第17講雙曲線10大基礎題型總結(jié)

第17講雙曲線10大基礎題型總結(jié)考點分析考點一：雙曲線定義及標準方程在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于且）的動點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距．標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點軸實軸長=，虛軸長=離心率注：離心率越大，雙曲線開口越大漸近線方程考點二：雙曲線的通徑過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長為．考點三：雙曲線?？夹再|(zhì)結(jié)論①雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點到兩條漸近線的距離為常數(shù);②雙曲線上的任意點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；證明：設是雙曲線上任意一點，該雙曲線的兩條漸近線方程分別是和，點到兩條漸近線的距離分別是和，則．考點四：雙曲線焦點三角形面積為（可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越小，面積越大）題型目錄題型一:雙曲線的定義題型二：利用雙曲線定義求長度題型三：利用雙曲線定義求參數(shù)范圍題型四：求雙曲線的標準方程題型五：利用雙曲線定義求三角形周長題型六：雙曲線焦點三角形面積題型七：雙曲線的漸近線方程題型八：漸近線與離心率的關系題型九：雙曲線焦點到漸近線的距離為題型十：已知漸近線方程求雙曲線方程典型例題題型一:雙曲線的定義【例1】（2022全國高二課時練習）動點到點及點的距離之差為，則當和時，點的軌跡分別是（）A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線【答案】C【解析】由題意，知，當時，，此時點的軌跡是雙曲線的一支；當時，，點的軌跡為以為端點沿軸向右的一條射線．故選：C.【例2】（2022·上?！ね瑵髮W第一附屬中學高二階段練習）已知點的坐標滿足，則動點P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線一支 C．兩條射線 D．一條射線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)表示的幾何意義，結(jié)合雙曲線定義，可判斷答案.【詳解】點的坐標滿足,即動點,到定點距離減去到的距離，差等于4，即,且，故動點P的軌跡是雙曲線的一支，故選：B【例3】（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高二階段練習（文））平面上有兩個定點A，B及動點P，命題甲：“是定值”，命題乙：“點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線”，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】若，則點P的軌跡是一條射線，故甲推不出乙；若點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線，則或，其中，為雙曲線的實半軸長，故不是定值，故乙推不出甲，故選：D.【例4】（2022·廣東·深圳市羅湖外語學校高二階段練習）相距1400m的A，B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【答案】D【解析】【分析】由題意得到A，B兩個哨所的距離差為定值，小于A，B兩個哨所之間的距離，滿足雙曲線的定義，可解.【詳解】設炮彈爆炸點為P，則，故炮彈爆炸點的軌跡是雙曲線.故選：D.【例5】（2022·四川省資陽中學高二開學考試（文））已知定點，，M是上的動點，關于點M的對稱點為N，線段的中垂線與直線交于點P，則點P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．直線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圖分析點P到，的距離只差可知.【詳解】由題意及圖可知，，因為O、M分別為的中點，所以，所以故點P的軌跡是以，為焦點，2為實軸長的雙曲線.故選：A【題型專練】1.（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內(nèi)兩定點，，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義即可求解.【詳解】解：由題意，因為，所以由雙曲線的定義知，當時，動點的軌跡為雙曲線，故選：C.2.（2023·全國·高三專題練習）－＝4表示的曲線方程為（

）A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)【答案】C【分析】根據(jù)兩點間距離的定義及雙曲線定義，可判斷雙曲線的長軸長與焦距，進而求得b，得雙曲線方程；結(jié)合方程的意義，即可判斷出y的取值范圍．【詳解】根據(jù)兩點間距離的定義，表示動點到與的距離之差等于4（且兩個定點的距離大于4）的集合.根據(jù)雙曲線定義可知，所以

