7.3 萬(wàn)有引力理論的成就（舉一反三）【三大題型】（解析版）-2024-2025學(xué)年高一物理舉一反三系列（人教版2019必修第二冊(cè)）

7.3萬(wàn)有引力理論的成就【三大題型】【人教版2019】TOC\o"1-3"\h\u【題型1天體的質(zhì)量和密度的計(jì)算】 2【題型2天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算】 5【題型3天體自轉(zhuǎn)的相關(guān)問(wèn)題】 9知識(shí)點(diǎn)1：天體的質(zhì)量和密度的計(jì)算1．天體質(zhì)量的計(jì)算（1）“自力更生法”：若已知天體（如地球）的半徑R和表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于天體對(duì)物體的引力，得mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得天體質(zhì)量為M＝eq\f(gR2,G)，因g、R是天體自身的參量，故稱“自力更生法”．（2）“借助外援法”：借助繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星計(jì)算中心天體的質(zhì)量，常見(jiàn)的情況：Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r?M＝eq\f(4π2r3,GT2)，已知繞行天體的r和T可以求M.2．天體密度的計(jì)算若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式可得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).特殊情況，當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r可認(rèn)為等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).注意：（1）計(jì)算天體的質(zhì)量的方法不僅適用于地球，也適用于其他任何星體．要明確計(jì)算出的是中心天體的質(zhì)量．（2）要注意R、r的區(qū)分．一般地R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑．若繞“近地”軌道運(yùn)行，則有R＝r.知識(shí)點(diǎn)2：天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算1．基本思路：一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由中心天體對(duì)它的萬(wàn)有引力提供．2．常用關(guān)系（1）Geq\f(Mm,r2)＝ma向＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r（2）mg＝Geq\f(Mm,R2)（物體在天體表面時(shí)受到的萬(wàn)有引力等于物體重力），整理可得：gR2＝GM，該公式通常被稱為黃金代換式．3．四個(gè)重要結(jié)論：設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．（1）由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越?。?）由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小．（3）由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大．（4）由Geq\f(Mm,r2)＝ma向得a向＝eq\f(GM,r2)，r越大，a向越?。陨辖Y(jié)論可總結(jié)為“一定四定，越遠(yuǎn)越慢”．【題型1天體的質(zhì)量和密度的計(jì)算】【例1】2021年4月，我國(guó)自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行，若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是（）A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑【答案】D【詳解】根據(jù)核心艙做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由地球的萬(wàn)有引力提供，可得可得可知已知核心艙的質(zhì)量和繞地半徑、已知核心艙的質(zhì)量和繞地周期以及已知核心艙的角速度和繞地周期，都不能求解地球的質(zhì)量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑可求解地球的質(zhì)量。故選D?！咀兪?-1】木星的衛(wèi)星中，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為。木衛(wèi)三周期為T，公轉(zhuǎn)軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為，則（

）A．木衛(wèi)一軌道半徑為 B．木衛(wèi)二軌道半徑為C．周期T與T0之比為 D．木星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為【答案】D【詳解】根據(jù)題意可得，木衛(wèi)3的軌道半徑為AB．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為,可得木衛(wèi)一軌道半徑為木衛(wèi)二軌道半徑為故AB錯(cuò)誤；C．木衛(wèi)三圍繞的中心天體是木星，月球的圍繞的中心天體是地球，根據(jù)題意無(wú)法求出周期T與T0之比，故C錯(cuò)誤；D．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，分別有聯(lián)立可得故D正確。故選D?！咀兪?-2】（多）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原處。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過(guò)時(shí)間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地=1∶4，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計(jì)。則（

