2024屆新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題07 數(shù)列專題（數(shù)學(xué)文化）含解析

2024屆新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文

化、新定義）專題07數(shù)列專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

I.（2022?全國?高三專題練習(xí)）《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨

水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和

為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為（一丈=十尺=一百寸）（）.

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

2.（2022秋?陜西咸陽?高二武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫，現(xiàn)

為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之?.某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計算，從第二層開

始，每層浮雕像的個數(shù)依次是下層個數(shù)的2倍，且第三層與第二層浮雕像個數(shù)的差是16,則該洞窟的浮雕像

的總個數(shù)為（）

A.1016B.512C.128D.1024

3.（2022秋?廣東廣州?高二華南師大附中?？茧A段練習(xí)）《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書

中有一道這樣的題目：把MX）個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的g是較小

的兩份之和，則最小的一份為（）

A.5B.10C.15D.30

4.（2022?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預(yù)測）位于從臺公園內(nèi)的武靈從臺已經(jīng)成為邯鄲這座三千年古城的地標(biāo)建筑，

從臺上層建有據(jù)勝亭，其頂部結(jié)構(gòu)的一個側(cè)面中，自上而下第一層有2塊筒瓦，以下每一層均比上一層多2

塊筒瓦，如果側(cè)面共有11層筒瓦且頂部4個側(cè)面結(jié)構(gòu)完全相同，頂部結(jié)構(gòu)共有多少塊筒瓦？（）

A.440B.484C.528D.572

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖1,洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國家級

非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中

的九宮格，將自然數(shù)1,2,3,…，〃2放置在〃行〃列（〃23）的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對角

線上的數(shù)字之和（簡稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“階幻方洛書就是一個3階幻方，其

“幻和”為15.則7階幻方的“幻和”為（）

t洛

歡

五

輪

一

六

坤

兌.

匕

震

艮

；

八

巽

博

四

中

九

圖1圖2

A.91B.169C.175D.180

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)

等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的：

已知/+6+；；++%是該數(shù)列的第io。項,則加二（）

A.98B.99

C.100D.101

7.（2022春?河南南陽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示

的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第50層

球的個數(shù)為（）

巍

A.1255B.1265

C.1275D.1285

8.（2022秋?江蘇南通?高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）1883年，德國數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集,

亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間［0內(nèi)平均分

19

成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間和［,”；第二步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為三段，

各自去掉中間的一段,剩下四段閉區(qū)間：段■號91春07，）觸R；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下

2021

的各個區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷〃步構(gòu)造后，而不屬丁剩下的閉區(qū)間，則〃的最小值是（）.

■■■■■■■■

A.7B.8C.9D.10

9.（2022春?江蘇南通?高二統(tǒng)考期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種占老的方法.這種

方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下頭一個2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2

后面的一個數(shù)3不動,剔除掉所有3的倍數(shù);接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理;

依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素數(shù).在利用“埃拉托塞尼篩法''挑選2到30的全部素數(shù)

過程中剔除的所有數(shù)的和為（）

A.333B.335C.337D.341

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書中,

有一篇文章《五分鐘挑出埃及分?jǐn)?shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分?jǐn)?shù)（稱為埃及分?jǐn)?shù)）.則

下列埃及分?jǐn)?shù)七、&

5^7'匕的和是（）

2021x2023

20222023J0H

A.------B.D?落

20232022?2023

II.（2022春?四川資陽?高一?統(tǒng)考期末）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，書中有這樣一個問題：九百九十

六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳.意為：

996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第二個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止.分

配時一定要長幼分明，使孝順子女的美德外傳.據(jù)此，前五個孩子共分得的棉花斤數(shù)為（）

A.362B.430C.495D.645

12.（2022秋.江蘇淮安?高三?？茧A段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源二中國，中國自古便有十天干與十二地支.十

天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、

申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，

天干由“甲”起,地支由“子”起，比如第一年為“甲子”,第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅以此類推，

排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，"乙亥”，之后地支回到“子''重新開始，即“丙子”，…,

以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（）

A.壬午年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年

13.（2022秋?江蘇宿遷?高二沐陽縣建陵高級中學(xué)校考期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法

通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所以論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并

不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛

積術(shù)”，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前6項分別為1,5,11,21,37,61,……則該數(shù)列的第8項為（）

A.99B.131C.139D.141

14.（2023春?廣西柳州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人畝，苗主責(zé)之

粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊.”羊主曰：“我羊食半馬."馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾

何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾

苗只有羊的一半羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”

打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個問題中，馬主人比豬主人多賠償了（）

4.

