第17講雙曲線10大基礎(chǔ)題型總結(jié)

第17講雙曲線10大基礎(chǔ)題型總結(jié)考點(diǎn)分析考點(diǎn)一：雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距．標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)軸實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=離心率注：離心率越大，雙曲線開口越大漸近線方程考點(diǎn)二：雙曲線的通徑過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長(zhǎng)為．考點(diǎn)三：雙曲線?？夹再|(zhì)結(jié)論①雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù);②雙曲線上的任意點(diǎn)到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；證明：設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，該雙曲線的兩條漸近線方程分別是和，點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別是和，則．考點(diǎn)四：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）題型目錄題型一:雙曲線的定義題型二：利用雙曲線定義求長(zhǎng)度題型三：利用雙曲線定義求參數(shù)范圍題型四：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型五：利用雙曲線定義求三角形周長(zhǎng)題型六：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積題型七：雙曲線的漸近線方程題型八：漸近線與離心率的關(guān)系題型九：雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為題型十：已知漸近線方程求雙曲線方程典型例題題型一:雙曲線的定義【例1】（2022全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則當(dāng)和時(shí)，點(diǎn)的軌跡分別是（）A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線【答案】C【解析】由題意，知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的軌跡為以為端點(diǎn)沿軸向右的一條射線．故選：C.【例2】（2022·上?！ね瑵?jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線一支 C．兩條射線 D．一條射線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)表示的幾何意義，結(jié)合雙曲線定義，可判斷答案.【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,即動(dòng)點(diǎn),到定點(diǎn)距離減去到的距離，差等于4，即,且，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，故選：B【例3】（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））平面上有兩個(gè)定點(diǎn)A，B及動(dòng)點(diǎn)P，命題甲：“是定值”，命題乙：“點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線”，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若，則點(diǎn)P的軌跡是一條射線，故甲推不出乙；若點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線，則或，其中，為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，故不是定值，故乙推不出甲，故選：D.【例4】（2022·廣東·深圳市羅湖外語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）相距1400m的A，B兩個(gè)哨所，聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【答案】D【解析】【分析】由題意得到A，B兩個(gè)哨所的距離差為定值，小于A，B兩個(gè)哨所之間的距離，滿足雙曲線的定義，可解.【詳解】設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)為P，則，故炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選：D.【例5】（2022·四川省資陽(yáng)中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知定點(diǎn)，，M是上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為N，線段的中垂線與直線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．直線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圖分析點(diǎn)P到，的距離只差可知.【詳解】由題意及圖可知，，因?yàn)镺、M分別為的中點(diǎn)，所以，所以故點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線.故選：A【題型專練】1.（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，下列條件中滿足動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義即可求解.【詳解】解：由題意，因?yàn)?，所以由雙曲線的定義知，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故選：C.2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）－＝4表示的曲線方程為（

）A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義及雙曲線定義，可判斷雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距，進(jìn)而求得b，得雙曲線方程；結(jié)合方程的意義，即可判斷出y的取值范圍．【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義，表示動(dòng)點(diǎn)到與的距離之差等于4（且兩個(gè)定點(diǎn)的距離大于4）的集合.根據(jù)雙曲線定義可知，所以

