2024版高考數(shù)學二輪復習：解析幾何問題的方法技巧

第一篇核心專題提升?多維突破專題五解析幾何微專題解析幾何問題的方法技巧解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標系中，用方程的觀點來研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至會中止解題的過程，達到“望題興嘆”的地步．特別是高考過程中，在規(guī)定的時間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務，計算能力是一個重要的方面．因此，本講從以下5個方面探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程，達到快準解題．技法一回歸定義回歸定義的實質(zhì)是重新審視概念，并用相應的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策略和思想方法．圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲線問題的出發(fā)點，又是新知識、新思維的生長點．對于相關(guān)的圓錐曲線中的數(shù)學問題，若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應用定義，往往能達到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果．典例1D【微點撥】本題巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立|AF1|，|AF2|的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實半軸長a的值，進而求出雙曲線的離心率，大大降低了運算量．加固訓練B技法二設而不求設而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應用．設而不求的靈魂是通過科學的手段使運算量最大限度地減少，通過設出相應的參數(shù)，利用題設條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡，設而不求．

(2023·石家莊質(zhì)檢)已知P是圓C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一動點，過點P作拋物線x2＝8y的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB斜率的最大值為(

)典例2【解題欣賞】

由題意可知，PA，PB的斜率都存在，分別設為k1，k2，切點A(x1，y1)，B(x2，y2)，設P(m，n)，過點P的拋物線的切線為yB【微點撥】(1)本題設出A，B兩點的坐標，卻不求出A，B兩點的坐標，巧妙地利用根與系數(shù)的關(guān)系用PA，PB的斜率把A，B的坐標表示出來，從而快速解決問題．(2)在運用圓錐曲線問題中設而不求的方法技巧時，需要做到：①凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“設而不求”；②“設而不求”不可避免地要設參、消參，而設參的原則是宜少不宜多．加固訓練技法三巧設參數(shù)換元引參是一種重要的數(shù)學方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參使一些關(guān)系能夠相互聯(lián)系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達到事半功倍．常見的參數(shù)可以選擇點的坐標、直線的斜率、直線的傾斜角等．在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴大或縮小原來變量的取值范圍或改變原題條件．典例3【微點撥】求解本題利用橢圓的參數(shù)方程，可快速建立各點之間的聯(lián)系，降低運算量．加固訓練4.設直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，與圓C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于點M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，求r的取值范圍．【解析】

當t＝0時，若l與圓C相切，則M恰為AB中點，∴當t≠0時，這樣的直線應有2條．不妨設直線l的方程為x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入拋物線y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，則有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，技法四妙借向量平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)”與“形”，融數(shù)、形于一體，是數(shù)形結(jié)合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學知識的一個交匯點和聯(lián)系多項知識的媒介．妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運算效率，達到良好效果．典例4【微點撥】本題通過相關(guān)向量坐標的確定，結(jié)合∠BFC＝90°，巧妙借助平面向量的坐標運算來轉(zhuǎn)化圓錐曲線中的相關(guān)問題，從形入手轉(zhuǎn)化為相應數(shù)的形式，簡化運算．加固訓練5.已知點A為圓B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一點，定點C的坐標為(2,0)，線段AC的垂直平分線交AB于點M.技法五巧用“韋達”某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方