A.-B.-C.3D.—

555

15.（2021秋?河南商丘?高二校聯(lián)考期中）《莉拉沃蒂》是古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅的數(shù)學(xué)名著，書中有下面的

表述：某王為奪得敵人的大象，第一天行軍2由旬（由旬為古EJ：度長度單位），以后每天均比前一天多行相

同的路程，七天一共行軍8（）由旬到達(dá)地方城市.下列說法正確的是（）

A.前四天共行早由旬

B.最后三天共行53由旬

C.從第二天起，每天比前一天多行的路程為早由旬

D.第三天行了今由旬

16.（2022.全國?高三專題練習(xí)）“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元

代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等.某倉庫中部分貨

物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是〃件.已

9，9）

知第一層貨物單價I萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的5.若這堆貨物總價是100-200-

10UoJ

萬元，則〃的值為（）

A.9B.10C.11D.12

17.（2021秋?吉林松原?高二長嶺縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）任取一個止整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再

加上1；若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2,反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1T4T2Tl.這

就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雀猜想”（又稱“角谷猜想”等）.如取正整數(shù)〃?=6,根據(jù)上述運算法則得出

6-3-10-5-16-8-4一2-1,共需經(jīng)過8個步驟變成I（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)

%當(dāng)Q為偶數(shù)時

系如下：已知數(shù)列｛%｝滿足：4=〃？（〃?為正整數(shù)），%'產(chǎn)2'"，則當(dāng)機(jī)=42時，則使%=1

3a“+1,當(dāng)勺為奇數(shù)時

需要的霍:程步數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的

歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列｛%｝滿足6=1,叼=1,

4=4“+2-2（〃之3,〃￡1＜）.若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長為1,記前〃

項所占的格子的面積之和為S”，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為c”，則其中不正確結(jié)論

的是（）

+%=%+2T

c.4+%+%+:+422=4”一1D.4（C?-c?_,）=7ian_2-（/?>3）

19.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方

形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以比類推，記第

〃代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為風(fēng)，數(shù)列｛%｝的前〃項和為工，若不等式邑>2022恒成立，則〃的最

小值為（）

A.7B.8C.9D.10

20.（2022.海南省直轄縣級單位.統(tǒng)考三模）北宋數(shù)學(xué)家賈憲創(chuàng)制的數(shù)字圖式（如圖）乂稱“賈憲三角”，后被

南宋數(shù)學(xué)家楊輝引用、〃維空間中的幾何元素與之有巧妙聯(lián)系、例如，1維最簡幾何圖形線段它有2個。維

的端點、I個1維的線段：2維最簡幾何圖形三角形它有3個。維的端點，3個1維的線段，1個2維的三

角形區(qū)域；……如下表所示.從1維到6維最簡幾何圖形中，所有1維線段數(shù)的和是（）

元素維度

0123???

幾何體維度

〃=1（線段）21

〃=2（三角形）331

〃=3（四面體）4641

??????????????????

A.56B.70C.84D.28

21.（2023?全國?高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列，來源于中國占代著作《乾坤普》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.

一,〃為奇數(shù)

其前10項為：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,通項公式為:,若把這個

為偶數(shù)

2

數(shù)列也｝排成下側(cè)形狀，并記A（旗力表示第〃，行中從左向右第〃個數(shù)，則A（9,5）的值為（）

0

248

1218243240

50...........