由焦點在y軸上，所以，且到點的距離比較大所以即曲線方程為故選：C.3.（2022·全國·高二課時練習）已知平面內(nèi)兩定點，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是___________.【答案】【分析】直接由定義判斷出M的軌跡是雙曲線，再由待定系數(shù)法求方程即可.【詳解】由題意知：，，故M的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，設雙曲線方程為，由可得，故點M的軌跡方程是.故答案為：.4.（2022·湖北·監(jiān)利市教學研究室高二期末）已知曲線上任意一點滿足方程，求曲線的方程；【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；【詳解】設，則，等價于，曲線為以為焦點的雙曲線，且實軸長為2，焦距為，故曲線的方程為：；5.（2022·湖北·房縣第一中學模擬預測）在平面直角坐標系中，已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與直線相交于點，設點的軌跡為曲線，則曲線的方程為________.【答案】.【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)、雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】因為在線段的垂直平分線上，所以，所以，由雙曲線的定義知點的軌跡是以為焦點，為實軸長的雙曲線，則，，得，所以曲線的方程為，故答案為：題型二：利用雙曲線定義解題【例1】（2022·河南·洛寧縣第一高級中學高二階段練習（文））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，雙曲線上有一點，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由雙曲線定義可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知：；根據(jù)雙曲線定義知：，解得：（舍）或.故選：B.【例2】（2022·河南·信陽高中高二階段練習（理））已知雙曲線的左右焦點分別為、，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求出的值，再利用雙曲線的定義可求得.【詳解】解：雙曲線C的漸近線方程為，則，所以，，，由雙曲線定義可知，則或，又因為，故，故選：A．【例3】（2022·青海西寧·二模（文））設雙曲線的左焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且與圓相切于點，為線段的中點，為坐標原點，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】依題意作出曲線圖形，點P在雙曲線右支上，由雙曲線定義，可得|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1.【詳解】由題意可知：雙曲線焦點在x軸上，a=4，b=3，c=5，設雙曲線的右焦點F2（5，0），左焦點F（﹣5，0），由OM為△PFF1中位線，則丨OM丨=丨PF2丨，由PF與圓x2+y2=16相切于點N，則△ONF為直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，則丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，由丨MF丨=丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，∴|MN|﹣|MO|=1，故選：B．【例4】已知雙曲線，點為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則的值為．【答案】【解析】由雙曲線的方程可知【題型專練】1.（2022·浙江·瑞安市第六中學高二開學考試）直線是雙曲線的一條漸近線，，分別是雙曲線左、右焦點，P是雙曲線上一點，且，則（

）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)漸近線可求出a，再由雙曲線定義可求解.【詳解】因為直線是雙曲線的一條漸近線，所以，，又或，或（舍去），故選：C2.（2023·全國·高三專題練習）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線的右支上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線方程確定的值，從而求出，再利用雙曲線的定義求解得答案.【詳解】在雙曲線中，，，,∵，∴，又，∴,故選:A3.已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則【答案】【分析】利用雙曲線的定義及余弦定理求解得答案.【詳解】在雙曲線中，，，,∵，又，∴，所以4.已知F1、F2分別為雙曲線C:=1的左、右焦點，點A為C上一點，點M的坐標為(2，0)，AM為∠F1AF2的角平分線．則|AF2|=.【答案】【分析】利用角平分線定理及雙曲線的定義求解得答案.【詳解】在雙曲線中，，所以，又，∴題型三：利用雙曲線定義求參數(shù)范圍【例1】（2022·貴州遵義·高二期末（理））“”是“為雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先求方程表示雙曲線的條件，再根據(jù)兩者相等關系確定充要關系.【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，又當時，方程表示雙曲線，因此“”是“方程表示雙曲線”的充要條件.故選：C【例2】（2021·四川·雙流中學高二開學考試（文））方程表示雙曲線的一個充分不必要條件是（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】求得方程表示雙曲線的充要條件，從而確定正確答案.【詳解】由于方程表示雙曲線，，所以，解得，所以在ABCD四個選項中，方程表示雙曲線的一個充分不必要條件是.故選：B【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則【答案】B【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，求得m的范圍，判斷A;根據(jù)曲線表示雙曲線，求得m的范圍，判斷B；由B的分析求雙曲線的焦距，可判斷C;根據(jù)E的離心率為，分類討論求得m的值，判斷D.【詳解】由題意得，當時，，即，要表示橢圓，需滿足，解得且，故A錯誤；若E表示雙曲線，則不能為0，故化為，則，即或，故B正確；由B的分析知，時，，此時c不確定，故焦距不是定值，C錯誤；若E的離心率為，則此時曲線表示橢圓，由A的分析知，且，當時，，此時，則，解得，當時，，此時，則，解得，故D錯誤，故選：B【例4】（2022重慶市求精中學校高二階段練習多選題）已知曲線的方程為，下列說法正確的是（