由焦點(diǎn)在y軸上，所以，且到點(diǎn)的距離比較大所以即曲線方程為故選：C.3.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程是___________.【答案】【分析】直接由定義判斷出M的軌跡是雙曲線，再由待定系數(shù)法求方程即可.【詳解】由題意知：，，故M的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，由可得，故點(diǎn)M的軌跡方程是.故答案為：.4.（2022·湖北·監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末）已知曲線上任意一點(diǎn)滿足方程，求曲線的方程；【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；【詳解】設(shè)，則，等價(jià)于，曲線為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為，故曲線的方程為：；5.（2022·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為________.【答案】.【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)、雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，所以，所以，由雙曲線的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，則，，得，所以曲線的方程為，故答案為：題型二：利用雙曲線定義解題【例1】（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上有一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由雙曲線定義可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知：；根據(jù)雙曲線定義知：，解得：（舍）或.故選：B.【例2】（2022·河南·信陽(yáng)高中高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求出的值，再利用雙曲線的定義可求得.【詳解】解：雙曲線C的漸近線方程為，則，所以，，，由雙曲線定義可知，則或，又因?yàn)椋?，故選：A．【例3】（2022·青海西寧·二模（文））設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】依題意作出曲線圖形，點(diǎn)P在雙曲線右支上，由雙曲線定義，可得|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1.【詳解】由題意可知：雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，a=4，b=3，c=5，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F2（5，0），左焦點(diǎn)F（﹣5，0），由OM為△PFF1中位線，則丨OM丨=丨PF2丨，由PF與圓x2+y2=16相切于點(diǎn)N，則△ONF為直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，則丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，由丨MF丨=丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，∴|MN|﹣|MO|=1，故選：B．【例4】已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的值為．【答案】【解析】由雙曲線的方程可知【題型專練】1.（2022·浙江·瑞安市第六中學(xué)高二開學(xué)考試）直線是雙曲線的一條漸近線，，分別是雙曲線左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且，則（

）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)漸近線可求出a，再由雙曲線定義可求解.【詳解】因?yàn)橹本€是雙曲線的一條漸近線，所以，，又或，或（舍去），故選：C2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線方程確定的值，從而求出，再利用雙曲線的定義求解得答案.【詳解】在雙曲線中，，，,∵，∴，又，∴,故選:A3.已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則【答案】【分析】利用雙曲線的定義及余弦定理求解得答案.【詳解】在雙曲線中，，，,∵，又，∴，所以4.已知F1、F2分別為雙曲線C:=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，AM為∠F1AF2的角平分線．則|AF2|=.【答案】【分析】利用角平分線定理及雙曲線的定義求解得答案.【詳解】在雙曲線中，，所以，又，∴題型三：利用雙曲線定義求參數(shù)范圍【例1】（2022·貴州遵義·高二期末（理））“”是“為雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先求方程表示雙曲線的條件，再根據(jù)兩者相等關(guān)系確定充要關(guān)系.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，又當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線，因此“”是“方程表示雙曲線”的充要條件.故選：C【例2】（2021·四川·雙流中學(xué)高二開學(xué)考試（文））方程表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】求得方程表示雙曲線的充要條件，從而確定正確答案.【詳解】由于方程表示雙曲線，，所以，解得，所以在ABCD四個(gè)選項(xiàng)中，方程表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是.故選：B【例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則【答案】B【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，求得m的范圍，判斷A;根據(jù)曲線表示雙曲線，求得m的范圍，判斷B；由B的分析求雙曲線的焦距，可判斷C;根據(jù)E的離心率為，分類討論求得m的值，判斷D.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，即，要表示橢圓，需滿足，解得且，故A錯(cuò)誤；若E表示雙曲線，則不能為0，故化為，則，即或，故B正確；由B的分析知，時(shí)，，此時(shí)c不確定，故焦距不是定值，C錯(cuò)誤；若E的離心率為，則此時(shí)曲線表示橢圓，由A的分析知，且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，解得，故D錯(cuò)誤，故選：B【例4】（2022重慶市求精中學(xué)校高二階段練習(xí)多選題）已知曲線的方程為，下列說法正確的是（

）A．若，則曲線為橢圓B．若，則曲線為雙曲線C．若曲線為焦點(diǎn)在軸的橢圓，則D．若為雙曲線，則漸近線方程為【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷ABC，由雙曲線的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，曲線不為橢圓，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程知，是雙曲線，故正確；對(duì)于C，由可得，若表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，則，即，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，若為雙曲線，則由可得，即雙曲線的漸近線方程為，故正確.故選：BD【題型專練】1.（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高二期末多選題）若方程所表示的曲線為，則下面四個(gè)命題中正確的是（