A.2520B.2312

C.2450D.2380

22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在歸國包機(jī)上，孟晚舟寫下《月是故鄉(xiāng)明，心安是歸途》，其中寫道“過去

的1028天，左右胸躇，千頭萬緒難抉擇；過去的1028天，日夜徘徊，縱有萬語難言說；過去的1028天，

山重水復(fù)，不知歸途在何處.”“感謝親愛的祖國，感謝黨和政府,正是那一抹絢麗的中國紅.燃起我心中的

信念之火，照亮我人生的至暗時刻，引領(lǐng)我回家的漫長路途.”下列數(shù)列｛a“｝（〃eN?）中，其前〃項和不可能

為1028的數(shù)列是（）

卜“2_〃(〃+1)(2〃+1)

（參考公式：12+于+32+)

6

,74

A.=IOn+28B.a=4/r-\2n-----

"n5

71

C.%=（-l嚴(yán)〃2磊D.4=歹+]

23.（2023?全國?高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋

中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，

是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、

50,則此數(shù)列的第21項是（）

A.200B.210C.220D.242

24.（2022春?云南紅河?高二彌勒市一中校考階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列（B?勵?acciS紳⑹zee）又稱黃金分割

數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多，斐波那契（心。，皿?而內(nèi)勵也cci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列在

數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列｛4｝滿足："=%=19,+2=%+%…現(xiàn)從數(shù)列的前2022

項中隨機(jī)抽取1項，能被3整除的概率是（）

逆B%C區(qū)

"2022'2022"2022D'4

25.（2022?高二課時練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存

在于自然界中，因此乂被稱為“大自然的幾何學(xué)按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形

圖.若記圖2中第〃行黑圈的個數(shù)為，則4=（）

26.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和

音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏以及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間

的距離為1,雁柱所在曲線的方程為y=第〃根弦（〃eN,從左數(shù)第1根弦在），軸上，稱為第0根弦）

20

分別與雁柱曲線和直線/：y=x+i交于點4（乙，尤）和B.（.<,X）,則、>/：=（）

n=O

參考數(shù)據(jù)：取1.產(chǎn)=8.14.

圖2

A.814B.900D.1000

27.（2022秋?陜西渭南?高二?？计谥校﹫D1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，/VT,BB',CC,是桁,

相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中CC.,BB、,

AA是舉，。。，DC1,。耳，8A是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為梁=（）$,蕓二《，除=h,

/兒］CO）

44

黃=&,已知勺，Q勺成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線04的斜率為0.725,則區(qū)=（）

28.（2022秋?陜西咸陽?高二?？茧A段練習(xí)）《張邱建算經(jīng)》記載了這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減

半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的路程是前一天的一半，連續(xù)走了

7天，共走了700里”.在上述問題中，此馬第二天所走的路程大約為（）

A.170里B.180里C.185里D.176里

29.（2022秋?廣東廣州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的三角彩叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)

的倒數(shù)組成，第〃行有〃個數(shù)且兩端的數(shù)均為』（〃22）,每個數(shù)是它下一行左右相鄰的兩數(shù)的和，如

n

：=：+：，!=!+），!=：+上...?則第8行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）

1222363412

1

T

11

22

111

363

1XJI1

412124

A.-LB.L1

D.

280168140105

二、多選題

30.(2022秋?江蘇南通?高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí))朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的

《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如卜.問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初口差六十

四人，次FI轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，

從第二天開始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤壩的每人每天發(fā)放大米3升.”則卜列結(jié)論正確的有()

A.將這1864人派譴完需要16天

B.第十天派往筑堤的人數(shù)為134

C.官府前6天共發(fā)放1467升大米

D.官府前6天比后6天少發(fā)放1260升大米

31.(2022秋?山西太原?高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)校考階段練習(xí))若正整數(shù)”"只有1為公約數(shù)，則稱相，

〃互質(zhì)，對于正整數(shù)七/(&)是不大于左的正整數(shù)中與女互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)尹Qk)以其首名研究者歐

拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：。(2)=1,夕(3)=2,奴6)=2,0(8)=4.已知歐拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如