）A．若，則曲線為橢圓B．若，則曲線為雙曲線C．若曲線為焦點在軸的橢圓，則D．若為雙曲線，則漸近線方程為【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓及雙曲線的標準方程可判斷ABC，由雙曲線的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A，當時，滿足，曲線不為橢圓，故錯誤；對于B，當時，由雙曲線標準方程知，是雙曲線，故正確；對于C，由可得，若表示焦點在軸的橢圓，則，即，故錯誤；對于D，若為雙曲線，則由可得，即雙曲線的漸近線方程為，故正確.故選：BD【題型專練】1.（2022·重慶·巫山縣官渡中學高二期末多選題）若方程所表示的曲線為，則下面四個命題中正確的是（

）A．若為橢圓，則 B．若為雙曲線，則或C．曲線可能是圓 D．若為橢圓，且長軸在軸上，則【答案】BC【分析】分別根據(jù)選項曲線的類型列出對應的不等式，解不等式判斷即可【詳解】若為橢圓，則，且，故A錯誤若為雙曲線，則，，故B正確若為圓，則，，故C正確若為橢圓，且長軸在軸上，則，，故D錯誤故選：BC2.（2022·重慶八中模擬預測）曲線C的方程為，則下列說法正確的是（

）A．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為圓B．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為橢圓C．存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為雙曲線D．無論（且）取何值，曲線C的焦距為定值【答案】BCD【分析】對于A，由可判斷；對于B，當時，表示橢圓；對于C，當時，表示雙曲線；對于D，當時，橢圓的，當時，雙曲線的，由此可判斷.【詳解】解：對于A，因為，所以不存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為圓，故A不正確；對于B，當且時，即時，表示橢圓，所以存在實數(shù)使得曲線C的軌跡為橢圓，故B正確；對于C，當，即時，表示雙曲線，故C正確；對于D，當時，表示橢圓，此時橢圓的，所以曲線C的焦距為定值；當時，表示雙曲線，此時雙曲線的，所以曲線C的焦距為定值；故D正確，故選：BCD.3.（2023·全國·高三專題練習）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線標椎方程的定義，可得，再根據(jù)充分必要條件的集合關系，可得到答案.【詳解】由方程表示雙曲線，可得，解得或，則為或的充分不必要條件，故選：B.4.（2022·河南·高二期中（文））已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先由方程表示雙曲線解出的范圍，再由充分性、必要性的定義判斷即可.【詳解】由方程表示雙曲線可得，解得，顯然能推出，反之不能推出，故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A.5．（2022·陜西渭南·高一期末）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義可知與同號，從而可求出m的取值范圍【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，解得，故選：A6.2022·全國·高二課時練習）方程，若兩實數(shù)異號，則它的圖像是（

）．A．圓，且圓心在軸上 B．橢圓，且焦點在軸上C．雙曲線，且焦點在軸上 D．雙曲線，且焦點在軸上【答案】D【分析】把變形為即可得到答案.【詳解】解：因為異號，所以，.方程變形為：，進而變形為：.此方程是焦點在軸上的雙曲線的標準方程.故選：D.題型四：求雙曲線的標準方程【例1】（2022全國·高二單元測試多選題）已知雙曲線，則下列結(jié)論正確的有（