）A．若為橢圓，則 B．若為雙曲線，則或C．曲線可能是圓 D．若為橢圓，且長(zhǎng)軸在軸上，則【答案】BC【分析】分別根據(jù)選項(xiàng)曲線的類型列出對(duì)應(yīng)的不等式，解不等式判斷即可【詳解】若為橢圓，則，且，故A錯(cuò)誤若為雙曲線，則，，故B正確若為圓，則，，故C正確若為橢圓，且長(zhǎng)軸在軸上，則，，故D錯(cuò)誤故選：BC2.（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）曲線C的方程為，則下列說法正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)使得曲線C的軌跡為圓B．存在實(shí)數(shù)使得曲線C的軌跡為橢圓C．存在實(shí)數(shù)使得曲線C的軌跡為雙曲線D．無(wú)論（且）取何值，曲線C的焦距為定值【答案】BCD【分析】對(duì)于A，由可判斷；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，表示橢圓；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，表示雙曲線；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，橢圓的，當(dāng)時(shí)，雙曲線的，由此可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?，所以不存在?shí)數(shù)使得曲線C的軌跡為圓，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，表示橢圓，所以存在實(shí)數(shù)使得曲線C的軌跡為橢圓，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，即時(shí)，表示雙曲線，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，表示橢圓，此時(shí)橢圓的，所以曲線C的焦距為定值；當(dāng)時(shí)，表示雙曲線，此時(shí)雙曲線的，所以曲線C的焦距為定值；故D正確，故選：BCD.3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)椎方程的定義，可得，再根據(jù)充分必要條件的集合關(guān)系，可得到答案.【詳解】由方程表示雙曲線，可得，解得或，則為或的充分不必要條件，故選：B.4.（2022·河南·高二期中（文））已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先由方程表示雙曲線解出的范圍，再由充分性、必要性的定義判斷即可.【詳解】由方程表示雙曲線可得，解得，顯然能推出，反之不能推出，故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A.5．（2022·陜西渭南·高一期末）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義可知與同號(hào)，從而可求出m的取值范圍【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得，故選：A6.2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）方程，若兩實(shí)數(shù)異號(hào)，則它的圖像是（

）．A．圓，且圓心在軸上 B．橢圓，且焦點(diǎn)在軸上C．雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上 D．雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上【答案】D【分析】把變形為即可得到答案.【詳解】解：因?yàn)楫愄?hào)，所以，.方程變形為：，進(jìn)而變形為：.此方程是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.故選：D.題型四：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】（2022全國(guó)·高二單元測(cè)試多選題）已知雙曲線，則下列結(jié)論正確的有（

）A．焦點(diǎn)在y軸上 B．實(shí)軸長(zhǎng)為4 C．虛軸長(zhǎng)為6 D．離心率為【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線方程的形式對(duì)給出的四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析、判斷后可得正確的結(jié)論【詳解】解：由方程可知，焦點(diǎn)在軸上，則A不正確；設(shè)，則，則實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，則B,C正確；，則，所以離心率，即D不正確.故選：BC.【例2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（其中，）的焦距為，其中一條漸近線的斜率為2，則______．【答案】2【分析】根據(jù)漸近線斜率求得，根據(jù)焦距求得c的值，利用a,b,c的平方關(guān)系得到關(guān)于a的方程，求得a的值.【詳解】雙曲線的的漸進(jìn)線方程為，∵一條漸近線的斜率為2，∴，即,又∵，∴，∴,∴,故答案為：2【例3】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在x軸上，焦距為10，離心率是；(2)一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為12；(4)漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為和．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)或焦點(diǎn)位置、漸近線方程及焦距、實(shí)軸長(zhǎng)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程.(1)由題設(shè)，且，則，，又頂點(diǎn)在x軸上，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題設(shè)，，則，又一個(gè)焦點(diǎn)為，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(3)由題設(shè)，，又焦點(diǎn)在y軸上，令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又一條漸近線方程為，即，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(4)由題設(shè)，且焦點(diǎn)在x軸上，令又漸近線方程為，則，而，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【例4】（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高二階段練習(xí)）與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的定義可求得的值，再由可求得的值，結(jié)合雙曲線的焦點(diǎn)位置可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由雙曲線的定義可得，，，，因此，雙曲線的方程為.故選：C.【例5】（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩點(diǎn)，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出雙曲線方程，再利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，依題意有，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：【題型專練】1．（2021·江蘇·濱海縣八灘中學(xué)高二期末多選題）已知雙曲線方程為，則下列說法正確的有（