）A．g′∶g=1∶5B．g′∶g=5∶2C．M星∶M地=1∶20D．M星∶M地=1∶80【答案】AD【詳解】AB．設(shè)初速度為v0，由對(duì)稱性可知在地球表面豎直上拋的小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間在某星球同理，因此得故A正確、B錯(cuò)誤；CD．在地球表面由得在某星球同理，則故C錯(cuò)誤、D正確。故選AD?！咀兪?-3】嫦娥六號(hào)進(jìn)入環(huán)月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)月球半徑為，質(zhì)量為，對(duì)嫦娥六號(hào)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力月球的體積月球的平均密度聯(lián)立可得故選D?！绢}型2天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算】【例2】我國(guó)是第三個(gè)對(duì)火星探測(cè)并將探測(cè)器著陸火星的國(guó)家，探測(cè)器在環(huán)繞火星表面飛行時(shí)周期是T。火星表面氣體非常稀薄可近似認(rèn)為真空，在火星表面附近以初速度v0水平拋出一個(gè)物體，測(cè)得拋出點(diǎn)距火星表面高度為h，落到火星表面時(shí)物體的水平位移為x，已知引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是（）A．物體在火星表面附近做平拋運(yùn)動(dòng)的加速度大小是B．火星的半徑是C．火星的質(zhì)量是D．火星的密度是【答案】C【詳解】AB．設(shè)物體在火星表面附近做類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，水平方向豎直方向聯(lián)立得同時(shí)由探測(cè)器在環(huán)繞火星表面飛行時(shí)周期是T，可得加速度為聯(lián)立得AB錯(cuò)誤；C．在火星表面有即解得C正確；D．火星的密度D錯(cuò)誤。故選C。【變式2-1】2024年5月，嫦娥六號(hào)探測(cè)器發(fā)射成功，開(kāi)啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經(jīng)過(guò)月面起飛、環(huán)月飛行、月地轉(zhuǎn)移等過(guò)程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的。下列說(shuō)法正確的是（）A．在環(huán)月飛行時(shí)，樣品所受合力為零B．若將樣品放置在月球正面，它對(duì)月球表面壓力等于零C．樣品在不同過(guò)程中受到的引力不同，所以質(zhì)量也不同D．樣品放置在月球背面時(shí)對(duì)月球的壓力，比放置在地球表面時(shí)對(duì)地球的壓力小【答案】D【詳解】A．在環(huán)月飛行時(shí)，樣品所受合力提供所需的向心力，不為零，故A錯(cuò)誤；BD．若將樣品放置在月球正面，它對(duì)月球表面壓力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的，則樣品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以樣品放置在月球背面時(shí)對(duì)月球的壓力，比放置在地球表面時(shí)對(duì)地球的壓力小，故B錯(cuò)誤，D正確；C．樣品在不同過(guò)程中受到的引力不同，但樣品的質(zhì)量相同，故C錯(cuò)誤。故選D?！咀兪?-2】某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，質(zhì)量為M?？蒲腥藛T研究同一物體在該行星上的重力時(shí)，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.2倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)赤道處的重力加速度為g，物體在兩極時(shí)萬(wàn)有引力等于重力，有在赤道時(shí)萬(wàn)有引力可分解為重力和自轉(zhuǎn)所需的向心力，則有聯(lián)立解得該行星自轉(zhuǎn)的角速度為故選A?！咀兪?-3】某星球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的4倍，半徑與地球近似相等。（1）若從地球表面高為h處平拋一物體，水平射程為，則在該星球上，從同樣高度，以同樣的初速度平拋同一物體，水平射程應(yīng)為多少？（2）如圖所示，在該星球表面發(fā)射一枚火箭，其上有精密的探測(cè)器，豎直向上做加速直線運(yùn)動(dòng)，已知該星球半徑為，表面重力加速度為，升到某一高度時(shí)，加速度為，測(cè)試儀器對(duì)平臺(tái)的壓力剛好是起飛前壓力的，求此時(shí)火箭所處位置距星球表面的高度？【答案】（1）10m；（2）【詳解】（1）設(shè)星球質(zhì)量為M1地球質(zhì)量為M，半徑為R1和R2在星球體表面做平拋運(yùn)動(dòng)，則，設(shè)在星球和地球平拋水平位移分別為和，得故代入值解得=10m（2）起飛前高h(yuǎn)處時(shí)根據(jù)牛頓第二定律得帶入得根據(jù)萬(wàn)有引力提供重力可得，【題型3天體自轉(zhuǎn)的相關(guān)問(wèn)題】【例3】地球赤道上的物體重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a，要使赤道上的物體“飄”起來(lái)，則地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)為原來(lái)的（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)地球原來(lái)自轉(zhuǎn)的角速度為，地球半徑為R，用F表示地球?qū)Τ嗟郎系奈矬w的萬(wàn)有引力，N表示地面對(duì)物體的支持力，由牛頓第二定律有而物體受到的支持力與物體的重力平衡，所以有當(dāng)赤道上的物體剛剛“飄起來(lái)”時(shí)，由萬(wàn)有引|力提供向心力，設(shè)此時(shí)地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，則有聯(lián)立以上三式可得故選B。【變式3-1】假定太陽(yáng)系一顆質(zhì)量均勻、可看作球體的小行星自轉(zhuǎn)可以忽略?，F(xiàn)若該星球自轉(zhuǎn)加快，角速度為ω時(shí)，該星球表面“赤道”上的物體對(duì)星球的壓力減為原來(lái)的。已知引力常量G，則該星球密度ρ為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】該星球表面“赤道”上的物體相對(duì)地心靜止，有行星自轉(zhuǎn)角速度為ω時(shí)，有行星的平均密度解得故選D?！咀兪?-2】（多）組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個(gè)最大的自轉(zhuǎn)速率，如果超出了該速率，星球的萬(wàn)有引力將不足以維持其赤道附近的物體隨星球做圓周運(yùn)動(dòng)。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的星球，地球半徑為R，地球北極表面附近的重力加速度為g，引力常量為G，地球質(zhì)量為M，則地球的最大自轉(zhuǎn)角速度ω為（）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】AB．設(shè)地球赤道上有一質(zhì)量為m的物體，要維持該物體隨地球一起以最大角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，則物體與地球之間的萬(wàn)有引力提供自轉(zhuǎn)所需的向心力，則有解得A錯(cuò)誤，B正確；CD．在地球北極表面附近有則有GM=gR2解得C正確，D錯(cuò)誤。故選BC?！咀兪?-3】（多）由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同．已知地球表面兩極處的重力加速度大小為，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。下列說(shuō)法正確的是（）A．質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為mgB．質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬(wàn)有引