）A．焦點在y軸上 B．實軸長為4 C．虛軸長為6 D．離心率為【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線方程的形式對給出的四個選項分別進行分析、判斷后可得正確的結(jié)論【詳解】解：由方程可知，焦點在軸上，則A不正確；設，則，則實軸長為，虛軸長為，則B,C正確；，則，所以離心率，即D不正確.故選：BC.【例2】（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線（其中，）的焦距為，其中一條漸近線的斜率為2，則______．【答案】2【分析】根據(jù)漸近線斜率求得，根據(jù)焦距求得c的值，利用a,b,c的平方關系得到關于a的方程，求得a的值.【詳解】雙曲線的的漸進線方程為，∵一條漸近線的斜率為2，∴，即,又∵，∴，∴,∴,故答案為：2【例3】（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)頂點在x軸上，焦距為10，離心率是；(2)一個頂點的坐標為，一個焦點的坐標為；(3)焦點在y軸上，一條漸近線方程為，實軸長為12；(4)漸近線方程為，焦點坐標為和．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根據(jù)雙曲線的頂點或焦點位置、漸近線方程及焦距、實軸長，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程.(1)由題設，且，則，，又頂點在x軸上，故雙曲線的標準方程為.(2)由題設，，則，又一個焦點為，故雙曲線的標準方程為.(3)由題設，，又焦點在y軸上，令雙曲線的標準方程為，又一條漸近線方程為，即，則，所以雙曲線的標準方程為.(4)由題設，且焦點在x軸上，令又漸近線方程為，則，而，所以，故雙曲線的標準方程為【例4】（2022·黑龍江·鐵人中學高二階段練習）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】求出橢圓的焦點坐標，利用雙曲線的定義可求得的值，再由可求得的值，結(jié)合雙曲線的焦點位置可求得雙曲線的標準方程.【詳解】橢圓的焦點坐標為，設雙曲線的標準方程為，由雙曲線的定義可得，，，，因此，雙曲線的方程為.故選：C.【例5】（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩點，的雙曲線的標準方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設出雙曲線方程，再利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】設雙曲線方程為，依題意有，解得，所以所求雙曲線的標準方程為：.故答案為：【題型專練】1．（2021·江蘇·濱?？h八灘中學高二期末多選題）已知雙曲線方程為，則下列說法正確的有（

