復試現(xiàn)代控制課件

第一章

前

言主講人：屈勝利1.課程任務：本課程的任務是使學生掌握線性控制系統(tǒng)狀態(tài)空間方法的基本概念、基本分析和設計方法，以及掌握抗外擾魯棒控制器設計和最優(yōu)控制的基本理論，為更深入的學習現(xiàn)代控制策略和研究各種自動控制系統(tǒng)打下理論基礎。2.課程定位：專業(yè)基礎課。二、三十年前，可以定位為專業(yè)課。第一章前言2“現(xiàn)代控制理論”是一門理論性和實踐性都很強的課程。理論性強，指的是其概念多、抽象，理論分析和數(shù)學計算比重大，理解有一定難度。實踐性強，指的是其涉及數(shù)學、物理、電子、電機、機械等多個學科領域，涉及各類實際工程系統(tǒng)的控制問題。為了研究多學科不同控制系統(tǒng)的一般性規(guī)律，就要求學生具有一定的抽象思維和邏輯組織能力，需要學生有較好的數(shù)理素養(yǎng)。3.教學思想、教學內容優(yōu)化及教學方式研究第一章前言3在課程講授過程中，若不注重授課方式的改進，就會讓學生感覺似乎在學一門“數(shù)學”課，跳不出抽象的理論框架，不知道如何把該課程的理論知識應用于工程實踐中，那么，這門課程的講授就是失敗的。因此，在授課過程中，要求教師全課程加強“概念與說理”，這是培養(yǎng)學生理解現(xiàn)代控制理論、掌握扎實基礎理論、思維清晰，從而能夠將其應用于工程實踐的關鍵。這是總的教學思想。簡而言之，就是要學懂。第一章前言4加強對控制歷史、控制范圍、先進的控制方法方面的介紹，開闊學生的視野。讓學生清楚地認識到控制不是萬能的，控制不是想做多好就能做多好，它會受到很多限制，必修弄清限制的因素。在授課過程中，對于難以理解的數(shù)學推導不僅介紹推導思路，更注重數(shù)學推導結論的應用，使復雜問題簡單化，突出控制理論的工程應用背景，強調控制理論的實踐性，注重培養(yǎng)學生的工程意識。采用仿真手段，既降低控制理論的抽象性，增強該課程的直觀性。結合科研和工程實踐，通過一些合適的工程實例，及工程實際控制系統(tǒng)運行的視頻，增強學生對知識和概念的理解和掌握，清楚地看到“控制”的運用和效果，擴大視野，加強學生對控制系統(tǒng)的感性認識,激發(fā)學生進一步探索控制系統(tǒng)設計方法和分析方法的動力。第一章前言5斯坦福大學凱拉斯（Kalath）的前言：在物理學、數(shù)學、工程學以及其他許多學術領域中，人們從各種不同的角度出發(fā)，對線性系統(tǒng)已經(jīng)進行了長時期的研究。但由于這個課題是那樣的基本和如此的深刻，所以毫無疑問，在今后一個可以預見的長時間里，線性系統(tǒng)仍將是人們繼續(xù)研究的對象。近代工程學研究側重于有限維線性系統(tǒng)的結構。因此，這也是本課程的中心內容。為什么側重于有限維線性系統(tǒng)，道理何在？第一章前言6從三十年代初期以來，雖然人們已對這類有限維線性系統(tǒng)進行了廣泛的研究，幾乎所有的這種工作都是針對單輸入—單獨出(即標量，SISO)系統(tǒng)的，還沒有滿意地擴展到多輸入—多輸出(即多變量，MIMO)系統(tǒng)。但后者到了五十年代后期，在航空航天、過程控制和計量經(jīng)濟學等的應用中，已開始日益顯得重要。這一事實，再加上航空航天問題中的時變系統(tǒng)和時域特性的重要性，于是在貝爾曼(Bellman)和卡爾曼（Kalman）兩人工作的鼓舞下，又重新激起了人們對線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述方法的興趣。這種狀態(tài)空間描述方法自然導致更加詳細地考察有限維線性系統(tǒng)(或通常所說的線性動力學系統(tǒng))的結構，并且必然引出冗余度、最小性、能控性和能觀測性等等概念問題。關于1960年前后的情況，在系統(tǒng)設計和反饋補償方面包括極點配置的控制器、二次型調節(jié)器綜合、狀態(tài)觀測器和估計器，狀態(tài)空間表示法都提出了若干新的建議。

