1)4-
(2x+1)=4x+1.
0
C1)(x3+4x2+5x-6)-?(%+2)的商是,余式是.
(2)利用上述方法解決:若多項(xiàng)式2/+4爐++8%—匕能被/一萬(wàn)+1整除,求W值.
(3)已知一個(gè)長(zhǎng)為。+2),寬為(X-2)的長(zhǎng)方形/,若將它的長(zhǎng)增加6,寬增加。就得到一個(gè)新長(zhǎng)方形8,
此時(shí)長(zhǎng)方形3的周長(zhǎng)是N周長(zhǎng)的2倍(如圖).另有長(zhǎng)方形C的一邊長(zhǎng)為Q+10),若長(zhǎng)方形8的面積比C
的面積大76,求長(zhǎng)方形C的另一邊長(zhǎng).
【思路點(diǎn)撥】
(1)根據(jù)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的法則計(jì)算.
(2)根據(jù)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的法則計(jì)算.
(2)通過(guò)面積關(guān)系求長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng).
【解題過(guò)程】
(1)解:(尤3+4/+5x-6)+(x+2)用豎式計(jì)算如下,
+2x+1
x+2)+3++5x-6
X3+2X2
2%2+5x—6
2x2+4x
x-6
x+2
-8
+4%2+5%_6)+(x+2)的商是/+2%+1,余式是—8.
???答案為:x2+2x+1,—8.
(2)多項(xiàng)式2—+4/+辦2+8%一6能被/r+i整除,
2x2+6x—2
x2-x+1j2x4+4x3+ax2+Sx-b
2——2j?+2f
6x3+(Q-2)x2+8x
則6x3-6x2+6x
(〃+4)f+2x-Z?
-2f+2x-2
0
<7+4(2)=0,b(2)=0.
...a=6,b=2.
ab=(6)2=36.
(3)長(zhǎng)方形4的周長(zhǎng)為:2(x+2+x2)=4x.
長(zhǎng)方形5的周長(zhǎng)為:2G2+a+x+2+6)=4x+2tz+12.
???長(zhǎng)方形B的周長(zhǎng)是4周長(zhǎng)的2倍.
.??4x+2a+12=8x.
:?a=2x6.
二.長(zhǎng)方形5的面積為:(x+2+6)(x2+2x6)=(x+8)(3x8)=3x2+16x64.
?,?長(zhǎng)方形。的面積為:3x2+16xl40.
J長(zhǎng)方形。的另一邊長(zhǎng)為:(3/+16xl40)4-(x+10)=3x14.
314
X+10)3X2+16X-140
3x2+30x
-14x-140
—14140
0
長(zhǎng)方形。的另一邊長(zhǎng)為:3x14.
16.(2022春?浙江金華?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))對(duì)于一個(gè)圖形,通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積,可以
得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如圖1可以得到(。+切2=小+2必+52,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
bab
(1)寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式;
(2)利用(1)中得到的結(jié)論,解決下面的問(wèn)題:若a+b+c=15,ah+ac+be=35,則原+b2+c2=;
(3)小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為。的正方形,丁張邊長(zhǎng)為6的正方形,2張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙
片拼出一個(gè)面積為(2a+b)(a+2b)長(zhǎng)方形圖形,則%+y+z=.
(4)如圖4所示,將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為。和b的正方形拼在一起,B,C,G三點(diǎn)在同一直線上,連接ZG和
GE,若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b=12,ab=20,你能求出陰影部分的面積嗎?
【思路點(diǎn)撥】
(1)由大正方形等于9個(gè)長(zhǎng)方形面積的和;
(2)將所求式子轉(zhuǎn)化為小+h2+c2=(a+Z?+c)2—(2ab+2bc+2ac),代入已知條件即可;
(3)將式子化簡(jiǎn)為(2a+b)(a+2b)=2〃+5ab+2b2,即可確定無(wú)、y、z的值;
(4)陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積.