）A．離心率為 B．頂點坐標為 C．實軸長為4 D．漸近線方程為【答案】AC【解析】先化為標準方程得，進而得，再依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：將雙曲線的方程化為標準方程得：，所以雙曲線的焦點在軸上，且，所以離心率為，頂點坐標為，實軸長為，漸近線方程為.所以AC選項正確，BD選項錯誤.故選：AC.2.（2022·上海市第三女子中學高二期末）若雙曲線的一個焦點為，則實數(shù)__________．【答案】3【分析】根據(jù)雙曲線方程即可得解.【詳解】雙曲線的一個焦點為，所以且，所以.故答案為：33.（2021·江蘇·高二專題練習）已知雙曲線方程為，焦距為6，則k的值為________.【答案】【分析】由雙曲線焦距可得，討論焦點在x軸、y軸上，結(jié)合求k值即可.【詳解】由焦距為6，知：，若焦點在x軸上，則方程可化為，即，解得k=6；若焦點在y軸上，則方程可化為，即，即k=6.綜上所述，k值為6或6.故答案為：±6.4.（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線中心在原點，且以橢圓的焦點為頂點，焦距長為16，則雙曲線標準方程為______．【答案】【解析】【分析】化橢圓方程為標準方程，求出焦點坐標，從而可得，再根據(jù)雙曲線的焦距可得，再求出，即可得解.【詳解】解：橢圓化為標準方程，則橢圓的交點坐標為，設雙曲線標準方程為，則，由題意雙曲線的焦距，則，所以，所以雙曲線標準方程為.故答案為：.5.（2022·全國·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點為，，且雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2；(2)焦點在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過點；(3)經(jīng)過點，.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）設出雙曲線方程，根據(jù)，結(jié)合雙曲線定義，即可求得結(jié)果；（2）設出雙曲線方程，根據(jù)，即可求得結(jié)果；（3）設出雙曲線方程，待定系數(shù)，即可求得雙曲線方程.(1)因為雙曲線的焦點在軸上，故可設方程為：，又焦點為，，故可得，又雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2，即，則，又.故雙曲線方程為：.(2)因為雙曲線焦點在軸上，故可設雙曲線方程為，又其焦距為10，故可得；又該雙曲線過點，則，故，故雙曲線方程為：.(3)不妨設雙曲線方程為：，因其過點，，故可得，聯(lián)立方程組可得：，故所求雙曲線方程為：.6.（2021·全國·高二課時練習）1.分別求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：(1)以圓：與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和一個頂點；(2)焦點在軸上，漸近線方程為，且頂點到漸近線的距離為1；(3)焦點為，且與雙曲線有相同的漸近線．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)題意求出圓與坐標軸的交點，進而結(jié)合雙曲線的特征確定焦點和頂點，然后求出雙曲線的標準方程；（2）根據(jù)題意設出雙曲線方程，然后根據(jù)漸近線方程和頂點到漸近線的距離建立方程組解出參數(shù)，進而得到答案；（3）根據(jù)與已知雙曲線共漸近線設出所求雙曲線的方程，然后根據(jù)焦點坐標求出參數(shù)，進而得到答案.(1)對圓的方程，令，得，解得，，即圓與軸的兩個交點分別為，．令，得，此方程無解，即圓與軸沒有交點．因此點為雙曲線的右頂點，點為雙曲線的右焦點．設雙曲線的標準方程為，則，，所以，從而雙曲線的標準方程為．(2)由焦點在軸上，可設雙曲線的標準方程為，則漸近線方程為，所以．由頂點到漸近線的距離為1，即到的距離為1，得，所以，．從而雙曲線的標準方程為．(3)設所求雙曲線的標準方程為．由雙曲線的一個焦點為，可知，且，得，則雙曲線的標準方程為．題型五：利用雙曲線定義求周長【例1】（2022·江蘇·高二）雙曲線過焦點的弦AB，A、B兩點在同一支上且長為m，另一焦點為，則的周長為（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【答案】C【解析】【分析】由雙曲線定義得到，，兩式相加得到，進而求出周長.【詳解】由雙曲線的定義得：①，②，兩式相加得：，即，所以，故的周長為.故選：C【例2】過雙曲線左焦點F1的弦AB長為6，則（F2為右焦點）的周長（）A．28B．22 C．14 D．12【答案】A【解析】由雙曲線的定義得：①，②，兩式相加得：，即，所以，故的周長為.故選：A【題型專練】1.已知為雙曲線的左焦點,為上的點,若的長等于虛軸長的2倍,點在線段上,則的周長為____________.【答案】【解析】的周長為.2.（2022·全國·高二課時練習）已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線同一支上的兩點．若，點在線段上，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得出焦點坐標，并作出圖形，利用雙曲線的定義及三角形的周長公式即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，解得，所以雙曲線的左焦點，所以點是雙曲線的右焦點．作出雙曲線，如圖所示．由雙曲線的定義，知①，②，由①②，得，又，所以的周長為．故選：C.3.（2022·吉林·梅河口市第五中學高二開學考試）已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的左支交于，兩點，若，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線的定義得：①，②，兩式相加得：，即，所以，故的周長為.故選：B題型六：雙曲線焦點三角形面積【例1】（2020?新課標Ⅲ）設雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為．是上一點，且．若△的面積為，則（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【思路導引】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選A．解法二：由題意知，雙曲線的焦點三角形面積為．∴=4，則，又∵，∴．解法三：設，則，，，求的．【題型專練】1.（2020?新課標Ⅰ）設，是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則△的面積為（）A． B．3 C． D．2【答案】B【解析】由已知，不妨設，則，∵，∴點在以為直徑的圓上，[來源：Z．xx．k．Com]即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，∴，解得，∴，故選B．2．（2022·河南·商丘市第一高級中學高二期末（文））已知，是雙曲線C：的左、右焦點，M，N是C上關于原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積是______．【答案】72【分析】判斷四邊形為矩形，設，，可得，結(jié)合雙曲線定義可得，化簡得，即可求得四邊形的面積.【詳解】由可知，因為M，N是C上關于原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設，，由雙曲線的定義可得，所以，又因為，所以，所以，所以四邊形的面積,故答案為：72題型七：雙曲線的漸近線方程焦點在軸上的漸近線為焦點在軸上的漸近線為若雙曲線的方程為，要求漸近線只需令，解出即可即已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程?！纠?】（2022·廣東潮州·高二期末）已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定雙曲線的，確定其焦點位置，即可求得其漸進線方程.【詳解】由可知，，且雙曲線焦點位于x軸上故該雙曲線的漸近線方程為，故選：C【例2】（2022·全國·高考真題（理））若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．【答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．【題型專練】1.（2023·全國·高三專題練習）雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將雙曲線化為標準方程，再根據(jù)漸近線的方程求解即可【詳解】由題意，的漸近線方程為故選：C2.（2022·河南許昌·高二期末（文））雙曲線與有相同的（

