624向量的數(shù)量積（精講）

6.2.4向量的數(shù)量積重點：1、平面向量數(shù)量積的含義與意義；2、向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算律及其性質(zhì)；難點：1、平面向量數(shù)量積的概念；2、利用平面向量數(shù)量積求解模長與夾角等.一、向量的數(shù)量積1、向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量，，是平面上的任意一點，作，，則（）叫做向量與的夾角．（2）性質(zhì)：當(dāng)時，與同向；當(dāng)時，與反向．（3）向量垂直：如果與的夾角是，我們說與垂直，記作．2、向量的數(shù)量積的定義（1）定義：非零向量與，它們的夾角為，數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)；（2）記法：向量與的數(shù)量積記作，即；零向量與任一向量的數(shù)量積為0；3、向量在上的投影向量（1）設(shè)，是兩個非零向量，，，考慮如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．（2）在平面內(nèi)任取一點O，作，，過點M作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量，且．（3）注意：數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影向量的“長度”的乘積，也等于的長度||與在的方向上的投影向量的“長度”的乘積3、向量數(shù)量積的物理背景如果一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功就等于力與位移的數(shù)量積，即，其中是與的夾角。二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算律1、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則（1）；（2）；（3）當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，；特別地，或；（4）cosθ＝；（5）2、平面向量數(shù)量積滿足的運算律（1）；（3）(λ為實數(shù))；（3）；（4）兩個向量，的夾角為銳角?且，不共線；兩個向量，的夾角為鈍角?且，不共線．（5）平面向量數(shù)量積運算的常用公式三、求平面向量數(shù)量積的方法（1）定義法：若已知向量的模及夾角，則直接利用公式，運用此法計算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的始點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件；（2）運算律轉(zhuǎn)化法：由可得如下運算公式：；；；（3）利用向量的線性運算轉(zhuǎn)化法：涉及平面圖形中向量的數(shù)量積的計算時，要結(jié)合向量的線性運算，將未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量求解。題型一平面向量數(shù)量積的運算【例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知向量和向量的夾角為30°，，，則______．【答案】3【解析】向量和向量的夾角為，，，又，.【變式11】（2022·高一課時練習(xí)）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（）A．12B．8C．8D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量為，，.故選：A【變式12】（2022秋·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是邊長為2的等邊三角形，點D為邊的中點，則（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】因為是等邊三角形，所以.所以是邊長為2的等邊三角形，點D為邊的中點，所以.所以.故選：B【變式13】（2022秋·吉林白城·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列選項，其中正確的有（）A．B．不與垂直C．D．【答案】ACD【解析】對于A，由平面向量數(shù)量積的結(jié)合律，可知A正確；對于B，，所以與垂直，故B錯誤；對于C，因為不共線，所以組成三角形的三邊，所以，故C正確；對于D，，故D正確.故選:ACD.【變式14】（2022·高一課時練習(xí)）已知，，且向量與的夾角為120°，則______.【答案】268【解析】.【變式15】（2022秋·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，滿足，，，，，則_________.【答案】6【解析】由，得，兩邊平方，得，因為，所以，得.題型二平面向量模的相關(guān)運算【例2】（2022秋·吉林長春·高一長春市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則（）A．B．2C．D．4【答案】B【解析】因為，，，所以，故選：B【變式21】（2022秋·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）已知，．若，則（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】因為，所以，所以，又.故選：A.【變式22】（2021秋·山東·高一階段練習(xí)）在中，，若D為BC中點，則為_________．【答案】【解析】，所以，故，，兩式相減得，所以，所以＝.【變式23】（2023春·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則__________.【答案】【解析】由圖知：，則，又，則.【變式24】（2022秋·上海浦東新·高一上海市川沙中學(xué)校考期中）已知平面向量滿足，則的最大值是__.【答案】【解析】由，得，所以，當(dāng)和共線時等號成立，所以，即，所以，又，當(dāng)時取等號.所以的最大值是.題型三平面向量的夾角問題【例3】（2022秋·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中期末）已知向量，滿足，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為向量，滿足，由，可得，即，即又由，可得，即，解得，即，又因為，因為，所以，即與的夾角為.故選：B.【變式31】（2021秋·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）已知是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知向量在向量上的投影向量為，則，即，而，故，故選：D【變式32】（2022秋·湖北·高一湖北省天門中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，，所以，所以，故選：A【變式33】（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知分別是與軸、軸方向相同的單位向量，，，且的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的夾角為銳角，且不同向，，解得：且，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.題型四平面向量的垂直問題【例4】（2022·高一練習(xí)）已知平面向量，的夾角為120°，且.若，則______.【答案】11【解析】因為平面向量，的夾角為，且，所以，因為，所以，所以，解得.【變式41】（2022秋·上海黃浦·高一格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若與都是非零向量，則“”是“”的（）A．充分但非必要條件B．必要但非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件【答案】C【解析】因為與都是非零向量，所以，故“”是“”的充要條件.故選：C.【變式42】（2022·高一課時練習(xí)）設(shè)向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實數(shù)，使得與垂直，則（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】因為在方向上的投影向量為，所以，所以，因為與垂直，所以，即，解得.故選：B.【變式43】（2021秋·上海普陀·高一曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知向量，對任意的，恒有，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，又，令則上式等價于，對任意的恒成立，故，解得，解得，即；對A：由，故不成立，A錯誤；對B：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，B錯誤；對C：，故，C正確；對D：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，D錯誤.故選：C.題型五求平面向量的投影向量【例5】（2022秋·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）若，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為故選：C【變式51】（2022秋·天津南開·高一南開中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，且，則向量在上的投影向量是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題設(shè)，，則向量在上的投影向量.故選：D【變式52】（2022·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知是的外心，且滿足，，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)的中點為，則，所以，所以外心與中點重合，故為直角三角形.設(shè)，則，，，設(shè)為方向上的單位向量，則在上的投影向量為.故選：C.【變式53】（2022春·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，函數(shù)，當(dāng)時，f（x）有最小值，則在上的投影向量為（）A．B．C．－D．－【答案】C【解析】由題意得，,，當(dāng)時，有最小值，即，則在上的投影向量為，故選：C題型六平面向量數(shù)量積的最值【例6】（2021秋·遼寧大連·高一大連市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量滿足，，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】可得可變形為由可知，，解得【變式61】（2022春·江蘇南京·高三南京師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若非零向量與滿足：，且，，則的最大值為______．【答案】【解析】由已知有，∴，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.即的最大值為.【變式62】（2022秋·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）（多選）如圖，正六邊形的邊長為2，半徑為1的圓的圓心為正六邊形的中心，，若點在正六邊形的邊上運動，動點在圓上運動且關(guān)于圓心對稱，則的值可能為（）A．B．C．3D