【解題過(guò)程】
解:(1)由圖可知大正方形面積為(a+b+c)2,大正方形由9個(gè)長(zhǎng)方形組成,則有(a+/?+c)2=a2+b2+
c2+2ab+2bc+2ac;
故答案為(a+b+c)2=必+乂+c2+2ab+2bc+2ac;
(2)由(1)可得次+公+c2=(Q+6+。)2—(2尤+2bc+2ac),
???a+b+c=15,abac+be=35,
???次+扶+=225-2x35=155;
故答案為155;
(3)v(2a+6)(a+2b)=2a2+5ab+2b2,
x-2,y=2,z-5f
?,?%+y+z=9;
故答案為9;
(4)由已知,陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積,
即a2+——a(a+6)―5b2——cJ'+———ab=—[(a+b)2_3aZ?],
a+b=12,ab=20,
](a+6)2-3ab]=1(144-60)=42.
17.(2022秋?江蘇常州?七年級(jí)??计谥?已知7張如圖1所示的長(zhǎng)為a,寬為6(a>b)的小長(zhǎng)方形紙片,
按圖2的方式不重疊地放在矩形4BCD內(nèi),未被覆蓋的部分(兩個(gè)矩形)用陰影表示.設(shè)左上角與右下角
的陰影部分的面積的差為S.設(shè)8C=t.
(1)用a、b、t的代數(shù)式表示S=.
(2)當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí),如果S始終保持不變,則a、b應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是什么?
(3)在(2)的條件下,用這7張長(zhǎng)為a,寬為b的矩形紙片,再加上x(chóng)張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片,y張邊
長(zhǎng)為b的正方形紙片(久,y都是正整數(shù)),拼成一個(gè)大的正方形(按原紙張進(jìn)行無(wú)空隙、無(wú)重疊拼接),
則當(dāng)久+y的值最小時(shí),求拼成的大的正方形的邊長(zhǎng)為多少(用含6的代數(shù)式表示)?并求出此時(shí)的久、y
的值.
【思路點(diǎn)撥】
(1)先用a、6、t分別表示出陰影部分的長(zhǎng)和寬,進(jìn)而分別表示出陰影的面積,然后作差求解即可;
(2)根據(jù)差與8c無(wú)關(guān)即可求出a、6的關(guān)系;
(3)根據(jù)題意可得出拼得的正方形的面積為7ab+*a2+、/=按f2i+9x+y>;根據(jù)正方形的面積可
得9x+y+21是完全平方數(shù),結(jié)合x(chóng)、y為正整數(shù)即可得出答案.
【解題過(guò)程】
(1)解:記左上角陰影部分的面積為Si,右下角陰影部分的面積為S2,
左上角陰影部分長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為t-a,寬為36,
;.Si=36(t—a)=3bt-3ab.
右下角陰影部分長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為t-4b,寬為a,
S2=aCt—4b)=at—4ab.
**?S=Si-52--3bt—3ab-Cat—4abl
=3bt—3ab-at+4ab
=ab+(3b—a)t.
(2)解:當(dāng)t的長(zhǎng)度變化時(shí),要使得S始終保持不變,即上面代數(shù)式的值與t無(wú)關(guān),
;.36—a=0,即a、6滿足的關(guān)系是:a=3b.
(3)解:拼成的大正方形的面積為:7張邊長(zhǎng)為a,寬為b的矩形的面積+x張邊長(zhǎng)為a的正方形的面積+y
張邊長(zhǎng)為b的正方形的面積,
二拼成的大正方形的面積為:7ab+刈2+皿2,
Va=3b,
2
7ab+xa2+yb2=7x3/?xh+xx(3b)+yb2
=b2(21+9%+y),
9:b2121+9第+y)是一個(gè)完全平方數(shù),
???9%+y+21是完全平方數(shù),而%、y都是正整數(shù),
9x+y+21》9+1+21=31,
當(dāng)9%+y+21=36時(shí),x=1,y=6,此時(shí)久+y=7,
當(dāng)9%+y+21=49時(shí),x=3,y=1,止匕時(shí)為+y=4;
或者久=2,y=10,止匕時(shí)x+y=12;
或者第=1,y=19,此時(shí)%+y=20.