果加，〃互質(zhì)，那么曬"”?)=以〃。/(〃)，例如：夕(6)=奴2)以3),則()

A.d5)=以8)

B.數(shù)列例2")｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛0(6)｝不是遞增數(shù)列

D.數(shù)列云斗的前〃項和小于|

32.(2022?全國?高三專題練習(xí))我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：”今有良馬和鴛馬發(fā)

長安至齊，良馬初日行一百九十三里，日增十三里；駕馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)還迎

弩馬，九日后二馬相逢.”其大意為今有良馬和野馬從長安出發(fā)到齊國，良馬第一天走193里，以后每天比前

一天多走13里；駕馬第一天走97里，以后每天比前一天少走（）.5里.良馬先到齊國，再返回迎接駕馬，9天

后兩馬相遇.下列結(jié)論正確的是（）

A.長安與齊國兩地相距1530里

B.3天后，兩馬之間的距離為328.5里

C.良馬從第6天開始返回迎接鴛馬

D.8天后，兩馬之間的距離為377.5里

33.（2022?湖南長沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）將〃2個數(shù)排成〃行〃列的一個數(shù)陣如圖：該數(shù)陣第

一列的〃個數(shù)從上到卜構(gòu)成以加為公差的等差數(shù)列，每一行的〃個數(shù)從左到右構(gòu)成以機(jī)為公比的等比數(shù)列

（其中機(jī)＞（））.已知%=2,%=%+1，記這〃2個數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有（）

卬%小

ai\a22a23

。31。32。33

%/3

nw103x3*+5

A.rn=3B-”弒=---T

bl-

C.%=（31）x3，D.S=4、+八,

34.（2022秋?福建福州?高二校聯(lián)考期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這

樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,L.該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為1,從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都

等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列｛6｝稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將｛6｝中的各項除以4

所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為｛M“｝,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.M2022=1

B.%〃-2=%1+2%“-5（〃之1，〃6?）

C.k+6+嚀+-+^21=^02也022

D.F]+F2+F3+???+F202]=F2a22-1

三、填空題

35.（2022?全國?高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他的著作《算盤書》中，從兔子的繁殖

問題得到一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……,這個數(shù)列稱斐波那契數(shù)列，也稱兔子數(shù)列.斐

波那契數(shù)列中的任意一個數(shù)叫斐波那契數(shù).人們研究發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)在自然界中廣泛存在，如圖所示:

■:::樸總:爻???,:??$?

啜濟(jì)’

大多數(shù)植物的花斑數(shù)、向日葵花盤內(nèi)葵花籽排列的螺線數(shù)就是斐波那契數(shù)等等，而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代

物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著直接的應(yīng)用.設(shè)斐波那契數(shù)列為｛〃“｝,其中4=%=1，有以下幾個命

題：

①%+-=6,+2（〃eN+）；

②a；+。；+a；+a：=%?%;

③4+。3+。5+,+?2021=。2022；

④=4”?％2-1（〃eN+）.

其中正確命題的序號是.

36.（2022秋?江蘇南京?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多美麗的錯誤，法國數(shù)學(xué)家費馬通過觀察計算曾

提出猜想：形如工=2尸+1（〃=01,2,..）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是費馬素數(shù)猜想.半個世紀(jì)后善于發(fā)現(xiàn)的歐拉算

出第5個費馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而否定了這一種猜想.現(xiàn)設(shè)：4=，汨。82（6-1）（〃=1，2,3「?），川為常數(shù)，5.

表示數(shù)列｛4｝的前〃項和，若$6=126,則氏=.

37.（2022秋?福建漳州?高二校聯(lián)考期中）十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契從兔了?繁殖問題中發(fā)現(xiàn)

了這樣的一列數(shù)：M23,5,8,13,…、即從第三項開始,每一項都等于它前兩項的和.后人為了紀(jì)念他，就把這列數(shù)

稱為“斐波那契''數(shù)歹U.已知數(shù)列｛（｝為“斐波那契”數(shù)列，數(shù)列｛%｝的前〃項和為5.，若52021=〃?，則?2023=

（用含「的式子表示）.