第一章前言7正當人們剛剛把狀態(tài)空間描述方法編入教科書的時候，波波夫(Popov)和羅森布羅克(Rosenbrook)就及時地指明了在標量有理傳遞函數(shù)的概念中，有哪些能自然地推廣到矩陣傳遞函效和多變量系統(tǒng)，以及如何容易用這些概念來提出問題和解決問題。從那時起這些概念又由幾個研究工作者有效地繼續(xù)進行了研究。多變量頻域方法。第一章前言8本課程從標量(單輸入—單輸出)系統(tǒng)著手引出狀態(tài)空間實現(xiàn)、內部和外部描述、能控性和能觀測性等概念以及這些概念在最小實現(xiàn)、狀態(tài)反饋控制器和觀測器等中的應用。與此同時，還把這些狀態(tài)空間結果和更為經(jīng)典的傳遞函數(shù)概念進行比較，并逐步樹立起這樣一種認識：只要細心地使用傳遞函數(shù)描述，而無需依靠狀態(tài)變量、能控性或能觀性等概念，也能得到與狀態(tài)空間結果相等價的結果。然后，非常快地向多變量系統(tǒng)過渡，為學生在線性系統(tǒng)理論起重要作用的領域里進行新的研究和應用作好準備。這些新的研究領域有：信號檢測和估計、系統(tǒng)辨識、過程控制、數(shù)字濾波和通訊系統(tǒng)，一般地論就是廣泛而激動人心的信號處理領域。第一章前言9為了真正發(fā)揮狀態(tài)空間法的效力，還必須具備更探一些的知識?，F(xiàn)有的許多教科書的體系都側重于微分方程和線性代數(shù)方面的基礎數(shù)學，而對系統(tǒng)理論所特有的那些概念的工程意義和應用卻注意不夠，例如這些教科書過多地把注意力集中在約當(Jordan)標準形、各種計算矩陣指數(shù)的方法以及能控性和能觀測性的種種定義上。所有這些方面的數(shù)學問題早巳十分清楚了，但這些教科書實質上都沒有闡明，這些數(shù)學為什么對工程師或數(shù)學家都是那么有用的。第一章前言10最先向我們深刻表明能控性和能觀性等概念的重要性，就是能控性在對線性時不變（LTI）系統(tǒng)極點移動（配置）問題中所起的作用，以及能觀測性在漸近觀測器設計中所起的作用。隨后，這些概念在為二次型調節(jié)器和最優(yōu)濾波器提供穩(wěn)定性結論中所起的作用。這種穩(wěn)定性的意義在于計算中的數(shù)值誤差效應(例如，舍入誤差)不會發(fā)生累積，也不會使計算失效，這顯然是十分重要的需要實際考慮的問題。在求解某些最優(yōu)控制和估計問題的存在性和唯一性條件時，作為必然的技術條件，能控性和能觀性首先提了出來，這早已是十分清楚的了。稍后不久卡爾曼借助于某些理想化問題把能控性和能觀測性分離開來，并對它們下了定義，由于多方面的原因，這些極念就逐漸在許多論述中受到了過分的重視。第一章前言11此外當通過把狀態(tài)空間觀點用于各種檢測、估計和控制問題，從而對它開始有了更好的了解的時候，羅森布羅克以他的開創(chuàng)而廣泛的研究，其后還有波波夫、福尼(Forney)、沃洛維奇(Wolovich)和其他一些人，闡明了傳遞函數(shù)的威力，并指明了通過更好地理解傳遞函數(shù)法和狀態(tài)空間法兩者之間的關系所帶來的裨益。本課程打算對線性系統(tǒng)理論中這些有效的、強有力的觀點做一綜合研究，這樣的綜合研究工作的優(yōu)越性早已在各個方面顯現(xiàn)出來，因此相信利用它還能做出更多的成績。第一章前言12在傳統(tǒng)的大多數(shù)教科書里，一個得意的課題是狀態(tài)空間方程的時域解。這是一個有趣的課題，它能滿意地依靠先前的線性微分方程知識加以解決。不過，學生在掌握這部分內容的過程中所達到的見解卻多少有點兒錯覺。首先，如果的確需要求解某些方程，那么完全可用為此目的編制的幾個簡便有效的計算機程序。但是應該要求學生“理解”正在計算的是什么東西。的確，這種理解除了來源于數(shù)值分析、系統(tǒng)仿真外，絕不會來源于線性系統(tǒng)課程中所學到的那些漂亮而特殊的數(shù)學。實際上，許多能用狀態(tài)空間方程處理的問題并不真正需要狀態(tài)方程的顯式時域解。為什么？另一放面，一個給定系統(tǒng)方程組(或傳遞函數(shù))的顯式實現(xiàn)概念能最有力地幫助人們理解和使用線性系統(tǒng)。第一章前言13在學習本學科并試圖得知什么樣的觀點是有生命力的，什么樣的觀點是短暫即逝的時候，我從追溯原始資料中得到了很大的幫助。因為，正如伍德豪斯(Woodhouse)于18l0年在他的第一本關于變分學的英文書中所指出的那樣：“一般地講，那些在學科初創(chuàng)階段進行寫作的作者是最富有啟發(fā)性的。他們最能帶領讀者和他們一道前進，向讀者講明實質性的難點，更重要的是用他們自己學習本學科的方法，將這個課題的內容和方法傳授給讀者?！彼?，根據(jù)上述這些注釋，我通常要做特別的努力來指出有關各種概念的最早論文以鼓勵有積極性的讀者去獨立地鉆研它們。第一章前言14努力使證明盡可能地簡單和直觀。不可能有那種線性代數(shù)(事實上也是任何數(shù)學科目)課程或教科書，能作為工程課程的理想的或完全的預備知識——沒有任何東西能代替經(jīng)過自己充分努力才能弄清楚的事情。更加重要的是，學生可由此預測自己在試圖解決今后工作中可能碰到的具體問題時，挑選和學習有關某個具體數(shù)學課題的能力?，F(xiàn)代工程問題所用的數(shù)學范圍是如此廣泛，為了獲取“預備知識”，人們可能要耗費他的全部時間，這主要是因為與冒險(那怕只有一點點)涉及某個意義不太明確的領域相比，研究非常確切的內容要省時間很多。第一章前言15因此，盡力把數(shù)學概念從屬于系統(tǒng)概念。若要沿著十分有趣但終究還是非常無益的數(shù)學方向來引導讀者，那實在太容易了，但遺憾地這的確也太平庸了。我的目的不是闡述或發(fā)展“數(shù)學式”的系統(tǒng)理論，而是致力于適當引進和使用盡可能少的數(shù)學來考察系統(tǒng)理論的某些基本概念。數(shù)學的目的在于發(fā)現(xiàn)，而不在于‘證明’。或許用另外一種方式來說明這個論點：我屬于這樣的學派，它把概念和說理看得比單純的結論更為重要。第一章前言16還應當提醒讀者，由于知識上不完善的限制、非數(shù)學的性能指標、經(jīng)濟條件的約束和靈活的可接受準則等等原因，會不可避免地使實際問題帶上一定的含糊性。所以，任何理論的十分明確而具體的數(shù)學問題的答案，對于任何工程問題的實際“解決”，畢竟只能起“指南”的作用。不幸得很，這種差別的確不可能由一本教科書來表述，這也說明為什么絕不可能用一本書或一個計算機程序來代替那些好的教師或工程師。第一章前言17側重于討論式和啟發(fā)式而不強調形式推導．幾個主要論題是按螺旋方式逐步展開的。因此，讀者不應在課題首次提出時，就期望回答所有的問題．學生們將會發(fā)現(xiàn)，當他們從課程的各個方面對主要概念、結果和相互聯(lián)系有了體會時，若隨時把它們組成一些自用表格和圖表，那將是很有幫助的．在學習上任何有成效的努力，都必然會不斷地引起技能和知識之間的相互作用。一個科學的學科不是“知識碎片的堆積和技能的堆積”，而是“這些技能必須能深化知認同時這個知識又必須能改進技能”。所以，為了真正了解一門學科，人們總要通過自己的基礎和其他知識，對指定的任何一本書籍或一門課程的內容，進行個人的選擇和再綜合。我的希望在于，本書能為通過自學和(或)課堂講授這樣的教育經(jīng)歷提供足夠的內容和機會。第一章前言18所有這一切—都是獻給您的，“親愛的讀者”我希望撰寫一本“書”，它正是您渴望通曉的，這對我有何益處，如果您不能讀懂它不過，您得頑強地試試——凱拉斯加利福尼亞州，斯坦福第一章前言19課程主要內容：1．控制系統(tǒng)簡介 2學時系統(tǒng)、環(huán)境、不確定性、模型、控制和自動控制；控制系統(tǒng)舉例；控制理論基本任務；控制系統(tǒng)中的信號模型和性能指標；控制的多樣性（歷史、現(xiàn)狀和趨勢）；

本課概貌。2系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述及線性系統(tǒng)的運動分析： 6學時系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述；非線性系統(tǒng)線性化；輸入-輸出描述與狀態(tài)空間描述的相互轉換；線性系統(tǒng)的坐標變換；組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程與傳遞矩陣；線性定常系統(tǒng)的運動分析；線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣及脈沖響應矩陣；線性離散時間系統(tǒng)及其運動分析。第一章前言203線性系統(tǒng)的結構分析 10學時線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能控性、能觀性；線性離散時間系統(tǒng)的能控性和能觀性；對偶原理；能控性、能觀性與傳遞矩陣的關系；SISO系統(tǒng)能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型，MIMO系統(tǒng)能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型；線性系統(tǒng)的結構分解。4傳遞矩陣的狀態(tài)空間實現(xiàn)4學時實現(xiàn)問題的基本概念；傳遞矩陣的能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型實現(xiàn)；最小實現(xiàn)及其特性；多變量系統(tǒng)最小實現(xiàn)的求法。5穩(wěn)定性理論6學時外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性；Liyapunov穩(wěn)定性理論；線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)；非線性系統(tǒng)的線性化及有關結果；Liyapunov直接法在線性定常系統(tǒng)中的應用。第一章前言216線性反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間綜合8學時常用的反饋結構及其對系統(tǒng)特性的影響；SISO和MIMO系統(tǒng)的極點配置；一種魯棒控制器設計；系統(tǒng)解耦；狀態(tài)觀測器。7采樣控制系統(tǒng) 2學時采樣控制系統(tǒng)基本概念；采樣系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析；穩(wěn)定性分析；能控性、能達性、能觀性、能構造性；離散時間系統(tǒng)的Liyapunov穩(wěn)定性判據(jù)；連續(xù)系統(tǒng)離散化后能控能觀性的保持。8最優(yōu)控制 6學時最優(yōu)控制的基本理論：古典變分法、極小值原理、動態(tài)規(guī)劃及最優(yōu)線性控制系統(tǒng)設計等。

9上機大作業(yè)