）A．離心率為 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C．實(shí)軸長(zhǎng)為4 D．漸近線方程為【答案】AC【解析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，進(jìn)而得，再依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以離心率為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，實(shí)軸長(zhǎng)為，漸近線方程為.所以AC選項(xiàng)正確，BD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.2.（2022·上海市第三女子中學(xué)高二期末）若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)__________．【答案】3【分析】根據(jù)雙曲線方程即可得解.【詳解】雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以且，所以.故答案為：33.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知雙曲線方程為，焦距為6，則k的值為________.【答案】【分析】由雙曲線焦距可得，討論焦點(diǎn)在x軸、y軸上，結(jié)合求k值即可.【詳解】由焦距為6，知：，若焦點(diǎn)在x軸上，則方程可化為，即，解得k=6；若焦點(diǎn)在y軸上，則方程可化為，即，即k=6.綜上所述，k值為6或6.故答案為：±6.4.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，且以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為16，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得，再根據(jù)雙曲線的焦距可得，再求出，即可得解.【詳解】解：橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，由題意雙曲線的焦距，則，所以，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.5.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為，，且雙曲線上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差為2；(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過點(diǎn)；(3)經(jīng)過點(diǎn)，.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)，結(jié)合雙曲線定義，即可求得結(jié)果；（2）設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)，即可求得結(jié)果；（3）設(shè)出雙曲線方程，待定系數(shù)，即可求得雙曲線方程.(1)因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)方程為：，又焦點(diǎn)為，，故可得，又雙曲線上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差為2，即，則，又.故雙曲線方程為：.(2)因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線方程為，又其焦距為10，故可得；又該雙曲線過點(diǎn)，則，故，故雙曲線方程為：.(3)不妨設(shè)雙曲線方程為：，因其過點(diǎn)，，故可得，聯(lián)立方程組可得：，故所求雙曲線方程為：.6.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）1.分別求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以圓：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為1；(3)焦點(diǎn)為，且與雙曲線有相同的漸近線．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)題意求出圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的特征確定焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，然后求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程，然后根據(jù)漸近線方程和頂點(diǎn)到漸近線的距離建立方程組解出參數(shù)，進(jìn)而得到答案；（3）根據(jù)與已知雙曲線共漸近線設(shè)出所求雙曲線的方程，然后根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出參數(shù)，進(jìn)而得到答案.(1)對(duì)圓的方程，令，得，解得，，即圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，．令，得，此方程無(wú)解，即圓與軸沒有交點(diǎn)．因此點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，所以，從而雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則漸近線方程為，所以．由頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，即到的距離為1，得，所以，．從而雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(3)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，可知，且，得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型五：利用雙曲線定義求周長(zhǎng)【例1】（2022·江蘇·高二）雙曲線過焦點(diǎn)的弦AB，A、B兩點(diǎn)在同一支上且長(zhǎng)為m，另一焦點(diǎn)為，則的周長(zhǎng)為（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【答案】C【解析】【分析】由雙曲線定義得到，，兩式相加得到，進(jìn)而求出周長(zhǎng).【詳解】由雙曲線的定義得：①，②，兩式相加得：，即，所以，故的周長(zhǎng)為.故選：C【例2】過雙曲線左焦點(diǎn)F1的弦AB長(zhǎng)為6，則（F2為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)（）A．28B．22 C．14 D．12【答案】A【解析】由雙曲線的定義得：①，②，兩式相加得：，即，所以，故的周長(zhǎng)為.故選：A【題型專練】1.已知為雙曲線的左焦點(diǎn),為上的點(diǎn),若的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍,點(diǎn)在線段上,則的周長(zhǎng)為____________.【答案】【解析】的周長(zhǎng)為.2.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線同一支上的兩點(diǎn)．若，點(diǎn)在線段上，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，并作出圖形，利用雙曲線的定義及三角形的周長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，解得，所以雙曲線的左焦點(diǎn)，所以點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)．作出雙曲線，如圖所示．由雙曲線的定義，知①，②，由①②，得，又，所以的周長(zhǎng)為．故選：C.3.（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二開學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線的定義得：①，②，兩式相加得：，即，所以，故的周長(zhǎng)為.故選：B題型六：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積【例1】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．是上一點(diǎn)，且．若△的面積為，則（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【思路導(dǎo)引】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選A．解法二：由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積為．∴=4，則，又∵，∴．解法三：設(shè)，則，，，求的．【題型專練】1.（2020?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則△的面積為（）A． B．3 C． D．2【答案】B【解析】由已知，不妨設(shè)，則，∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，[來(lái)源：Z．xx．k．Com]即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，∴，解得，∴，故選B．2．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））已知，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，M，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積是______．【答案】72【分析】判斷四邊形為矩形，設(shè)，，可得，結(jié)合雙曲線定義可得，化簡(jiǎn)得，即可求得四邊形的面積.【詳解】由可知，因?yàn)镸，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以四邊形的面積,故答案為：72題型七：雙曲線的漸近線方程焦點(diǎn)在軸上的漸近線為焦點(diǎn)在軸上的漸近線為若雙曲線的方程為，要求漸近線只需令，解出即可即已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。【例1】（2022·廣東潮州·高二期末）已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定雙曲線的，確定其焦點(diǎn)位置，即可求得其漸進(jìn)線方程.【詳解】由可知，，且雙曲線焦點(diǎn)位于x軸上故該雙曲線的漸近線方程為，故選：C【例2】（2022·全國(guó)·高考真題（理））若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．【答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．【題型專練】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)漸近線的方程求解即可【詳解】由題意，的漸近線方程為故選：C2.（2022·河南許昌·高二期末（文））雙曲線與有相同的（

