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文檔簡介
河北省秦皇島市一中2023-2024學年高考模擬第二次測試數(shù)學試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.2.在條件下,目標函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.23.()A. B. C. D.4.設實數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.145.設,則(
)A.10 B.11 C.12 D.136.已知函數(shù),其中表示不超過的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)7.2020年是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年,某市為早日實現(xiàn)目標,現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個貧困縣扶貧,要求每個貧困縣至少分到一人,則甲被派遣到縣的分法有()A.6種 B.12種 C.24種 D.36種8.已知甲盒子中有個紅球,個藍球,乙盒子中有個紅球,個藍球,同時從甲乙兩個盒子中取出個球進行交換,(a)交換后,從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為.(b)交換后,乙盒子中含有紅球的個數(shù)記為.則()A. B.C. D.9.如圖,在△ABC中,點M是邊BC的中點,將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點B'不在平面AMC內(nèi),點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過△AB'CA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心10.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.11.的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為A.-40 B.-20 C.20 D.4012.等比數(shù)列若則()A.±6 B.6 C.-6 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等邊三角形的邊長為1.,點、分別為線段、上的動點,則取值的集合為__________.14.在的二項展開式中,x的系數(shù)為________.(用數(shù)值作答)15.如圖,在復平面內(nèi),復數(shù),對應的向量分別是,,則_______.16.已知不等式組所表示的平面區(qū)域為,則區(qū)域的外接圓的面積為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為,向量,,且.(1)求角的大?。唬?)若,求的值18.(12分)已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列,其前項和為,且為與的等差中項.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設,求的前100項和.19.(12分)古人云:“腹有詩書氣自華.”為響應全民閱讀,建設書香中國,校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計學生一周課外讀書的時間,從全校學生中隨機抽取名學生進行問卷調(diào)査,統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間(單位:)的數(shù)據(jù)如下:一周課外讀書時間/合計頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù),求,,的值并估算一周課外讀書時間的中位數(shù).(2)如果讀書時間按,,分組,用分層抽樣的方法從名學生中抽取20人.①求每層應抽取的人數(shù);②若從,中抽出的學生中再隨機選取2人,求這2人不在同一層的概率.20.(12分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實數(shù),,滿足,求證:.21.(12分)在直角坐標系x0y中,把曲線α為參數(shù))上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標不變,得到曲線以坐標原點為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程(1)寫出的普通方程和的直角坐標方程;(2)設點M在上,點N在上,求|MN|的最小值以及此時M的直角坐標.22.(10分)在中,角的對邊分別為.已知,.(1)若,求;(2)求的面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
求得雙曲線的漸近線方程,可得圓心到漸近線的距離,由點到直線的距離公式可得的范圍,再由離心率公式計算即可得到所求范圍.【詳解】雙曲線的一條漸近線為,即,由題意知,直線與圓相切或相離,則,解得,因此,雙曲線的離心率.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,注意運用圓心到漸近線的距離不小于半徑,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.2、B【解析】
畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)平移得到最值點,再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)圖像知:當時,有最大值為,即,故..當,即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學生的綜合應用能力.3、B【解析】
利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】.故選B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復數(shù)的基本概念,是基礎題.4、D【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當目標函數(shù)過點時,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值,屬于基礎題.5、B【解析】
根據(jù)題中給出的分段函數(shù),只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值,代入即可求出其值.【詳解】∵f(x),∴f(5)=f[f(1)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=1.故選:B.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值,屬于基礎題.6、C【解析】
根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項A,函數(shù),故錯誤;選項B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯誤;選項C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯誤.故選:C【點睛】本題考查對題干的理解,屬于函數(shù)新定義問題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.7、B【解析】
