731離散型隨機變量的均值（精練）

7.3.1離散型隨機變量的均值（精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元【答案】B【詳解】由題意可得：設(shè)這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利X，則X可能取的數(shù)值為50，30，，所以X的分布列為：，，，所以這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利為：（元）故選：B2．（2022秋·北京順義·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機變量X的分布列如下表，則X的數(shù)學(xué)期望等于（

）X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3【答案】D【詳解】解：依題意可得，解得，所以；故選：D3．（2022秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機變量的期望，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：因為，所以.故選：C.4．（2022·高二課時練習(xí)）若離散型隨機變量的分布列如下表，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由期望的計算公式，可得．故選：D5．（2022·高二課時練習(xí)）為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動．某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》這4本書中選取1本進(jìn)行準(zhǔn)備，且各自選取的書均不相同．比賽時，若這4位同學(xué)從這4本書中隨機抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準(zhǔn)備的書的人數(shù)的均值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【詳解】記抽到自己準(zhǔn)備的書的學(xué)生人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，4，；；；，則．故選：B．6．（2022秋·陜西咸陽·高二?？计谀┠炒螄H象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分，某參賽隊員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負(fù)的概率為c（），已知他比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意，比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為，故，又，故，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：B.7．（2022春·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某實驗測試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可做實驗3次，一旦實驗成功，則停止實驗，否則一直做到3次為止.設(shè)某學(xué)生一次實驗成功的概率為，實驗次數(shù)為隨機變量，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】X的所有可能取值為1,2,3，，，，由，解得或，又因為，所以.故選：A.8．（2022·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）某同學(xué)在課外閱讀時了解到概率統(tǒng)計中的馬爾可夫不等式，該不等式描述的是對非負(fù)的隨機變量和任意的正數(shù)，都有，其中是關(guān)于數(shù)學(xué)期望和的表達(dá)式.由于記憶模糊，該同學(xué)只能確定的具體形式是下列四個選項中的某一種.請你根據(jù)自己的理解，確定該形式為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)非負(fù)隨機變量的所有可能取值按從小到大依次為,對應(yīng)的概率分別為設(shè)滿足的有,,,因為,所以故選：D二、多選題9．（2022秋·河北承德·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知隨機變量X的分布列如下表所示．若，則（

）X01PmnA． B． C． D．【答案】AC【詳解】依題意得，解得，，，故選：AC．10．（2022·高二單元測試）為了了解學(xué)生對冰壺這個項目的了解情況，在某市中小學(xué)中隨機抽取了10所學(xué)校，這10所學(xué)校中了解這個項目的人數(shù)如圖所示.若從這10所學(xué)校中隨機選取2所學(xué)校進(jìn)行這個項目的科普活動，記X為被選中的學(xué)校中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校個數(shù)，則（

