安徽省合肥市一六八中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題

-2025學(xué)年度高二年級（上）·期中學(xué)情檢測數(shù)學(xué)考生注意：1.試卷分值：150分，考試時(shí)間：120分鐘.2.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答案區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.3.所有答案均要答在答題卡上，否則無效.考試結(jié)束后只交答題卡.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.2.直線的一個(gè)方向向量為（）A.B.C.D.3.若橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（）A.1B.1或5C.5D.3或54.已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A.B.C.D.5.圓與圓的公切線條數(shù)是（）A.1B.2C.3D.46.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)?shù)拿娣e為2時(shí)，等于（）A.0B.1C.2D.7.在四棱錐中，，則此四棱錐的高為（）A.B.C.6D.88.已知是圓上兩點(diǎn)，且，若直線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量分別為兩個(gè)不同的平面的法向量，為直線的方向向量，且，則（）A.B.C.D.10.已知直線，圓，則下列說法正確的是（）A.直線過定點(diǎn)B.直線與圓恒相交C.直線被圓截得的弦長為4時(shí)，D.直線被圓截得的弦長最短時(shí)，直線的方程為11.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為是橢圓上異于的一個(gè)動點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.橢圓的離心率為B.若，則C.直線的斜率與直線的斜率之積為定值D.符合條件的點(diǎn)有且僅有2個(gè)三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知方程表示的曲線是橢圓，則的取值范圍是__________.13.若直線與直線平行，則直線與之間的距離為__________.14.已知空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.利用此結(jié)論，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知向量.（1）當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與向量共面，求實(shí)數(shù)的值.16.（15分）已知兩直線和的交點(diǎn)為.（1）若直線過點(diǎn)且與直線平行，求直線的一般式方程；（2）若圓過點(diǎn)且與相切于點(diǎn)：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.17.（15分）已知動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，點(diǎn)的軌跡稱為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.18.（17分）在中，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使是的中點(diǎn)，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大?。唬?）在線段上（包含端點(diǎn)）是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.19.（17分）定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對”，記作.已知橢圓的離心率為，且橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）求“共軛點(diǎn)對”中點(diǎn)所在直線的方程；（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，（2）中的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點(diǎn)在橢圓上逆時(shí)針排列.證明：四邊形的面積小于8.數(shù)學(xué)參考答案?提示及評分細(xì)則題號1234567891011答案CBCDCABAABABDAC1.【答案】C【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.2.【答案】B【解析】由，得，所以直線的一個(gè)方向向量為.3.【答案】C【解析】根據(jù)左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，且焦點(diǎn)在軸上，故.4.【答案】D【解析】記為點(diǎn)，則直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是.5.【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，所以兩圓外切，所以圓與圓的公切線有3條.6.【答案】A【解析】由題意可得：，則，設(shè)，由題意可得：，解得，代入方程可得，則，又因?yàn)?，則.7.【答案】B【解析】設(shè)平面的法向量，則令，得，所以此四棱錐的高.8.【答案】A【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，設(shè)中點(diǎn)為，則，且，可得，又因?yàn)?，可知為等腰直角三角形，則，可得，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓，因?yàn)橹本€上存在點(diǎn)使得，即直線與圓有交點(diǎn)，即圓心到直線的距離，解得或.9.【答案】AB【解析】因?yàn)?，所以，所以，A正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，且，所以，B正確；因?yàn)?，所以或者錯(cuò)誤.10.【答案】ABD【解析】直線，即，則直線恒過定點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓恒相交，故B正確；直線，圓心到直線的距離，解得，故C錯(cuò)誤；設(shè)定點(diǎn)為點(diǎn)，則直線與垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長最短，此時(shí)，直線的方程為，故D正確.11.【答案】AC【解析】由題知，因?yàn)榧矗獾?，所以離心率，故A正確；若，連接，在中，由勾股定理得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，又，解得，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，因?yàn)?，所以，從而，所以，為定值，故C正確；因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為直徑的圓上，半徑為，又因?yàn)?，所以該圓與橢圓無交點(diǎn)，所以同時(shí)在圓上和在橢圓上的點(diǎn)不存在，即不存在符合條件的點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.12.【答案】【解析】若方程表示橢圓，則解得且.13.【答案】【解析】由于與平行，則，解得，故兩直線方程分別為，所以直線與之間的距離為.14.【答案】【解析】由題知兩平面與的一個(gè)法向量分別為，設(shè)直線的一個(gè)方向向量，則即取，則，又平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為.15.（13分）【解析】（1）因?yàn)?，所以，解得，?由，且，得，解得，即的值為3.（2）因?yàn)橄蛄颗c向量共面，所以設(shè)，因此，即解得所以的值為.16.（15分）【解析】聯(lián)立方程組解得所以直線和的交點(diǎn).（1）因?yàn)橹本€與直線平行，故可設(shè)直線.又直線過點(diǎn)，則，解得，即直線的方程為.（2）設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的斜率為，故直線的斜率為，由題意可得解得故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.17.（15分）【解析】（1）設(shè)，則，整理得，所以曲線的方程為.（2）由題可設(shè)直線，將代入方程，整理得：，設(shè)，則，解得，所以，則，整理得：，滿足，所以，即直線方程為或.18.（17分）【解析】（1）證明：因?yàn)樵谥校?，且，所以，則折疊后，.又平面，所以平面平面，所以，又已知且平面內(nèi)，所以平面；（2）解：由（1）知，可以以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榻?jīng)過的重心，所以，故，由幾何關(guān)系可知，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則即不妨令，則.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，故，即與平面所成角的大小為；（3）解：假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角的余弦值為.在空間直角坐標(biāo)系中，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則有即不妨令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有即不妨令，則，所以，若平面與平面的夾角的余弦值為.則滿足，化簡得，解得或，即或，故在線段上存在這樣的，使平面與平面的夾角的余弦值為，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)的長度為或當(dāng)與重合時(shí)，的長度為.19.（17分）【解析】（1）依題意，解得所以橢圓的方程為.（2）由題知，，所以，所以點(diǎn)所在的直線的方程為.（