38.（2022春?遼寧沈陽?高一沈陽市第一一。中學(xué)?？茧A段練習(xí)）表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩“，其特點是

每行每列都成等差數(shù)列，記第"亍第/列的數(shù)為&八則。7.8=，表中的數(shù)2021共出現(xiàn)次.

234567???

35791113?.?

4710131619???

5913172125???

61116212631?..

71319253137???

?????????????????????

39.(2022?江蘇南京?高三金陵中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試)龍曲線是由一條單位線段開始，按下面的煩則畫成的圖

形：將前一代的每一條折線段都作為這一代的等腰直角三角形的斜邊，依次畫出所有直角三角形的兩段，

使得所畫的相鄰兩線段永遠(yuǎn)垂直(即所畫的直角三角形在前一代曲線的左右兩邊交替出現(xiàn)).例如第一代龍

曲線(圖1)是以A4為斜邊畫出等腰直角三角形的直角邊A4、人人所得的折線圖，圖2、圖3依次為第

二代、第三代龍曲線(虛線即為前一代龍曲線).4、&、A.I為第一代龍曲線的頂點，設(shè)第〃代龍曲線的頂

點數(shù)為4,，由圖可知6=3,a2=5,q=9,則&=的前〃項和S.

圖3

40.(2022?陜西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)我國古代數(shù)學(xué)家已經(jīng)會借助三角數(shù)表來計算二階等差數(shù)列的和，例如計算

1+(1+2)+(1+2+3),把第一個數(shù)表逆時針旋轉(zhuǎn)兩次，得到后兩個數(shù)表，再把3個數(shù)表疊在一起，每一個位置

的和都是5,所以1+(1+2)+(1+2+3)=學(xué)Sx6，我們使用類似的想法計算:

1+(1+2)+(1+2+3)++(1+2+3+4++12),三個數(shù)表疊加之后每一個位置的和都是;推廣可得

1+(1+2)+(1+2+3)++(1+2+3+4++〃)的求和公式工=

41.(2022?全國?高三專題練習(xí))歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學(xué)思想方法，對時代的進(jìn)步起

了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，1,1,2,3,5,

8,13,21,34,…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和.后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列

稱為“斐波那契數(shù)列”，現(xiàn)有與斐波那契數(shù)列性質(zhì)類似的數(shù)列｛g｝滿足：％=2,。4=10,且-=%+《，

（〃eAT）,記數(shù)列｛〃；｝的前〃項和為S”，若S.=2852,貝ij〃=.

42.（2022?全國?高三專題練習(xí)）“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今

有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書

九章》大衍求一術(shù)中給出的.大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理“）是中國古算中最有獨創(chuàng)性的成就之一，

屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問胭.已知問題中，一個數(shù)被3除余2,被5除余3,被7除余2,則在不超過

2022的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為.

43.（2022春?山東口照?高二校聯(lián)考期中）“康托爾塵埃”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，

其過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成9個邊長為g的小正方形，保留靠角的4個小正

方形，記4個小正方形面積之和為，：然后，將剩余的4個小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠知的4

個小正方形，記16個小正方形面積之和為S?；…；操作過程不斷進(jìn)行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康

17

托爾塵埃.若S+s?+則操作次數(shù)〃的最小值為.

44.（2022?全國?高三專題練習(xí)）提去斯一波得定則是關(guān)于太陽系中行星凱道的一個簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它

是1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維?提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)

列｛〃”｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太陽系第〃顆行星與太陽的平均距離（以天文

單位A.U.為單位）.現(xiàn)將數(shù)列｛〃“｝的各項乘以10后再減4得數(shù)列｛4｝,可以發(fā)現(xiàn)低｝從第3項起，每?項

是前一項的2倍，則"=,。儂2=.