分成甲單獨到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進行分類討論,由此求得甲被派遣到縣的分法數(shù).【詳解】如果甲單獨到縣,則方法數(shù)有種.如果甲與另一人一同到縣,則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.故選:B【點睛】本小題主要考查簡答排列組合的計算,屬于基礎題.8、A【解析】分析:首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個數(shù),對應的事件有哪些結(jié)果,從而得到對應的概率的大小,再者就是對隨機變量的值要分清,對應的概率要算對,利用公式求得其期望.詳解:根據(jù)題意有,如果交換一個球,有交換的都是紅球、交換的都是藍球、甲盒的紅球換的乙盒的藍球、甲盒的藍球交換的乙盒的紅球,紅球的個數(shù)就會出現(xiàn)三種情況;如果交換的是兩個球,有紅球換紅球、藍球換藍球、一藍一紅換一藍一紅、紅換藍、藍換紅、一藍一紅換兩紅、一藍一紅換亮藍,對應的紅球的個數(shù)就是五種情況,所以分析可以求得,故選A.點睛:該題考查的是有關隨機事件的概率以及對應的期望的問題,在解題的過程中,需要對其對應的事件弄明白,對應的概率會算,以及變量的可取值會分析是多少,利用期望公式求得結(jié)果.9、A【解析】
根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點.故選:A.【點睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.10、D【解析】
先求出集合N的補集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補集的運算,屬于基礎題.11、D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通項,由5-2r=1得r=2,對應的常數(shù)項=80,由5-2r=-1得r=3,對應的常數(shù)項=-40,故所求的常數(shù)項為40,選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘,若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x,選3個提出;若第1個括號提出,從余下的括號中選2個提出,選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=4012、B【解析】
根據(jù)等比中項性質(zhì)代入可得解,由等比數(shù)列項的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項性質(zhì)可知,,所以,而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項符號相同,所以,故選:B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應用,注意項的符號特征,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意建立平面直角坐標系,設三角形各點的坐標,依題意求出,,,的表達式,再進行數(shù)量積的運算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點為坐標原點,所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則,,,,則,,,設,,,即點的坐標為,則,,,所以故答案為:【點睛】本題考查平面向量的坐標表示和線性運算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運算,是中檔題.14、-40【解析】
由題意,可先由公式得出二項展開式的通項,再令10-3r=1,得r=3即可得出x項的系數(shù)【詳解】的二項展開式的通項公式為,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二項展開式中x項的系數(shù)為.故答案為:-40.【點睛】本題考查二項式定理的應用,解題關鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式,屬于基礎題.15、【解析】試題分析:由坐標系可知考點:復數(shù)運算16、【解析】
先作可行域,根據(jù)解三角形得外接圓半徑,最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【詳解】由題意作出區(qū)域,如圖中陰影部分所示,易知,故,又,設的外接圓的半徑為,則由正弦定理得,即,故所求外接圓的面積為.【點睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線,其次確定目標函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等,最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
利用平面向量數(shù)量積的坐標表示和二倍角的余弦公式得到關于的方程,解方程即可求解;由知,在中利用余弦定理得到關于的方程,與方程聯(lián)立求出,進而求出,利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意得,,由二倍角的余弦公式可得,,又因為,所以,解得或,∵,∴.在中,由余弦定理得,即①又因為,把代入①整理得,,解得,,所以為等邊三角形,,∴,即.【點睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積的坐標表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟練掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型.18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)利用已知條件化簡出,當時,,當時,再利用進行化簡,得出,即可證明出為等差數(shù)列;(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項公式,再化簡出,可直接求出的前100項和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當時,由①式可得;又時,有,代入①式得,整理得,∴是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項都為正數(shù),∴,∴,又,∴,則,,即:.∴的前100項和.【點睛】本題考查數(shù)列遞推關系的應用,通項公式的求法以及裂項相消法求和,考查分析解題能力和計算能力.19、(1),,,中位數(shù);(2)①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13;②【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì),即可求得,得到,,再結(jié)合中位數(shù)的計算方法,即可求解.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,根據(jù)抽樣比,求得在三層中抽取的人數(shù);②由①知,設內(nèi)被抽取的學生分別為,內(nèi)被抽取的學生分別為,利用列舉法得到基本事件的總數(shù),利用古典概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】(1)由題意,可得,所以,.設一周課外讀書時間的中位數(shù)為小時,則,解得,即一周課外讀書時間的中位數(shù)約為小時.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,抽樣比為,又因為,,的頻數(shù)分別為20,50,130,所以從,,三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13.②由①知,在,兩層中共抽取7人,設內(nèi)被抽取的學生分別為,內(nèi)被抽取的學生分別為,若從這7人中隨機抽取2人,則所有情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有21種,其中2人不在同一層的情況為,,,,,,,,,,共有10種.設事件為“這2人不在同一層”,由古典概型的概率計算公式,可得概率為.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì),中位數(shù)的求解,以及古典概型的概率計算等知識的綜合應用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎題.20、(1);(2)證明見詳解.【解析】
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