4學時第一章前言22最終成績由平時作業(yè)成績、期末考試成績及上機大作業(yè)成績組成。各部分所占比例如下：平時作業(yè)成績：10%。主要考核對每堂課知識點的復習、理解和掌握程度。期末考試成績：80%。主要考核對基本概念、原理及主要方法的掌握程度。題型為：選擇題、填空題、問答題、證明題和計算題等。上機大作業(yè)成績：10%。主要考核學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力以及文字表達能力，并熟悉仿真軟件。第一章前言23第一篇線性系統(tǒng)分析和綜合

主講人：屈勝利

狀態(tài)空間與狀態(tài)方程的基本概念

由狀態(tài)方程到傳遞矩陣的數(shù)學模型轉換

由傳遞矩陣到狀態(tài)方程的數(shù)學模型轉換

狀態(tài)方程的求解

系統(tǒng)的能控性

系統(tǒng)的能觀性

系統(tǒng)結構分析

李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

狀態(tài)反饋

狀態(tài)觀測器第二章狀態(tài)空間分析法25主要內容：第二章狀態(tài)空間分析法26第二章狀態(tài)空間分析法2.1基本概念

60s'以前,研究自動控制系統(tǒng)的傳統(tǒng)方法主要使用傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)的數(shù)學描述,研究對象是SISO系統(tǒng)，這樣建立起來的理論就是現(xiàn)在所說的“古典控制理論”。隨著宇航和生產(chǎn)技術的發(fā)展及電子計算機的出現(xiàn),控制系統(tǒng)日漸復雜（MIMO，時變，不確定，耦合，大規(guī)模）,傳統(tǒng)的研究方法難以適應新的形勢。在50s'后期,Bellman等人提議使用狀態(tài)變量法,即狀態(tài)空間法來描述系統(tǒng),時至今日,這種方法已成為現(xiàn)代控制理論的基本模型和數(shù)學工具。第二章狀態(tài)空間分析法27狀態(tài)空間法的優(yōu)點1、適用面廣：適用于MIMO、時變、非線性、隨機、采樣等各種各樣的系統(tǒng),而經(jīng)典法主要適用于線性定常的SISO系統(tǒng)。2、簡化描述，便于計算機處理：可將一階微分方程組寫成向量矩陣方程,因而簡化數(shù)學符號,方便推導,并很適合于計算機的處理,而古典法是拉氏變換法，用計算機不太好處理。3、內部描述：不僅清楚表明I-O關系,還精確揭示了系統(tǒng)內部有關變量及初始條件同輸出的關系。4、先進（新型）控制策略：如自適應控制、最優(yōu)控制、MPC、VSC、狀態(tài)反饋線性化等。

上述優(yōu)點便使現(xiàn)代控制理論獲得了廣泛應用，尤其在空間技術方面還有極大成功。第二章狀態(tài)空間分析法28狀態(tài)空間法的缺點:

第二章狀態(tài)空間分析法29

綜上,現(xiàn)代控制理論并不能完全取代經(jīng)典法，而是各有長短，互相補充。目前國外工業(yè)控制中，90％是PID控制器。

在現(xiàn)代控制理論中，可控性、可觀性和穩(wěn)定性是系統(tǒng)的三個重要屬性和基本概念。1、不直觀，幾何、物理意義不明顯：不像經(jīng)典法那樣,能用Bode圖及根軌跡進行直觀的描述。對于簡單問題,顯得有點煩瑣。2、對數(shù)學模型要求很高：而實際中往往難以獲得高精度的模型,這妨礙了它的推廣和應用。―――繼續(xù)發(fā)展：魯棒控制、不確定系統(tǒng)控制理論。2.2狀態(tài)空間與狀態(tài)方程

(1)系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)時域行為或運動信息的集合，即系統(tǒng)的狀況，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)。比如，直線運動中的位置、速度是其運動狀況；電路網(wǎng)絡中的回路電流、節(jié)點電壓是其運動狀況。Astrom：Thestateofadynamicalsystemisacollectionofvariablesthatpermitspredictionofthefuturedevelopmentofasystem.Itisthereforeverynaturaltobasecontrolonthestate.第二章狀態(tài)空間分析法301．狀態(tài)空間與狀態(tài)方程的有關概念和定義能完全確定（或代表）系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量,稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。這意味著狀態(tài)變量可以完全表征（描述、刻畫）系統(tǒng)的狀況。即狀態(tài)需要用變量來表示。(2)狀態(tài)變量第二章狀態(tài)空間分析法31思考題1：“完全確定（或代表）系統(tǒng)狀態(tài)”，是什么意思？

第二章狀態(tài)空間分析法32(3)狀態(tài)向量第二章狀態(tài)空間分析法33設一系統(tǒng)有n個狀態(tài)變量，則向量X(t)=稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量。(4)狀態(tài)空間第二章狀態(tài)空間分析法34狀態(tài)向量X(t)所有可能值的集合，或以狀態(tài)變量為坐標軸所形成的n維空間，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間。

線性無關。系統(tǒng)在任一時刻的狀態(tài)，可以用狀態(tài)空間中的一點來表示。(5)狀態(tài)方程描述系統(tǒng)的狀態(tài)變量與其輸入之間關系的一階微（差）分方程組，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程是一階動力學方程組，或稱一階動態(tài)方程組。第二章狀態(tài)空間分析法35(6)狀態(tài)軌線狀態(tài)向量X(t)隨時間t的增大而在狀態(tài)空間中形成的曲線，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)軌線。第二章狀態(tài)空間分析法36例2－1

試確定圖2－1所示RLC直流電路的狀態(tài)變量與狀態(tài)方程。第二章狀態(tài)空間分析法37解：由基爾霍夫電壓定律可知閉合電路的電壓降為0，得第二章狀態(tài)空間分析法381．現(xiàn)在選取回路電流和電容電荷作為狀態(tài)變量，即；輸出。則有將上面的三個方程寫成向量形式如下第二章狀態(tài)空間分析法39這就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程。原因如下：若已知

，則t時刻網(wǎng)絡中各點的電流、電壓均知道，所以

可以完全表征系統(tǒng)；又因為缺少任一

時，則不能完全表征系統(tǒng)。所以，

確實為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。第二章狀態(tài)空間分析法40判斷一組變量是否是系統(tǒng)的狀態(tài)變量：最小數(shù)目，完全表征。2.若選和為狀態(tài)變量，即

，，則有第二章狀態(tài)空間分析法41從本例可以看出，同一系統(tǒng)的狀態(tài)變量并不是唯一的。但對一個具體系統(tǒng)而言,不論如何選擇,狀態(tài)變量的數(shù)目總是相等的（等于系統(tǒng)階數(shù)，或電路中獨立的L、C數(shù)目）。2．線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的一般形式

(1)線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的一般形式為：其中：A,方陣，稱為系數(shù)（系統(tǒng)）矩陣。對于時變系統(tǒng)，對于非時變系統(tǒng)，A為常數(shù)陣。B,陣，稱為驅動或控制矩陣。對于時變系統(tǒng)，

；對于非時變系統(tǒng)，B為常數(shù)陣。U：控制作用第二章狀態(tài)空間分析法42線性系統(tǒng)的輸出方程為

其中：

為系統(tǒng)的輸出向量；

稱為輸出矩陣；

稱為直接傳遞矩陣，通常為零。第二章狀態(tài)空間分析法43思考題2：為什么是靜態(tài)方程，且為X的線性組合？

第二章狀態(tài)空間分析法44（2）系統(tǒng)框圖，如圖2-2所示。

第二章狀態(tài)空間分析法453．狀態(tài)變量的相似變換

對同一系統(tǒng)而言,可以選取不同的狀態(tài)變量,從而得到不同的動態(tài)方程。因為他們都能完全表征系統(tǒng)狀態(tài)，所以系統(tǒng)的狀態(tài)方程不是唯一的,即這些狀態(tài)向量之間存在著某種關系。若將線性代數(shù)中的坐標變換方法用于系統(tǒng)動態(tài)方程中的狀態(tài)變量變換,就可把問題一般化。第二章狀態(tài)空間分析法46對于同一個系統(tǒng)的兩個狀態(tài)向量