45.（2022秋?遼寧撫順?高三校聯(lián)考期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,此定理講的是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)

將正自然數(shù)中，能被3除余1且被2除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛〃.｝,則內(nèi)廣

46.（2022秋?內(nèi)蒙占呼和浩特?高三呼市二中校考階段練習(xí)）1934年，東印度（今孟加拉國）學(xué)者森德拉姆

（Sundaram）發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子如下圖，則其第10行第11列的數(shù)為.

4710B16…

101724313K…

1322314049…

16273g4960…

?????????

47.（2022秋?江蘇連云港?高二期木）我國古代用詩歌形式提出的一個數(shù)列問題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向

下成倍增，共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈？通過計算可知，塔頂?shù)臒魯?shù)為.

48.（2022?全國?高三專題練習(xí)）“一尺之梗，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子?天下》，其中蘊

含著等比數(shù)列的相關(guān)知識.已知長度為4的線段48,取A8的中點C,以4C為邊作等邊三角形（如圖①）,

該等邊三角形的面積為在圖①中取C8的中點G，以CG為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的

等邊三角形的面積之和為另，以此類推，則；標(biāo)產(chǎn).

49.（2022秋?湖北襄陽?高二?？茧A段練習(xí)）如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫（"V.QM）在1904年構(gòu)造的能夠描述雪

花形狀的圖案.圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊

分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花狀的曲線.

設(shè)原三角形（圖1）的邊長為1,把圖1,圖2,圖3,L中的圖形依次記為A/?，L,M“，L,

則人的邊數(shù),此所圍成的面積，=.

四、解答題

50.（2023秋?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末）我國南宋時期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》

一刊中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律.此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”.在此圖中，從

第三行開始，首尾兩數(shù)為1,其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和.

⑴把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來的順序排列得一數(shù)列：1,3,6,1(),15,寫出明與

6_(〃wN',〃22)的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)2=3?證明：4+仇+々+，.+勿<2.

51.(2022?全國?高三專題練習(xí))2022北京冬奧會開幕式上，每個代表團(tuán)都擁有一朵專屬的“小雪花”，最終

融合成一朵''大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界！(如圖一)，如圖二是瑞典數(shù)學(xué)家科赫

在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是從一個正三角形開始，把每條邊分成三等分，然

后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一個“雪花”狀的

圖案.設(shè)原正三角形(圖①)的邊長為3,把圖二中的①，②，③，④，……圖形的周長依次記為生，

%，%，…，得到數(shù)列｛4｝.

圖

怪一

⑴直接寫出。2，4的值；

⑵求數(shù)列｛〃”｝的通項公式.

專題07數(shù)列專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）《周健.算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨

水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和

為二丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種目影長為（一丈=十尺=一白寸）（）.

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

【答案】B

【分析】十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成一個等差數(shù)列｛4｝,利用等差數(shù)列通項公式、前〃項和公式列出方程組，求

出首項和公差，由此能求出芒種日影長.

【詳解】由題意知：

???從冬至日起，依次小寒、大寒等十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成一個等差數(shù)列｛4｝,設(shè)公差為"，

???冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，

%+a4+。7=3q+9d=315

?,—9x8，解得6=135,J=-1O,

S9=9q+-^―a=855

???芒種日影長為%=4+1ld=135-llxl0=25（寸）=2尺5寸.

故選：B

2.（2022秋?陜西咸陽?高二武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫，現(xiàn)

為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之?.某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成?幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計算，從第二層開

始，每層浮雕像的個數(shù)依次是下層個數(shù)的2倍，且第三層與第二層浮雕像個數(shù)的差是16,則該洞窟的浮雕像

的總個數(shù)為（）

A.1016B.512C.128D.1024

【答案】A

【分析】設(shè)從上到下第〃?〃<7）層的浮雕像個數(shù)為應(yīng)，分析可知數(shù)列血｝為等比數(shù)列，且公比為2,

根據(jù)己知條件求出《的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)從上到下第〃（〃€此1。47）層的浮雕像個數(shù)為〃“，

由題意可知，數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，且該數(shù)列的公比為2,

由已知可得%-4=2%-%=16,可得％=16,故4=B=8,

乙

因此，該洞窟的浮賬像的總個數(shù)為也—」=8xl27=1016.