）A．X的取值范圍為 B．C． D．【答案】BC【詳解】由題意知10所學(xué)校中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校個數(shù)為4個，故X的取值范圍為，故A錯誤；由此可得,故B，C正確；又，故，故D不正確，故選：BC三、填空題11．（2022春·四川巴中·高三南江中學(xué)校考階段練習(xí)）馬老師從課外資料上抄錄了一個隨機變量的分布列如下表：請小牛同學(xué)計算隨機變量的數(shù)學(xué)期望盡管“”處完全無法看清，且兩個“”處字跡模糊，但能判定這兩個“”處的數(shù)值相同，據(jù)此，小牛同學(xué)給出了正確答案．即______．【答案】【詳解】設(shè)，則，.故答案為：.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨著馬拉松運動在全國各地逐漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加.為此，某市對參加馬拉松運動的情況進(jìn)行了統(tǒng)計調(diào)查，其中一項是調(diào)查人員從參與馬拉松運動的人中隨機抽取100人，對其平均每月參與馬拉松訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，得到下表：平均每月參與馬拉松訓(xùn)練的天數(shù)x人數(shù)105040依據(jù)上表，用分層隨機抽樣的方法從這100人中抽取10人，再從抽取的10人中隨機抽取3人，記抽取的3人中“平均每月參與馬拉松訓(xùn)練的天數(shù)不少于20”的人數(shù)為Y，則___________.【答案】65##1.2【詳解】用分層隨機抽樣的方法從這100人中抽取10人，其中“平均每月參與馬拉松訓(xùn)練的天數(shù)不少于20”的人數(shù)為，隨機變量Y的取值范圍為，，，，，所以.故答案為：四、解答題13．（2022春·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學(xué)校考階段練習(xí)）有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：雙方每次游戲均從裝有5個球的袋中（3個白球和2個黑球）輪流摸出1球（摸后不放回），摸到第2個黑球的人獲勝，同時結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲.(1)分別求先摸球者3輪獲勝和5輪獲勝的概率；(2)小李和小張準(zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小李先摸球，并且規(guī)定某一次游戲輸者在下一次游戲中先摸球.每次游戲獲勝得1分，失敗得0分.記3次游戲中小李的得分之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；.(2)分布列見解析，.【詳解】（1）設(shè)“3輪獲勝”為事件，“5輪獲勝”為事件，3輪：白黑黑：，黑白黑：，所以，先摸球者3輪獲勝的概率為若進(jìn)行5輪，前四個球的情況為：黑白白白：，白黑白白：，白白黑白：，白白白黑：，所以，先摸球者5輪獲勝的概率為（2）由（1）得先摸球者獲勝的概率為.X的所有可能取值為：0?1?2?3，，，，，所以X的分布列為：X0123P則.14．（2022·河南開封·統(tǒng)考一模）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知“星隊”在第一輪活動中猜對1個成語的概率為．(1)求的值；(2)記“星隊”在兩輪活動中猜對成語的總數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）“星隊”在第一輪活動中猜對1個成語的概率為，所以，解得．（2）設(shè)表示事件“甲在兩輪中猜對個成語”，表示事件“乙在兩輪中猜對個成語”，根據(jù)獨立性假定，得，，，，，，的可能取值為0，1，2，3，4，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234．15．（2022春·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校為豐富同學(xué)課余生活，活躍校園氣氛，促進(jìn)年級之間的友好關(guān)系，決定在高二?高三之間進(jìn)行知識搶答賽，比賽規(guī)則如下：每個年級選出3名同學(xué)參加比賽，第一場比賽從兩個年級的3名同學(xué)中各出1人進(jìn)行搶答，失敗者淘汰，失敗者所在年級的第二名同學(xué)上場，以此類推，直至一方年級的3名同學(xué)全部淘汰，比賽結(jié)束.已知每個年級的3名同學(xué)之間已經(jīng)排定好比賽順序，且每個同學(xué)在每場比賽中勝利或失敗的概率均為.(1)求比賽結(jié)束時剛比賽完第四場的概率；(2)已知其中一個年級的同學(xué)甲排在第二個上場，求甲所參加的比賽場數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）打完第四局結(jié)束,則贏的一方只能輸一局且只能為前三局設(shè)比賽結(jié)束時剛比賽完第四場為事件（2）設(shè)甲參加的比賽場數(shù)為,可能的取值為.當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,的分布列為則隨機變量的分布列為：X0123P則數(shù)學(xué)期望為．B能力提升16．（2022春·江蘇南京·高三江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某種零件成箱包裝，件一箱.為了保障零件的質(zhì)量，每箱零件在交付用戶之前，需對零件的安全指標(biāo)進(jìn)行檢驗，如檢出不合格品，則需要更換為合格品.檢驗時，先從這箱零件中任取幾件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有零件作檢驗，設(shè)每件零件是不合格品的概率都為，且各件零件是否為不合格品相互獨立.(1)若從這箱零件中任取件作檢驗，求件零件中恰有件不合格品的概率.(2)現(xiàn)對一箱零件檢驗了件，結(jié)果恰有件不合格品，設(shè)每件零件的檢驗費用為（）元，考慮到每件零件的成本費，不超過，如果有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用.現(xiàn)以檢驗費用與賠償費用的和的期望值為決策依據(jù)，工廠將不對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗，試求出的所有可能取值.【答案】(1)0.243(2)【詳解】（1）由題意，件零件中恰有件不合格品的概率：.（2）令表示余下的90件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知，，，若對余下的產(chǎn)品作檢驗，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為元，，解得，又由，，故的所有取值集合為.17．（2022春·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某班級50名學(xué)生的考試成績分?jǐn)?shù)X分布在區(qū)間內(nèi)，設(shè)考試分?jǐn)?shù)X的分布頻率是且，考試成績采用“5分制”，規(guī)定分?jǐn)?shù)在的成績記為1分，分?jǐn)?shù)在的成績記為2分，分?jǐn)?shù)在的成績記為3分，分?jǐn)?shù)在的成績記為4分，分?jǐn)?shù)在的成績記為5分．現(xiàn)從這50名學(xué)生中采用分層抽樣的方法，從成績?yōu)?分、2分、3分的學(xué)生中隨機抽出6人，再從這6人中隨機抽取3人，記者人的乘積之和為（將頻率視為概率）．(1)求b的值，并估計該班的考試平均分?jǐn)?shù)；(2)求；(3)求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)(3)分布列見解析；期望為7【詳解】（1）解：因為，所以，所以；考試分?jǐn)?shù)在，，，，，，，，，內(nèi)的頻率分別是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，銷售量的平均數(shù)為（分；（2）解：成績?yōu)?分的頻率為，成績?yōu)?分的頻率為，成績?yōu)?分的頻率為，所以成績?yōu)?分的學(xué)生抽取人，成績?yōu)?分的學(xué)生抽取人，成績?yōu)?分的學(xué)生抽取人，；（3）解：由（2）知，的可取值為：5，6，7，8，9，，，，，，所以的分布列為：56789所以.C綜合素養(yǎng)18．（2022春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)2022年10月舉行了2022“翱翔杯”秋季運動會，其中有“夾球跑”和“定點投籃”兩個項目，某班代表隊共派出1男（甲同學(xué)）2女（乙同學(xué)和丙同學(xué)）三人參加這兩個項目，其中男生單獨完成“夾球跑”的概率為0.6，女生單獨完成“夾球跑”的概率為（）．假設(shè)每個同學(xué)能否完成“夾球跑”互不影響，記這三名同學(xué)能完成“夾球跑”的人數(shù)為．(1)證明：在的概率分布中，最大．(2)對于“定點投籃”項目，比賽規(guī)則如下：該代表隊先指派一人上場投籃，如果投中，則比賽終止，如果沒有投中，則重新指派下一名同學(xué)繼續(xù)投籃，如果三名同學(xué)均未投中，比賽也終止．該班代表隊的領(lǐng)隊了解后發(fā)現(xiàn)，甲、乙、丙三名同學(xué)投籃命中的概率依次為（，2，3），每位同學(xué)能否命中相互獨立．請幫領(lǐng)隊分析如何安排三名同學(xué)的出場順序，才能使得該代表隊出場投籃人數(shù)的均值最??？并給出證明．【答案】(1)證明見解析(2)應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的順序安排出場順序，才能使得該代表隊出場投籃人數(shù)的均值最小，證明見解析【詳解】（1）由已知