和

，設，其中

為非奇異方陣。則系統(tǒng)的兩組狀態(tài)方程為(2-1)(2-2)

將代入式(2-1)，并經(jīng)整理可得(2-3)第二章狀態(tài)空間分析法47式(2-2)和式(2-3)比較，得第二章狀態(tài)空間分析法48例子在實踐中,經(jīng)常選擇一些能夠測量的量(如電容電壓、電機轉速等)作為狀態(tài)變量。但是基于系統(tǒng)分析的需要,也可以選擇系統(tǒng)中一些不容易觀測的物理量(如電容電荷,電機磁通等)或不具有任何物理意義的某種數(shù)學表示(如)作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。思考題3：對同一系統(tǒng)軌線（運動）而言，相似變換的實質是什么？

換基底，換坐標系第二章狀態(tài)空間分析法492.3數(shù)學模型的轉換

系統(tǒng)數(shù)學描述的兩種基本類型系統(tǒng)的數(shù)學描述有兩種基本類型。一是反映系統(tǒng)I-O關系的外部描述，它是系統(tǒng)的不完全描述；二是反映系統(tǒng)內部狀態(tài)變量之間關系的內部描述，它是系統(tǒng)的完全描述，能完全表示系統(tǒng)的一切動態(tài)特性。以上兩種數(shù)學描述有著內在的聯(lián)系，并且可以相互轉換。思考題4：信息量一樣多嗎？第二章狀態(tài)空間分析法502.3.2由狀態(tài)方程到傳遞矩陣的數(shù)學模型的轉換

在上式中令

，并經(jīng)整理可得其中稱為線性時不變MIMO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。為矩陣，為輸入向量U的維數(shù)，為輸出向量Y的維數(shù)。第二章狀態(tài)空間分析法51的含義：Uj對Yi的影響。1．MIMO線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣G(S)：U-Y關系

對系統(tǒng)的狀態(tài)方程(2-1)式進行拉氏變換，得思5：耦合是什么意思？在此用G陣解釋其含義。思6：耦合在什么情況下可以忽略？這個問題涉及控制系統(tǒng)的能力，或者說，控制系統(tǒng)可以對付什么樣的外擾。耦合如果不能忽略，系統(tǒng)就是MIMO的；否則，可以看作多個SISO系統(tǒng)的組合。這對控制來說，復雜度、難度是不同的。第二章狀態(tài)空間分析法522．傳遞矩陣的不變性

第二章狀態(tài)空間分析法53證明：請學生當堂證明。相似變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣,即經(jīng)過線性變換

之后，系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣不變。所以，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以不同，但系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣必唯一。3．SISO線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(S)SISO系統(tǒng)的輸入-輸出均為標量函數(shù),此時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣第二章狀態(tài)空間分析法54為11標量函數(shù)。(2-4)將（2-4）式與古典控制理論定義的傳遞函數(shù)

相比，可知系統(tǒng)矩陣的行列式

與極點（特征）多項式

相對應。這表明A陣的特征值與傳遞函數(shù)的極點相等，這結論在穩(wěn)定性判別時很重要。4．閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣劉豹P40，或講義，自學。第二章狀態(tài)空間分析法552.3.3由傳遞函數(shù)到狀態(tài)方程的數(shù)學模型轉換實現(xiàn)問題：因為I－O描述是黑箱，狀態(tài)方程是白盒，所以，從I-O模型――》狀態(tài)方程，相當于對黑盒系統(tǒng)用一個白盒進行了構造，二者I-O特性相同，稱為實現(xiàn)。由傳遞函數(shù)到狀態(tài)方程的數(shù)學模型轉換，討論的是系統(tǒng)的傳遞矩陣變換到以A、B、C、D陣表征的狀態(tài)方程的問題。給定一個系統(tǒng)的傳遞矩陣,若存在一個線性常系數(shù)的狀態(tài)方程,使之具有原來的傳遞矩陣,則稱此傳遞矩陣是可實現(xiàn)的，或者說,該狀態(tài)方程是此傳遞函數(shù)的一個實現(xiàn)。第二章狀態(tài)空間分析法56思考題7：什么樣的傳遞函數(shù)是不可實現(xiàn)的？傳遞函數(shù)可以實現(xiàn)的充分必要條件是其為真有理分式。同一個傳遞函數(shù)的實現(xiàn)并不是唯一的,它具有無限多個實現(xiàn)。無限多個實現(xiàn)有兩方面的含義，一是實現(xiàn)的形式不同（比如，相似變換），二是實現(xiàn)的維數(shù)不同。傳遞函數(shù)的維數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn)。最小實現(xiàn)：維數(shù)再不能小了。第二章狀態(tài)空間分析法57設SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（有理分式標準型）第二章狀態(tài)空間分析法58(2-5)思考題8：討論傳遞函數(shù)的幾個標準型。傳遞函數(shù)有哪些標準型，用在什么場合，相互之間如何轉換？1能控標準型實現(xiàn)

將(2-5)式的分子、分母均除以

，并引入誤差傳遞函數(shù)第二章狀態(tài)空間分析法59(2-6)由式(2-5)和式(2-6)可得(2-7)式(2-6)又可寫為(2-8)將式(2-8)、(2-7)畫成模擬圖，見圖2-3所示。第二章狀態(tài)空間分析法60模擬圖的定義：系統(tǒng)的模擬圖（狀態(tài)圖）:根據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學模型來選擇運算部件,然后把這些部件合理地連接起來,使其構成的圖所對應的數(shù)學模型與該系統(tǒng)的數(shù)學模型一致，則此圖稱為系統(tǒng)的模擬圖。根據(jù)上面的模擬圖2－3可知第二章狀態(tài)空間分析法61所以，系統(tǒng)的狀態(tài)方程

的陣為：=此種排列方式的矩陣，稱為友矩陣。第二章狀態(tài)空間分析法62系統(tǒng)的輸出方程為

其中C陣為當狀態(tài)方程中的

陣具有上述形式時,把這種實現(xiàn)稱為能控標準型實現(xiàn)（I型）,記作()。注意：能控標準型實現(xiàn)中A、B陣中的元素與系統(tǒng)傳遞函數(shù)參數(shù)的關系。思考題9：A陣與極點有關系，有可能確定穩(wěn)定性？思考題10：由上面的過程，能否推論，任何傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)都是能控的？第二章狀態(tài)空間分析法63解：1、將系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母均除以

，得第二章狀態(tài)空間分析法64例2-3給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試畫出其相應的模擬圖并寫出其能控標準型實現(xiàn)的狀態(tài)方程。2、令誤差傳遞函數(shù)為即：

及第二章狀態(tài)空間分析法65(2-9)(2-10)3、由式(2-9)和式(2-10)畫出模擬圖2-4。圖2-4由圖2-4可知第二章狀態(tài)空間分析法66上面的狀態(tài)方程即為的能控標準型實現(xiàn)。作業(yè)：上例中，分子加上

。第二章狀態(tài)空間分析法672．能觀標準型的實現(xiàn)

由系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達式(2-5)式可得第二章狀態(tài)空間分析法68(2-5)(2-11)由(2-11)式畫出系統(tǒng)的模擬圖，如圖2-5所示。第二章狀態(tài)空間分析法69圖2-5由模擬圖2-5寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程見下式。所以，系統(tǒng)狀態(tài)方程

的陣為第二章狀態(tài)空間分析法70系統(tǒng)的輸出方程

，

為其中C陣為：

當系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程中的

陣具有上述形式時,稱這種實現(xiàn)為能觀標準型實現(xiàn)（II型）,記為（）系統(tǒng)能控制標準型實現(xiàn)與能觀標準型實現(xiàn)的關系為：例2-4給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

