考點19 相似三角形模型（原卷版）

考點19相似三角形基本模型相似三角形在初中數(shù)學中因為不同類型的規(guī)律比較明顯，所以被總結(jié)了很多的模型，比如：A字圖、8字圖、母子三角形、一線三等角、手拉手相似等。而掌握了這類模型的套路后，可以更快的應(yīng)對相似三角形類的應(yīng)用。所以考生需要對該考點完全掌握。A字圖及其變型8字圖及其變型一般母子型一線三等角手拉手模型考向一、A字圖及其變型“斜A型”當∠ADE=∠ACB當∠ADE=∠ACB時△ADE∽△ACB性質(zhì)：當DE∥BC時△ADE∽△ABC性質(zhì)：變型☆：斜A型在圓中的應(yīng)用：如圖可得：△PAB∽△PCD1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝6，則的值為（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，則S△ADE：S四邊形DEGF：S四邊形FGCB＝（）A．1：2：5 B．1：4：25 C．1：3：25 D．1：3：213．將一張直角三角形紙片沿一條直線剪開，將其分成一張三角形紙片與一張四邊形紙片，如果所得四邊形紙片ABCD如圖5所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原來的直角三角形紙片的面積是平方厘米．4．如圖，矩形DEFG的邊DE在△ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC上．已知BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么△ABC的面積是cm2．5．如圖?ABCD中，點E在BA的延長線上，連接EC、BD交于點G，EC交AD于F，已知EA：AB＝1：2．（1）求EF：EC；（2）求FG：GC．考向二、8字圖及其變型“蝴蝶型”當AB∥當AB∥CD時△AOB∽△DOC性質(zhì)：當∠A=∠C時△AJB∽△CJD性質(zhì)：變型1．如圖，在△ABC中，中線AD與中線BE相交于點G，聯(lián)結(jié)DE．下列結(jié)論成立的是（）A．B．C．D．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為BC的中點，延長AD至點E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點G，則S△CFG：S△DEG等于（）A．9：4 B．2：3 C．4：9 D．3：23．如圖，在正方形ABCD中，E為AD上的點，連接CE．以點E為圓心，以任意長為半徑作弧分別交EC，ED于點N，M，再分別以M，N為圓心，以大于MN長為半徑作弧，兩弧在∠CED內(nèi)交于點P，連接EP并延長交DC于點H，交BC的延長線于點G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，則EH的長為．4．如圖，在?ABCD中，G是CD延長線上一點，連接BG交AC，AD于E，F(xiàn)．（1）求證：△ABE∽△CGE；（2）若AF＝2FD，求的值．5．以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D均在格點上．（1）在圖①中，的值為；（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在AB上找一點P，使AP＝3；②如圖③，在BD上找一點P，使△APB∽△CPD．其中：∠A是公共角其中：∠A是公共角AB是公共邊BD與BC是對應(yīng)邊當∠ABD=∠ACB時△ABD∽△ACB性質(zhì)：聯(lián)系應(yīng)用：切割線定理：如圖，PB為圓O切線，B為切點，則：△PAB∽△PBC得：1．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，有下列條件：①∠A＝∠BCD；②∠A+∠BCD＝∠ADC；③；④BC2＝BD?BA．其中能判斷△ABC是直角三角形的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠ACD＝3∠BCD，E為斜邊AB的中點，則＝（）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點D、E分別在AC、BC邊上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，則BC的長為．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D是斜邊AC的中點，連接DB，線段AE⊥線段BD交BC于點E，交DB于點G，垂足為點G．（1）求證：EB2＝EG?EA；（2）聯(lián)結(jié)CG，若∠CGE＝∠DBC，求證：BE＝CE．考向四、一線三等角：同側(cè)型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）異側(cè)型1．如圖，AB⊥BD于點B，ED⊥BD于點D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．點C為BD上一點，連接AC、CE．當BC＝（）時，可使AC⊥CE．A．3 B．2或4 C． D．2或32．如圖，點A，B，C在同一直線上，∠A＝∠DBE＝∠C，則下列結(jié)論：①∠D＝∠CBE，②△ABD∽△CEB，③＝，其中正確的結(jié)論有（）個．A．0 B．1 C．2 D．33．如圖，在矩形ABCD中，點E是對角線上一點，連接AE并延長交CD于點F，過點E作EG⊥AE交BC于點G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，則AE＝（）A． B． C． D．4．如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝34，cos∠ABC＝，射線CM∥AB，D為線段BC上的一動點且和B，C不重合，聯(lián)結(jié)DA，過點D作DE⊥DA交射線CM于點E，聯(lián)結(jié)AE，作EF＝EC，交BC的延長線于點F，設(shè)BD＝x．（1）如圖1，當AD∥EF，求BD的長；（2）若CE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如圖2，點G在線段AE上，作∠AGD＝∠F，若△DGE與△CDE相似，求BD的長．考向五、手拉手相似模型：模型名稱幾何模型圖形特點具有性質(zhì)相似型手拉手△ABC∽△ADED、E逆時針A、B、C逆時針連結(jié)BD、CE①△ABD∽△ACE②△AOB∽△HOC③旋轉(zhuǎn)角相等④A、B、C、H四點共圓“反向”相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E順時針A、B、C逆時針A、D、E`逆時針作△ADE關(guān)于AD對稱的△ADE`性質(zhì)同上①②③1．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，連接CC'，將CC′沿C′B′方向平移至EB'，連接BE，若CC'＝，則BE的長為（）A．1 B． C． D．22．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，點P在邊AC上運動（可與點A，C重合），將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，CD，則CD長的最小值為．3．已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于點D．