1-2

故選：A.

3.（2022秋?廣東廣州?高二華南師大附中?？茧A段練習(xí)）《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書

中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的;是較小

的兩份之和，則最小的一份為（）

A.5B.10C.15D.30

【答案】B

【分析】設(shè)五個人所分得的面包為。-2d,a-d,。，〃+d,a+2d,（其中d>0）,則由總和為100可求

得〃=20,再由較大的三份之和的;是較小的兩份之和，可得1%=3〃，從而可求出d,進(jìn)而可求出2d

【詳解】設(shè)五個人所分得的面包為。-24,a-d,。，a+d,a+2d,（其中d>0）,

貝丁有（。-2d）+（a-c/）+a+（a+"）+（a+2z/）=5〃=100,

/.a=20,

由a+a-^-d+a+2d=3（a-2d+a-d）,得3a+3t/=3（2?-3d）；

12J=3cl,

d=5.

，最少的一份為a-2d=20—10=1（）.

故選：B

4.（2022?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預(yù)測）位于叢臺公園內(nèi)的武靈叢臺已經(jīng)成為邯鄲這座三千年古城的地標(biāo)建筑,

叢臺上層建有據(jù)勝亭，其頂部結(jié)構(gòu)的一個側(cè)面中，自上而下第一層有2塊筒瓦，以下每一層均比上一層多2

塊筒瓦，如果側(cè)面共有11層筒瓦且頂部4個側(cè)面結(jié)構(gòu)完全相同，頂部結(jié)構(gòu)共有多少塊筒瓦？（）

A.440B.484C.528D.572

【答案】c

【分析】由題意知每層筒瓦數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列幾｝,由等差數(shù)列求和公式可求得每一面的簡瓦總數(shù)，由此可

得四個側(cè)面筒瓦總數(shù).

【詳解】??一個側(cè)面中，第一層筒瓦數(shù)記為2,自上而下，由于下面每一層比上一層多2塊筒瓦，

每層筒瓦數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列也｝,其中4=2,d=2.

■,一個側(cè)面中共有II層筒瓦，,一個側(cè)面筒瓦總數(shù)是11x2+"7）x2=132,

2

?.?頂層四個側(cè)面簡瓦數(shù)總和為132x4=528.

故選：C.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖1,洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國家級

非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中

的九宮格，將自然數(shù)1,2,3,…，〃，放置在〃行〃列（，后3）的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對角

線上的數(shù)字之和（簡稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“階幻方洛書就是一個3階幻方，其

“幻和”為15.則7階幻方的“幻和”為（）

?洛

五

次

輪

一

六

坤

兌

一

匕

震

?：

共

1八4

四

黑

中

九

圖1圖2

A.91B.169C.175D.180

【答案】C

【分析】根據(jù)“幻和”的定義，將自然數(shù)1至〃2累加除以〃即可得結(jié)果.

【詳解】由題意，7階幻方各行列和，即“幻和”為——片上=175.

故選:C

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)

等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的：％=%=1，

2222

a”=a“T+a“-2（〃N3,〃€N）已知）十）+可+?+%是該數(shù)列的第100項，則片（）

A.98B.99

C.100D.101

【答案】B

【分析】根據(jù)題意推出4'=%，ai=。2。3-出4，L,a：=%小+1--Ml，

陽

利用累加法可得=/心”，即可求出機(jī)的值.

r=1

（詳解】由題意得，4；=a2at,因為an_x=an-an_2,

得a2=a式％-q）=a2a3-%%,

a；=%（4-a2）=-a3a2,

L.

一&一）二q/〃加一品4-i，

累加，得—+…+%2=《MT，

因為外+生2++%；是該數(shù)列的第io。項，

%

即％川是該數(shù)列的第100項，所以加=99.

故選：B.

7.（2022春?河南南陽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下的視圖所示

的幾何體，后人稱之為“三角垛其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第50層

球的個數(shù)為（）

巍

A.1255