，試畫出其相應的模擬圖并寫出其能觀標準型實現(xiàn)的狀態(tài)方程。

第二章狀態(tài)空間分析法71思考題11：由上面的過程，能否推論，任何傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)都是能觀的？作業(yè)：上例中，分子加上

。第二章狀態(tài)空間分析法723．對角標準型實現(xiàn)

設系統(tǒng)具有n個互不相等的特征根

，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫為部分分式的型式第二章狀態(tài)空間分析法73其模擬圖如圖2-7所示。圖2-7因為對圖2-7中的任一慣性環(huán)節(jié)而言，有第二章狀態(tài)空間分析法74由上式可得所以，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為因為A陣為對角陣，所以上式稱為對角標準型實現(xiàn)。由圖2-7可得系統(tǒng)的輸出方程為第二章狀態(tài)空間分析法75思考題12：狀態(tài)之間相互解耦了？解耦，就是互不影響。例2-5給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

，試畫

出其相應的模擬圖并寫出其對角標準型實現(xiàn)的狀態(tài)方程。

解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的部分分式型式為第二章狀態(tài)空間分析法76其模擬圖如圖2-8所示。圖2-8

系統(tǒng)的對角標準型狀態(tài)方程和輸出方程為第二章狀態(tài)空間分析法774．約當（Jordan）標準型實現(xiàn)

當系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程有重根時,一般來說只可將A陣化為準對角線矩陣,或者叫約當(Jordan)矩陣。設系統(tǒng)具有一些相同的特征值,例如有r個相同的特征根,則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為第二章狀態(tài)空間分析法78其模擬圖如圖2-9所示。第二章狀態(tài)空間分析法79圖2-9由圖2-9可知

。所以，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為第二章狀態(tài)空間分析法80其中由圖2-9可得系統(tǒng)的輸出方程為可見，系數(shù)矩陣A不再是一個對角陣而是一個約當陣。對角標準型和約當標準型統(tǒng)稱為特征值標準型。例2-6給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

，試畫出

其相應的模擬圖并寫出其約當標準型實現(xiàn)的狀態(tài)方程。

解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的部分分式型式為第二章狀態(tài)空間分析法81其模擬圖如圖2-10所示。圖2-10系統(tǒng)的約當標準型狀態(tài)方程和輸出方程為第二章狀態(tài)空間分析法825．討論系統(tǒng)的模擬圖（狀態(tài)圖）:根據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學模型來選擇運算部件,然后把這些部件合理地連接起來,使其構成的圖所對應的數(shù)學模型與該系統(tǒng)的數(shù)學模型一致，則此圖稱為系統(tǒng)的模擬圖。實現(xiàn)的目的如下:(1)通過系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(S)及其相應的模擬圖,借助于電子模擬電路或數(shù)字計算機就能具體地實現(xiàn)這一系統(tǒng),然后就可以對系統(tǒng)進行分析研究。(2)通過數(shù)學模型的轉換，可以打通古典控制理論與現(xiàn)代控制理論所用的數(shù)學模型之間的關系，從而使雙方結論可以相互比較和借用。(3)標準型實現(xiàn)在理論上有重要價值，它能滿足系統(tǒng)分析的需要且便于模擬電路的實現(xiàn)。第二章狀態(tài)空間分析法83思考題13：上面介紹了4種標準型實現(xiàn)。這說明，同一傳遞函數(shù)，至少對應了3個白盒實現(xiàn)，這就是結構不確定原理。從控制角度，應該如何處理黑盒系統(tǒng)？第二章狀態(tài)空間分析法846．SIMO、MISO、MIMO的標準型實現(xiàn)，以后講。螺旋式

（1）特征值和特征向量。第二章狀態(tài)空間分析法857．特征值和特征向量從線性代數(shù)可知，每個矩陣都表示一種線性變換,凡經(jīng)該矩陣變換后不改變自己方向的向量，稱為該變換的特征向量。例如，線性變換。這種變換有如下特點：中的矩陣，把點變成點（1）若點Q位于(或)軸上，則經(jīng)變換后，象點仍位于（或）軸上。（2）若Q位于其他直線上,則點不會在同一直線上。其幾何意義為：當與或軸有相同方向時，該變換不改變方向；若在其他直線上，則改變的方向。下面從數(shù)學上來研究特征值和特征向量。第二章狀態(tài)空間分析法86設有一向量0滿足：稱為的特征向量，

的特征值。稱為所以，當時，有，即矩陣

稱為

矩陣的特征矩陣，它的行列式

則稱為

的特征多項式；方程

稱為

的特征方程，該特征方程的根就是

陣（或系統(tǒng)）的特征值。與其特征值

組成的方陣

必為奇異陣。思考題14：

＝KA，則

、A的特征值相差K倍。這意味著什么？從數(shù)學上看，為什么？第二章狀態(tài)空間分析法87系統(tǒng)運動速度不一樣了。①對應于系統(tǒng)A陣的個n特征值,若存在n個獨立的特征向量則可由它們組成特征矩陣

，對A做線性變換

，就可得到對角陣第二章狀態(tài)空間分析法88(2)將矩陣化為對角陣=證：由特征向量的定義，可得將上式寫為，即所以，例2-7設矩陣A=，試求A陣的特征向量，并將A陣化為對角陣。第二章狀態(tài)空間分析法89解：設A陣的特征向量為，則有，即上式有非零解的充分必要條件為從中解得A陣的特征值為,，將

代入（2-12）式，得

，即（2-12）的最簡式為；將代入（2-12）式，得，即所以，A陣的特征矩陣T為

；。所以A的對角陣

。第二章狀態(tài)空間分析法90②若A是友矩陣，且其特征值

互不相等，則可由范德蒙德矩陣T使

第二章狀態(tài)空間分析法91例2－8試將友矩陣化為對角陣。解：矩陣A的特征方程為其特征值為因為矩陣A為友矩陣，所以其變換陣T可以是范德蒙德矩陣T所以A的對角陣

為第二章狀態(tài)空間分析法92(3)將矩陣A化為約當陣

：劉豹PP.32－36。自學。思考題15：同意系統(tǒng)的狀態(tài)方程不唯一，其特征值是否不變，為什么？第二章狀態(tài)空間分析法932.4狀態(tài)方程的求解LTI系統(tǒng)，常見的解法有兩種：時域解和復頻域解。第二章狀態(tài)空間分析法941.狀態(tài)方程的時間域解法(1)一階標量微分方程的解法：根據(jù)微分方程理論，在求解這類方程時，可以先將其改寫為：上式兩邊各乘以所以，有：兩邊積分（

），有：其中

為零輸入解，

為零狀態(tài)解。

解上述方程的關鍵是指數(shù)函數(shù)的性質：在解狀態(tài)方程

時，若有方陣

滿足：等，則可以仿照標量微分方程的解法，來解狀態(tài)方程了。稱為矩陣指數(shù)。第二章狀態(tài)空間分析法95(2)矩陣指數(shù)

定義為

第二章狀態(tài)空間分析法96(3)矩陣指數(shù)的

性質思考題15：

的逆陣是否總存在？在A為奇異時也存在？

（4）狀態(tài)方程的時域解法第二章狀態(tài)空間分析法97有了

的定義和性質，便可著手解狀態(tài)方程。設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為上式兩邊同時乘以方陣

，得：根據(jù)

的性質[2]，上式可寫為上式兩邊均從

到

積分，得所以，系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為從上式狀態(tài)方程的解可以看出，系統(tǒng)初態(tài)

對狀態(tài)軌跡的影響是固定不變的。欲使系統(tǒng)的狀態(tài)

按照人的期望的方式運動，以滿足系統(tǒng)的設計要求，只有通過選擇控制輸入函數(shù)