（1）在圖1中，寫出其中兩對相似三角形．（2）已知BD＝1，DC＝2，將△CBD繞著點D按順時針方向進行旋轉(zhuǎn)得到△C'BD，連接AC'，BC．①如圖2，判斷AC'與BC之間的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；②在旋轉(zhuǎn)過程中，當點A，B，C'在同一直線時，求BC的長．1．（2022秋?泗陽縣期末）如圖，利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高2m，測得AB＝3m，BC＝6m．則建筑物CD的高是（）A．4m B．9m C．8m D．6m2．（2022秋?成華區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BDEF是平行四邊形，．若△ADE的面積為1，則平行四邊形BDEF的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022秋?海淀區(qū)校級月考）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD＝∠B，則CD＝．4．（2022秋?萬州區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E為CD的中點，F(xiàn)為BC上一點，BF＜FC，且AF⊥FE．對角線AC與EF交于點G，則GC的長為．5．（2022?安徽模擬）在數(shù)學探究活動中，小明進行了如下操作：如圖，將兩張等腰直角三角形紙片ABC和CDE如圖放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分別與AB邊相交于M、N兩點．請完成下列探究：（1）若AC＝2，則AN?BM的值為；（2）過M作MF⊥AC于F，若＝，則的值為．6．（2022秋?駐馬店期末）如圖，AD是Rt△ABC斜邊上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的長．7．（2022秋?開化縣期中）如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）若AC：DC＝2：3，BC＝6，求EC的長．8．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC．E為邊CB延長線上一點，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點F，聯(lián)結(jié)AC交DE于點G，且＝．（1）求證：AB∥CD；（2）如果AE2＝AG?AC，求證：＝．9．（2022秋?長安區(qū)校級月考）如圖，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于點E，EF：AB＝2：3．（1）若CE＝4，求AE的長；（2）若CD＝6，求AB的長；（3）若四邊形ABFE的面積為8，直接寫出△CEF的面積．10．（2022?文山州模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，D、E分別是AB、BC上的點，過B、D、E三點作?O，交CD延長線于點F，AC＝3，BC＝5，AD＝1．（1）求證：△CDE∽△CBF；（2）當?O與CD相切于點D時，求?O的半徑；（3）若S△CDE＝3S△BDF，求DF的值．1．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022?涼山州）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm3．（2022?哈爾濱）如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，則BD的長為（）A． B．4 C． D．64．（2022?雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．5．（2022?揚州）如圖，在△ABC中，AB＜AC，將△ABC以點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點D在BC邊上，DE交AC于點F．下列結(jié)論：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③6．（2022?達州）如圖，點E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點A恰好落在BC邊上的點F處，若CD＝3BF，BE＝4，則AD的長為（）A．9 B．12 C．15 D．187．（2022?云南）如圖，在△ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設(shè)△ABC的面積為S1，△EBD的面積為S2，則＝（）A． B． C． D．8．（2022?錦州）如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點，連接BE交AC于點F．若AB＝6，則△AEF的面積為．9．（2022?牡丹江）如圖，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于點H．下列結(jié)論中：①AC＝CD；②AD2＝BC?AF；③若AD＝3，DH＝5，則BD＝3；④AH2＝DH?AC，正確的是．10．（2022?東營）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長為．11．（2022?上海）我們經(jīng)常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿AB的長．（1）如圖（1）所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點D處，測角儀高為b米，從C點測得A點的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，α的代數(shù)式表示）（2）我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義．如圖（2）所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度．1．（2022?賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．2．（2022?南崗區(qū)三模）如圖，點E在菱形ABCD的邊CD的延長線上，連接BE交AD于點F，則下列式子一定正確的是（）A． B． C． D．3．（2022?南崗區(qū)校級二模）如圖，在?ABCD中，點E在CD邊上，連接AE、BE，AE交BD于點F，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．4．（2022?鹿城區(qū)校級三模）如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形拼接而成，連結(jié)HF交DE于點M．若，則的值為（）A． B． C． D．5．（2022?瑤海區(qū)三模）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，連接CC'，將CC′沿C′B′方向平移至EB'，連接BE，若CC'＝，則BE的長為（）A．1 B． C． D．26．（2022?甌海區(qū)模擬）如圖來自清朝數(shù)學家梅文鼎的《勾股舉隅》，該圖由四個全等的直角三角形圍成，延長BC分別交AG，HG于點M，N，梅文鼎就是利用這幅圖證明了勾股定