）A．離心率 B．漸近線 C．實(shí)軸長(zhǎng) D．焦點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線方程判斷焦點(diǎn)在軸上，并求，進(jìn)而確定離心率、漸近線、實(shí)軸長(zhǎng)和焦點(diǎn)．【詳解】對(duì)于雙曲線可得：焦點(diǎn)在軸上，則離心率，漸近線，實(shí)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)對(duì)于雙曲線可得：焦點(diǎn)在軸上，則離心率，漸近線，實(shí)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)∴ABC錯(cuò)誤，D正確故選：D．3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．9 C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的求法，利用直線平行斜率相等即可求解.【詳解】的漸近線方程滿足，所以漸進(jìn)線與平行，所以漸近線方程為，故故選：A4．（2022·四川南充·高二期末（文））若雙曲線的漸近線與圓相切，則______．【答案】【分析】求出漸近線方程，求出圓心與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑求解即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線：，圓的圓心與半徑，雙曲線的漸近線與圓相切，，解得或（舍去）．故答案為：．題型八：漸近線與離心率的關(guān)系【例1】雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A．B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)離心率得關(guān)系，進(jìn)而得關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果．試題解析：．∵漸近線方程為漸近線方程為，故選A．【名師點(diǎn)睛】已知雙曲線方程求漸近線方程：．【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（離心率、漸近線方程）【例2】（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的漸近線方程為，則的離心率（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，再由可求出答案.【詳解】由雙曲線的漸近線方程為，可知，，，故選：B．【題型專練】1．（2022·河南省葉縣高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得之間的關(guān)系，從而可得到漸近線方程.【詳解】雙曲線的離心率為，即，所以，則，故C的漸近線方程為.故選：D.題型九：雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為【例1】（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）若雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，，即得.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線：，即的距離為：，而，從而，故漸近線即.故選：B.【例2】【2018高考天津文理7】已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 （）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為：，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為，故選C．【例3】【2018高考全國(guó)3理11】設(shè)是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 （）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】試題分析：由雙曲線性質(zhì)得到，，然后在和在中利用余弦定理可得．試題解析：由題可知，．在中，，，，，故選C．【題型專練】1．（2014新課標(biāo)1文理）已知是雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為A．B．3C．D．【答案】A【解析】雙曲線方程為，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，故選A．2．已知雙曲線的兩條漸近線均和圓：相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為A．B．C．D．【答案】A【解析】圓，而，則，故選A．3.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角