來實現(xiàn)。因此，控制器的設計就是綜合出合適的控制作用

。這一思想不但是系統(tǒng)分析的目的、作用，也是對系統(tǒng)進行綜合設計的依據(jù)。第二章狀態(tài)空間分析法98

又因為被控對象存在外擾、內部變化以及測量噪聲等，所以控制作用

的產(chǎn)生一般要靠閉環(huán)來完成。采用閉環(huán)反饋的原因主要有以下幾點：系統(tǒng)故有部分的穩(wěn)定性不好，需用反饋手段使穩(wěn)定性變好一些。內、外部擾動這些不確定性因素，需用反饋手段才能對付?？刂频闹饕康?，就是對付系統(tǒng)的不確定性。小結：U(t)才可能使X(t)的運動按照人的期望變化

用U來控制系統(tǒng)

內、外部擾動這些不確定性因素，以及開環(huán)穩(wěn)定性不好

需用反饋手段來產(chǎn)生U(t)。如此一來，產(chǎn)生了如下問題第二章狀態(tài)空間分析法99是否存在U(t)使

？這問題由能控性理論解決。如何找到具體的U(t)使

？這問題由控制算法，比如極點配置理論、最優(yōu)控制理論、自適應控制理論等來解決。若X(t)反饋不能通過傳感器直接得到，怎么辦？能否由輸出Y(t)來估計出來

進行反饋以便形成閉環(huán)，這由能觀性理論解決。如何找到具體的由輸出Y(t)來估計出

的方法，由狀態(tài)觀測器理論和最優(yōu)估計理論（Kalman濾波器）解決。控制：改造系統(tǒng)，使其運動按照人的期望進行第二章狀態(tài)空間分析法1002.狀態(tài)方程的復頻域解法

第二章狀態(tài)空間分析法101狀態(tài)方程的復頻域解法，使用的數(shù)學工具是拉氏變換對系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

的兩邊取拉氏變換，可得，即令

，

稱為分解矩陣。將

代入上式，有對上式進行拉氏反變換，得其中：

，稱為狀態(tài)轉移矩陣。在驅動函數(shù)

為0，即零輸入時，有可見

完全確定了系統(tǒng)本身的自由運動而形成的狀態(tài)轉移規(guī)律，因而稱

為狀態(tài)轉移矩陣。與狀態(tài)方程的時域解相比較可知：

。因此

具有下述性質第二章狀態(tài)空間分析法102例2－9已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

，系統(tǒng)的初始狀態(tài)

。當系統(tǒng)的輸入U(t)為單位階躍信號時，試求系統(tǒng)的狀態(tài)響應。解：系統(tǒng)的分解矩陣w為所以，有對上式兩邊進行拉式反變換，得系統(tǒng)的狀態(tài)響應為第二章狀態(tài)空間分析法1033.矩陣指數(shù)

的計算第二章狀態(tài)空間分析法104求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的關鍵是計算其矩陣指數(shù)。矩陣指數(shù)的計算方法有如下方法。（1）拉氏變化法：即（2）化A為對角陣法:設A的對角陣為

，則有

計算出

后，根據(jù)矩陣指數(shù)性質得

（3）化A為約當陣法當A有重特征根且A的獨立特征向量數(shù)不足n個時，可通過尋求輔助特征向量來組成相似變換方陣T，由

將A化為約當陣其中

為A陣的約當塊，

。因為所以其中第二章狀態(tài)空間分析法105（4）待定系數(shù)法第二章狀態(tài)空間分析法106了解關于待定系數(shù)法的三個問題：凱萊-哈密頓（Cayley-Hamilton）定理，矩陣指數(shù)多項式表示法，矩陣指數(shù)的計算。凱萊-哈密頓定理：設A為nxn方陣，

是其特征方程，則必有

。矩陣指數(shù)的多項式表示根據(jù)凱萊-哈密頓定理，有：由上式，有：這即是矩陣指數(shù)

的多項式表示法：n階方陣A的矩陣指數(shù)

可由關于A的n-1次多項式表示出來。第二章狀態(tài)空間分析法107矩陣指數(shù)

的計算把（1）式中的A換成A的特征值

，（1）式成立。思考題16：為何？由此可聯(lián)立解出矩陣指數(shù)

的計算計算的

步驟與計算

的相同，只不過相應的系數(shù)

應變成:思考題17：為何？第二章狀態(tài)空間分析法108例.求

，，，解：當A的特征值有重根時，求解

的方程數(shù)將不足n個，將不能把

～

唯一的確定出來。不夠的方程應對

=+……的λ求導來補足。上述幾種方法（頻域法、對角線法、約旦法、待定系數(shù)法）計算

都需計算矩陣的特征值，但可求出封閉形式的解是其優(yōu)點（即精度高）。就一般而言，待定系數(shù)法的計算量相對少些，宜于采用。第二章狀態(tài)空間分析法109（5）數(shù)字計算機算法第二章狀態(tài)空間分析法110===M+R=+將R略去，則MN的確定：精度問題。如││││，i=1,2…n,j=1,2…n范數(shù)‖R‖：‖R‖====E<給定N及t，計算E；計算

并與E比較。若E││，則計算停止。否則，選更大N，重新計算，直至E││為止。第二章狀態(tài)空間分析法111第三章

線性系統(tǒng)的結構特性線性系統(tǒng)的結構特性112主講人：屈勝利

控制系統(tǒng)的性能分析分為定性分析和定量分析兩個方面。定性分析包含穩(wěn)定性、能控性、能觀性，以其為工具進行系統(tǒng)的結構分析。

目的：掌握穩(wěn)定性、能控性、能觀性方面的內容，他們是古典和現(xiàn)代控制理論的基本概念。通過系統(tǒng)的結構分析，進一步剖析以傳遞函數(shù)為基礎的“經(jīng)典控制”與以狀態(tài)方程為基礎的“現(xiàn)代控制”之間的關系?！懊靼字R的適用范圍，比知識本身更重要”。

穩(wěn)定性、能控性、能觀性，是系統(tǒng)的三個重要屬性、概念。線性系統(tǒng)的結構特性1133.1系統(tǒng)的能控性

線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性，是現(xiàn)代控制理論中兩個非常重要的概念。1960年美籍匈牙利人R.E.Kalman發(fā)表“控制系統(tǒng)的一般理論”等論文，引入狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)，提出能控性、能觀測性、最佳調節(jié)器和卡爾曼濾波等概念，奠定了現(xiàn)代控制理論的基礎。能控、能觀性概念在剛提出來的時候，并未受到應有的重視，但現(xiàn)在已成為控制理論中的基本概念。無論在分析或綜合一個現(xiàn)代控制系統(tǒng)時，總要研究一下，它是否能控與能觀測。

現(xiàn)代控制理論，其數(shù)學模型采用狀態(tài)方程，立足于狀態(tài)變量法，包含最優(yōu)控制、最優(yōu)估計、系統(tǒng)辨識等理論。最優(yōu)控制以能控性為基礎，一般而言能控才能得到最優(yōu)解；最優(yōu)估計以能觀性為基礎。

以下的討論，均假定系統(tǒng)為線性定常（LTI）連續(xù)系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的結構特性1141.系統(tǒng)能控性的含義及例子

系統(tǒng)的能控性指系統(tǒng)的輸入對系統(tǒng)的狀態(tài)的控制能力，即衡量系統(tǒng)在作用下其內部狀態(tài)轉移的能力。

以后會知道，能控性是系統(tǒng)的一種內在性質，是系統(tǒng)的結構性質。例3-1

設SISO離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為試分析系統(tǒng)的輸入

對系統(tǒng)狀態(tài)