當(dāng)9%+y+21取更大的完全平方數(shù)時(shí),%+y的值也變大,
故%+y的最小值為4,此時(shí)拼成的大正方形的面積為49b2,則邊長(zhǎng)為7b,且%=3,y=l.
18.(2022春?四川達(dá)州?七年級(jí)統(tǒng)考期末)把圖1的長(zhǎng)方形看成一個(gè)基本圖形,用若干相同的基本圖形進(jìn)行
拼圖(重合處無(wú)縫隙).
圖1圖2圖3圖4
(1)如圖2,將四個(gè)基本圖形進(jìn)行拼圖,得到正方形ABCD和正方形EFG”,用兩種不同的方法計(jì)算圖中
陰影部分的面積(用含。,6的代數(shù)式表示),并寫(xiě)出一個(gè)等式;
(2)如圖3,將四個(gè)基本圖形進(jìn)行拼圖,得到四邊形MNPQ,求陰影部分的面積(用含0,6的代數(shù)式表示);
(3)如圖4,將圖3的上面兩個(gè)基本圖形作為整體圖形向左運(yùn)動(dòng)x個(gè)單位,再向上運(yùn)動(dòng)2b個(gè)單位后得到一
個(gè)長(zhǎng)方形圖形,若AB=b,BC把圖中陰影部分分割成兩部分,這兩部分的面積分別記為Si,S2,若租=Si-
S2,求證:加與x無(wú)關(guān).
【思路點(diǎn)撥】
(1)陰影部分的面積有兩種計(jì)算方法,①S用彩=S大正方杉-AS基本國(guó)夠;②直接根據(jù)正方形EFG"的邊長(zhǎng)求正方
形£砥汨的面積;
(2)先證明四邊形N8CO是正方形,然后用正方形-4s會(huì)留7
(3)把S/,S2分別用含。、b、x的式子表示出來(lái),然后計(jì)算"?=S/-S2,即可證明N與x無(wú)關(guān).
【解題過(guò)程】
(1)解:①?.?在圖2中,四邊形A8CD是正方形,
二正方形的面積為S正方影=(a+6)2.
:四個(gè)基本圖形的面積為4ab,
??S場(chǎng)彩=(。+by4ab;
②"/四邊形EFGH是正方形,
:.EH=EF=a-b,
:.S網(wǎng)產(chǎn)EH2=(a-l^;
(a+6)2~4ab=(a-b)2.
(2)解:,:NP=a+b,MN^a+b,
四邊形EFG”是正方形,
Sgj^=MNi~^ab=(a~\~b^—Aab,
即S幽彩=(a+6>-4a6=。?-2a6+ZA
(3)證明:根據(jù)圖形可知,AF=a+x-2b,
m=S「S2
=2b*2b-\-bx-(a-26+x)b-3b,b
=4b2-\~bx—(.ab—2b2-\~bx}-3b2
=4〃+bx~ab+2b2-bxTb2
=3b2-ab
,S與x無(wú)關(guān).
19.(2022春?江蘇泰州?七年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,4張長(zhǎng)為x,寬為y(x>y)的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)邊
長(zhǎng)為(x+y)的正方形48CD.
(1)當(dāng)正方形/BCD的周長(zhǎng)是正方形EFG"周長(zhǎng)的三倍時(shí),求二的值;
y
(2)當(dāng)空白部分面積是陰影部分面積的二倍時(shí),求工的值;
y
(3)在(2)的條件下,用題目條件中的4張長(zhǎng)方形紙片,加張正方形紙片和一張正方形£F"G紙
片(小,〃為正整數(shù)),拼成一個(gè)大的正方形(拼接時(shí)無(wú)空隙、無(wú)重疊),當(dāng)加,〃為何值時(shí),拼成的大正
方形的邊長(zhǎng)最?。?/p>
【思路點(diǎn)撥】
(1)根據(jù)正方形48CD的周長(zhǎng)是正方形EFGH周長(zhǎng)的3倍列等式可得:x=2y,從而得結(jié)論;
(2)先求得空白部分的面積,再利用面積差可得陰影部分的面積和,根據(jù)題意列方程求解,從而得結(jié)論;
(3)根據(jù)題意可得出大的正方形面積為4xy++y)2+久-y)2,根據(jù)(2)中的結(jié)論x=2y,即大的
正方形面積可化為(8+9m+n)y2,由題意可知因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L(zhǎng)一定是的整數(shù)倍,則8+9加+〃是平方
數(shù),因?yàn)楦?、〃都是正整?shù),即8+9加+〃最小是25,即可得出答案.