）A．離心率 B．漸近線 C．實軸長 D．焦點【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線方程判斷焦點在軸上，并求，進而確定離心率、漸近線、實軸長和焦點．【詳解】對于雙曲線可得：焦點在軸上，則離心率，漸近線，實軸長，焦點對于雙曲線可得：焦點在軸上，則離心率，漸近線，實軸長，焦點∴ABC錯誤，D正確故選：D．3.（2023·全國·高三專題練習）若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實數(shù)m的值為（

）A． B．9 C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的求法，利用直線平行斜率相等即可求解.【詳解】的漸近線方程滿足，所以漸進線與平行，所以漸近線方程為，故故選：A4．（2022·四川南充·高二期末（文））若雙曲線的漸近線與圓相切，則______．【答案】【分析】求出漸近線方程，求出圓心與半徑，利用點到直線的距離等于半徑求解即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線：，圓的圓心與半徑，雙曲線的漸近線與圓相切，，解得或（舍去）．故答案為：．題型八：漸近線與離心率的關系【例1】雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A．B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)離心率得關系，進而得關系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果．試題解析：．∵漸近線方程為漸近線方程為，故選A．【名師點睛】已知雙曲線方程求漸近線方程：．【考點】雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（離心率、漸近線方程）【例2】（2022·湖北·模擬預測）已知雙曲線的漸近線方程為，則的離心率（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，再由可求出答案.【詳解】由雙曲線的漸近線方程為，可知，，，故選：B．【題型專練】1．（2022·河南省葉縣高級中學高三階段練習（文））若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得之間的關系，從而可得到漸近線方程.【詳解】雙曲線的離心率為，即，所以，則，故C的漸近線方程為.故選：D.題型九：雙曲線焦點到漸近線的距離為【例1】（2022·海南中學高三階段練習）若雙曲線的焦點到其漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，，即得.【詳解】雙曲線的焦點到漸近線：，即的距離為：，而，從而，故漸近線即.故選：B.【例2】【2018高考天津文理7】已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 （）A． B．C． D．【答案】C【解析】設雙曲線的右焦點坐標為，則，由可得：，不妨設：，雙曲線的一條漸近線方程為：，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為，故選C．【例3】【2018高考全國3理11】設是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 （）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】試題分析：由雙曲線性質(zhì)得到，，然后在和在中利用余弦定理可得．試題解析：由題可知，．在中，，，，，故選C．【題型專練】1．（2014新課標1文理）已知是雙曲線：的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為A．B．3C．D．【答案】A【解析】雙曲線方程為，焦點到一條漸近線的距離為，故選A．2．已知雙曲線的兩條漸近線均和圓：相切，且雙曲線的右焦點為圓的圓心，則該雙曲線的方程為A．B．C．D．【答案】A【解析】圓，而，則，故選A．3.已知雙曲線的右焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角