的影響線性系統(tǒng)的結構特性115解：用遞推法解系統(tǒng)的狀態(tài)方程，得

由上式可見，系統(tǒng)的第一個狀態(tài)變量

，無論

取何值，永遠不受

的控制。所以，系統(tǒng)的狀態(tài)不能通過它的輸入

的作用而轉移到任意所需的狀態(tài)上去。2.系統(tǒng)能控性的定義

設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)能控性的定義如果有一個控制作用

，能在有限的時間T內，把系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)

，轉移到終了狀態(tài),則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，簡稱系統(tǒng)能控。若系統(tǒng)中有一個或一些初始狀態(tài)不能在有限的時間T內，在輸入控制

的作用下轉移到終了狀態(tài)

，則稱系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控，簡稱系統(tǒng)不能控。有限時間T，存在U(t)，狀態(tài)能控，系統(tǒng)能控。線性系統(tǒng)的結構特性117系統(tǒng)能達性的定義若把系統(tǒng)初態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間原點，即,終了狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意一個非0有限點

，若存在一個控制用,能在有限時間T內使系統(tǒng)完成從初態(tài)到終態(tài)的轉移，則稱系統(tǒng)具有狀態(tài)能達性。討論：①能控與能達的幾何解釋見圖3-1所示。能控指在有限的時間T內，

；能達指在有限的時間T內，

。圖3-1線性系統(tǒng)的結構特性118②在線性定常連續(xù)系統(tǒng)中，能控性與能達性是等價的。推論：如果存在控制作用

，能在有限時間T內，把系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)

轉移到有限終了狀態(tài)

，則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。③有這么多的定義原因，是對線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言以上三個定義（甚至更多）等價，但對于其他類型的系統(tǒng)，這些定義則有可能不等價。比如對線性定常時間離散系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的能控性與能達性就不等價。所以，有必要有許多概念、定義，以便更深入細致地描述系統(tǒng)的能控性質的差異。④能控性的含義是指控制作用

對狀態(tài)變量

的影響程度。在第二章3.1.4節(jié)已指出

的運動只能通過

來影響，但未討論

對

的影響能力問題。能控性是控制系統(tǒng)控制能力的標志，

對

的影響能力由能控性來描述。線性系統(tǒng)的結構特性119例3-2

已知系統(tǒng)的狀態(tài)模擬圖如圖3-2所示，試判別其能控性。解：從圖3-12可以看出，系統(tǒng)的輸入

只能影響系統(tǒng)的狀態(tài)

，不能影響

，因此系統(tǒng)是不能控的。圖3-2思考題1：

漸進趨于零，即可以回到原點，為何不能控？的運動是自由運動，有限時間T內做不到。線性系統(tǒng)的結構特性120例3-3

利用定義判斷圖3-3所示電路系統(tǒng)的能控性解：圖3-13所示電路系統(tǒng)的動態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣可以求得為圖3-3線性系統(tǒng)的結構特性121如取初始狀態(tài)為

，則系統(tǒng)在控制作用

下的狀態(tài)響應為由上式可見，不論給圖3-3的系統(tǒng)施加何種控制作用

，兩個狀態(tài)變量

和

總是相等的，也就是說，無法將狀態(tài)轉移到

的任意點，因此，系統(tǒng)是不能達的，也是不能控的。線性系統(tǒng)的結構特性122從上面的三個例子可以看出，對于簡單系統(tǒng)來說，可以根據(jù)系統(tǒng)能控性的定義，從狀態(tài)方程的解或狀態(tài)模擬圖來判斷；對較復雜的系統(tǒng)，求解往往很困難，其狀態(tài)圖一般也較復雜，這時就需要借助能控性判據(jù)來判別系統(tǒng)的能控性。注意：判據(jù)皆從定義而來，定義是源、本。當忘記了判據(jù)等公式，或遇到特殊問題時，可以從定義入手解決問題，有時可能導致新的發(fā)現(xiàn)。這是面對“問題本身”的方法。線性系統(tǒng)的結構特性1233.能控性判據(jù)之一系統(tǒng)的狀態(tài)能控性指的是系統(tǒng)的輸入

與系統(tǒng)的狀態(tài)

之間的關系，它與系統(tǒng)的輸出

無關。也就是說，系統(tǒng)的狀態(tài)能控性僅與系統(tǒng)的狀態(tài)方程

有關，即只與

、

陣有關。為了簡單起見，把上面的狀態(tài)方程簡記作[、]或{、}線性定常系統(tǒng)能控性判據(jù)考慮線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程：其中，x為n維狀態(tài)向量，u為p維輸入向量，A和B分別為

和

常規(guī)矩陣。下面直接根據(jù)A和B給出系統(tǒng)能控性的常用判據(jù)。(3.1)線性系統(tǒng)的結構特性1241.格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)（3.1）為完全能控的充分必要條件是，存在時刻

，使如下定義的格拉姆（Gram）矩陣為非奇異。

（3.3）證明:充分性：已知

非奇異，欲證系統(tǒng)為完全能控。已知

非奇異，故

存在。在此根據(jù)能控性定義，對任一非零初始狀態(tài)

可選取控制

為：（3.3）線性系統(tǒng)的結構特性125則在

作用下系統(tǒng)（3.1）在

時刻的解為這結果表明，對任一

，存在有限時刻

和控制

，使狀態(tài)由

轉移到

時刻

。于是，按定義可知系統(tǒng)為完全能控。充分性得證。線性系統(tǒng)的結構特性126必要性：已知系統(tǒng)為完全能控，欲證

為非奇異。采用反證法。反設

為奇異，也即假設存在某個非零向量

，使（3.4）成立。由此可推導出（3.5）其中

為范數(shù)，故其必為正值。這樣，欲使式（3.5）成立，應當有：（3.6）線性系統(tǒng)的結構特性127另一方面，因系統(tǒng)為完全可控，根據(jù)定義對此非零

應有得到（3.7）再利用式（3.6），則由式（3.7）得到

，即

。顯然，此結果與反設

相矛盾，即為

奇異的反設不成立。因此，當系統(tǒng)為完全能控，

必為非奇異。必要性得證。至此，證畢。線性系統(tǒng)的結構特性1282.秩判據(jù)

定理（能控性判據(jù)）：線性定常連續(xù)系統(tǒng){A、B}狀態(tài)完全能控的充分必要條件是其能控性矩陣（能控判別陣）

滿秩，即（3.8）證明充分性：已知

，欲證系統(tǒng)為完全能控。采用反證法。反設系統(tǒng)為不完全能控，則根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)可知（3.9）為奇異。這意味著存在某個非零n維常數(shù)向量

，使線性系統(tǒng)的結構特性129（3.10）成立。顯然，可由此導出：（3.11）將（3.11）求導直至n-1次，且在結果中令t=0,得到：（3.12）然后再將式（3.12）表示為（3.13）由于

，所以式（3.12）意味著

為行線性相關，即

。這顯然和已知

相矛盾。所以，反設不成立，系統(tǒng)應為完全能控。線性系統(tǒng)的結構特性130必要性：已知系統(tǒng)完全能控，欲證

。采用反證法。反設

，這意味著S為線性相關，因此必存在一個非零n維常數(shù)向量

，使：成立。考慮到問題的一般性，由上式可導出：

（3.14）根據(jù)凱萊-哈密頓定理，

均可表示為

的線性組合，由此可將式（3.14）進一步寫為：從而，對任意

有：線性系統(tǒng)的結構特性131或：（3.15）利用式（3.15），則有（3.16）因為已知

，若式（3.16）成立，必須有

為奇異，即系統(tǒng)不完全能控。這是和已知條件相矛盾的，所以反設不成立。于是有

，必要性得證。證畢。線性系統(tǒng)的結構特性132另外一種證明方法：定理（能控性判據(jù)）：線性定常連續(xù)系統(tǒng){A、B}狀態(tài)完全能控的充分必要條件是其能控性矩陣