【解題過(guò)程】
(1)解:由題意得:4(x+y)=3x4(xy),
解得:x=2y,
...二2;
y
(2)解:如圖,
空白部分的面積=5正方形EFGH+2sAi4PB+^LPED
11
=(%—y)2+2x—y(x+y)+2x-xy
=x2+2y2,
陰影部分的面積和=正方形/BCD的面積空白部分的面積
=(%+y)2—(x2+2y2)
=2xy—y2,
由題意得:x2+2y2=2(2xy-y2),
整理得:(x-2y)2=0,
解得:x=2yf
JJ;
y
(3)
解:由題意得:拼成一個(gè)大的正方形的面積=4%y+zn(x+y)2+九(%-y)2,
由(2)知:x=2y,
4xy+m(x+y)2+n(x—y)2
=4?2y?y+9my2+ny2
=(8+9m+n)y2,
因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L(zhǎng)一定是y的整數(shù)倍,
???8+9加+〃是平方數(shù),
,:m,〃都是正整數(shù),
8+9m+?最小是25,即9加+〃=17,
/.m=\,w=8,
此時(shí)4xy+m(x+y)2+n(x—y)2=(8+9m+n)y2=25y2,
則加=1,〃=8時(shí),拼成的大正方形的邊長(zhǎng)最小.
20.(2022春?廣東佛山?七年級(jí)統(tǒng)考期末)【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法.比如:
在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí),我們通過(guò)構(gòu)造幾何圖形,用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式:(a+6)2=
a2+2ab+b2(如圖1).利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法,可以從代數(shù)角度解決圖形問(wèn)題,也可以用圖形關(guān)系
解決代數(shù)問(wèn)題.
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 檢驗(yàn)方法在統(tǒng)計(jì)學(xué)中應(yīng)用2024年考試試題及答案
- 新舊車型維修的區(qū)別與心得試題及答案
- 2024年小自考視覺(jué)傳播設(shè)計(jì)的情感設(shè)計(jì)研究與試題及答案
- 古代文學(xué)哲學(xué)思想試題及答案
- 中初級(jí)電焊工試題及答案
- 旅游地點(diǎn)標(biāo)記點(diǎn)
- 2024年寵物營(yíng)養(yǎng)師考試中的科技應(yīng)用探討及試題答案
- 房地產(chǎn) -住宅項(xiàng)目規(guī)范研究報(bào)告-技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)和市場(chǎng)影響 202503
- 不同車型維修技巧考題及答案
- 統(tǒng)計(jì)學(xué)備考策略試題及答案解密
- 【道法】做自強(qiáng)不息的中國(guó)人課件+-2024-2025學(xué)年統(tǒng)編版道德與法治七年級(jí)下冊(cè)
- 【道法】人生當(dāng)自強(qiáng)課件-2024-2025學(xué)年統(tǒng)編版道德與法治七年級(jí)下冊(cè)
- 汽車維修質(zhì)量保證制度
- 外研版(三起)(2024)三年級(jí)下冊(cè)英語(yǔ)Unit 3 單元測(cè)試卷(含答案)
- 2024年廣州市衛(wèi)生健康系統(tǒng)招聘“優(yōu)才計(jì)劃”考試真題
- 重點(diǎn)營(yíng)業(yè)線施工方案
- 餐飲店菜品成本計(jì)算表
- 《水土保持監(jiān)測(cè)技術(shù)規(guī)范SLT 277-2024》知識(shí)培訓(xùn)
- 2025年江蘇南京事業(yè)單位招聘(787人)高頻重點(diǎn)模擬試卷提升(共500題附帶答案詳解)
- 第11課《山地回憶》公開(kāi)課一等獎(jiǎng)創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)
- 《保護(hù)地球愛(ài)護(hù)家園》課件
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論