滿秩，即

。證明：其中，

為一個確定量（向量）（1）線性系統(tǒng)的結構特性133將（1）寫成矩陣形式：這實質上是由n個方程求

個未知量的線性代數(shù)方程組。考慮到

為任意的，則方程（2）的解

存在的充分必要條件為：（2）能控性矩陣

滿秩，即,或若方程（2）的解存在，即

存在，則u(t)必定存在系統(tǒng)｛A，B｝能控。矩陣S稱為系統(tǒng)｛A，B｝的能控性矩陣。U(t)非唯一。線性系統(tǒng)的結構特性134思考題2：

存在，則u(t)必定存在。為什么？由于

是從狀態(tài)方程的解（1）中得到的，（2）又表明

存在，又

僅與A陣有關，故u必存在線性系統(tǒng)的結構特性135例3-4已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為

，試判別系統(tǒng)狀態(tài)是否完全能控。解：系統(tǒng)的能控性矩陣為將上式中能控性矩陣的第二行加到第三行，則經(jīng)過此初等變換后，有所以，

。因為初等變換不改變矩陣的秩，所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控線性系統(tǒng)的結構特性136例3－5

試判別能控標準型狀態(tài)的能控性。解：在能控標準型狀態(tài)方程中，有所以，其能控性矩陣為系統(tǒng)的能控性矩陣S為下三角陣。因為

，所以

。即能控標準型的狀態(tài)是完全能控的。線性系統(tǒng)的結構特性137定理：若SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，則存在一個非奇異變換矩陣Q,可將該系統(tǒng)的原狀態(tài)方程變換為能控標準型狀態(tài)方程。設SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程為：若系統(tǒng)能控，即能控性矩陣

非奇異，則存在一個非奇異變換矩陣,使

而得到能控標準型的狀態(tài)方程：其中線性系統(tǒng)的結構特性138變換矩陣：，為行向量。因此，能控標準型具有一般意義,即只要系統(tǒng)能控，則可用能控標準型作為其模型而不失一般性。綜上，能控標準型一定能控，若能控也能化為能控標準型。線性系統(tǒng)的結構特性139例3-6,將其化為能控標準型。解：（1）先判斷系統(tǒng)的能控性：狀態(tài)完全能控。所以，可以化為能控標準型。（2）求非奇異變換Q：線性系統(tǒng)的結構特性140判別系統(tǒng){A、B}狀態(tài)能控性的另一種方法是利用線性非奇異變換，將A陣對角化或約當化，然后根據(jù)變換后

的陣來判別系統(tǒng)的能控性。3.能控性判據(jù)之二線性系統(tǒng)的結構特性141(1)定理：線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。證明：變換前系統(tǒng){A、B}的能控性矩陣S為：變換后系統(tǒng){、}的能控性矩陣

為：因為變換矩陣P非奇異，即

。由線性代數(shù)有關定理知：證畢。線性系統(tǒng)的結構特性142(2)定理：設系統(tǒng){A、B}具有兩兩相異的特征值，則其狀態(tài)能控的充要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對角標準型狀態(tài)方程的

陣中不包含元素全為零的行。其中：

線性系統(tǒng)的結構特性143若要系統(tǒng){、}狀態(tài)能控，其能控性矩陣

：證明：應滿秩，即

，當且僅當

時才能成立，即

陣不能含有元素全為零的行。

中全零行對應的

為不可控狀態(tài)變量，

為不可控模態(tài)。線性系統(tǒng)的結構特性144思考題3：

陣有全零行，則狀態(tài)不完全能控，從狀態(tài)方程解釋其含義。在對角標準型狀態(tài)方程中，因為各狀態(tài)變量已經(jīng)解耦，所以各狀態(tài)變量只能通過輸入

來直接進行控制。這樣一來，一旦

陣中出現(xiàn)全零行，則相應的狀態(tài)變量便不能控。注意，當A陣含有重特征值，且仍能對角化時，上述結論不成立。在單輸入系統(tǒng)中，更有結論：即使

中不含0元素，{A、B}也是狀態(tài)不能控的，因為此時能控性矩陣

中至少有兩行線性相關，所以

不滿秩；在MI系統(tǒng)中，若重根λ對應的

中各行獨力，則系統(tǒng)能控。線性系統(tǒng)的結構特性145(3)定理：設n維系統(tǒng){A、B}有重特征值為：

重根，…，重根，

；且當

時，有

。則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是在系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的約當標準形中，和每個約當塊

的最后一行相對應的陣中的

那些相應行，其每行元素不全為零。若兩個約當塊有相同特征值，上述結論不成立；若想要上述結論成立，則需要對應的

中相應行是線性獨立的。線性系統(tǒng)的結構特性146例3－7

判別下列各系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。①②③④⑤⑥⑦線性系統(tǒng)的結構特性147解：①因為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為對角標準型，其特征值互不相等，且B陣無全零行。所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。②因為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為對角標準型，其特征值互不相等，但B陣有全零行。所以，系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。不能控的狀態(tài)變量是

。③因為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為對角標準型，其特征值互不相等，且B陣無全零行。所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。④因為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為對角標準型，其特征值互不相等，但B陣有全零行。所以，系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。不能控的狀態(tài)變量是

。⑤因為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為對角標準型，其特征值相等，且為SI系統(tǒng)。所以，系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。⑥因為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為約當標準型，其約當塊的特征值互不相等，且B陣相應行無全零行。所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。⑦因為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為約當標準型，其約當塊的特征值互不相等，但B陣相應行有全零行。所以，系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。不能控的狀態(tài)變量是

。線性系統(tǒng)的結構特性1484.輸出能控性上面討論了系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。對實際系統(tǒng)，很關心其輸出，因此有必要討論一下控制系統(tǒng)的輸出能控性。(1)

輸出能控性的定義設線性定常連續(xù)控制系統(tǒng)的動態(tài)方程為，其中U為m維，Y為l維。若存在容許控制

，能在有限時間T(0<T<)內，將系統(tǒng)由任意初始值Y(0)引導到預先任意指定值Y(T)，則稱系統(tǒng)是輸出能控的。線性系統(tǒng)的結構特性149(2)

輸出能控性判據(jù)系統(tǒng){A,B,C}輸出能控的充要條件是其輸出能控性矩陣[CBCAB…CAB]滿秩，即有

個輸出時，其秩為

。(3)系統(tǒng)的輸出能控性與狀態(tài)能控性不等價,即互不包含。線性系統(tǒng)的結構特性150例3－8判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和輸出能控性。①②解：①因為所以，系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控，但系統(tǒng)輸出能控。②因為所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，但系統(tǒng)輸出不能控。線性系統(tǒng)的結構特性1513.2系統(tǒng)的能觀性

實際中常常遇到系統(tǒng)的狀態(tài)變量不能直接測量的問題。能否根據(jù)系統(tǒng)的輸出（輸出一般均可直接測量）把這些狀態(tài)變量的值計算出來，這即能觀測性問題。在現(xiàn)代控制理論中，這個問題很重要。若通過系統(tǒng)的輸出可以計算出系統(tǒng)狀態(tài)變量的值，則盡管系統(tǒng)狀態(tài)不能直接測得，但可把計算出的值進行反饋，從而實現(xiàn)優(yōu)良的控制效果；否則，只能由輸出變量進行反饋，難以獲得最優(yōu)的效果。3.2.1能觀性定義

設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程為能觀性定義系統(tǒng)的狀態(tài)

被稱為在區(qū)間

上能觀的(為有限時間)，如果在

上的輸入

和輸出

提供的信息足以確定

。否則，稱狀態(tài)

在區(qū)間

上不能觀。若系統(tǒng)在區(qū)間

上的每一狀態(tài)

均能觀，則稱系統(tǒng)狀態(tài)

上完全能觀，簡稱系統(tǒng)能觀。若根據(jù)

上的輸入