專題29幾何綜合壓軸問題（共50題）-2024年中考數(shù)學真題分項匯編（含答案）全國

專題29幾何綜合壓軸問題（共50題）-2024年中考數(shù)學真題分項匯編（含答案）【全國通用】專題29幾何綜合壓軸問題【共50題】一．解答題（共50小題）1．（2020?天水）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長度之比為．理解運用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+23，則它的面積為；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長．類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為．（用含α的式子表示）2．（2020?青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G．特例感知：（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過點B．通過觀察、測量BF與CG的長度，得到BF＝CG．請給予證明．猜想論證：（2）當三角尺沿AC方向移動到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點D，過點D作DE⊥BA垂足為E．此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想．聯(lián)系拓展：（3）當三角尺在圖2的基礎上沿AC方向繼續(xù)移動到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）3．（2020?河北）如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．點K在AC邊上，點M，N分別在AB，BC上，且AM＝CN＝2．點P從點M出發(fā)沿折線MB﹣BN勻速移動，到達點N時停止；而點Q在AC邊上隨P移動，且始終保持∠APQ＝∠（1）當點P在BC上時，求點P與點A的最短距離；（2）若點P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下4：5兩部分時，求MP的長；（3）設點P移動的路程為x，當0≤x≤3及3≤x≤9時，分別求點P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；（4）在點P處設計并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點P從M到B再到N共用時36秒．若AK=94，請直接寫出點4．（2020?襄陽）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，點D在邊BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交邊BC于點F，連接CE．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當AD＝AF時，①求證：BD＝CF；②推斷：∠ACE＝°；（2）探究證明：如圖2，當AD≠AF時，請?zhí)骄俊螦CE的度數(shù)是否為定值，并說明理由；（3）拓展運用：如圖3，在（2）的條件下，當EFAF=13時，過點D作AE的垂線，交AE于點P，交AC于點K，若CK5．（2020?牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，點D，E在射線BA上，BD＝DE，過點E作EF∥BC，交射線CA于點F．請解答下列問題：（1）當點E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時，如圖①，求證：AE+BC＝CF；（提示：延長CD，F(xiàn)E交于點M．）（2）當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時，如圖②；當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時，如圖③，請直接寫出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量關系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若DE＝2AE＝6，則CF＝．6．（2020?遼陽）如圖，射線AB和射線CB相交于點B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．點D是射線CB上的動點（點D不與點C和點B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點E，使∠AEC＝α，連接CE，BE．（1）如圖①，當點D在線段CB上，α＝90°時，請直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）如圖②，當點D在線段CB上，α＝120°時，請寫出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）當α＝120°，tan∠DAB=13時，請直接寫出7．（2020?涼山州）如圖，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發(fā)．（1）如圖1，連接AQ、CP．求證：△ABQ≌△CAP；（2）如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，AQ、CP相交于點M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)；（3）如圖2，當點P、Q在AB、BC的延長線上運動時，直線AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．8．（2020?泰安）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點F是線段CE上一點．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過探究，得到結論：BD⊥DF．你認為此結論是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結論互換，即：BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長．9．（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當D，B，F(xiàn)共線時，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當D，B，F(xiàn)不共線時，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2020?黔東南州）如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請說明理由．拓展運用（2）若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長．（3）若B、C、E三點在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長．11．（2020?金華）如圖，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC邊上的高線長．（2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數(shù)．②如圖3，連結AP，當PF⊥AC時，求AP的長．12．（2020?江西）某數(shù)學課外活動小組在學習了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關系問題”進行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為斜邊向外側作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，則面積S1，S2，S3之間的關系式為；推廣驗證（2）如圖3，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為邊向外側作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，則（1）中所得關系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由；拓展應用（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝23，DE＝2，點P在AE上，∠ABP＝30°，PE=2，求五邊形ABCDE13．（2020?衡陽）如圖1，平面直角坐標系xOy中，等腰△ABC的底邊BC在x軸上，BC＝8，頂點A在y的正半軸上，OA＝2，一動點E從（3，0）出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB向左運動，到達OB的中點停止．另一動點F從點C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運動，到達點O停止．已知點E、F同時出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同側，設運動的時間為t秒（t≥0）．（1）當點H落在AC邊上時，求t的值；（2）設正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，請問是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出（3）如圖2，取AC的中點D，連結OD，當點E、F開始運動時，點M從點O出發(fā)，以每秒25個單位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO運動，到達點O停止運動．請問在點E的整個運動過程中，點M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點M在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由．14．（2020?青島）已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延長DC交EF于點M．點P從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點M出發(fā)，沿MF方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作GH⊥AB于點H，交CD于點G．設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當t為何值時，點M在線段CQ的垂直平分線上？（2）連接PQ，作QN⊥AF于點N，當四邊形PQNH為矩形時，求t的值；（3）連接QC，QH，設四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關系式；（4）點P在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點P在∠AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．15．（2020?山西）綜合與實踐問題情境：如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點A的對應點為點C）．延長AE交CE′于點F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE'的數(shù)量關系并加以證明；解決問題：（3）如圖①，若AB＝15，CF＝3，請直接寫出DE的長．16．（2020?內(nèi)江）如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連結QP交BC于點E，QP延長線與邊AD交于點F．（1）連結CQ，求證：AP＝CQ；（2）若AP=14AC，求CE：（3）求證：PF＝EQ．17．（2020?郴州）如圖1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．點E是AD的中點，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG，CE．將正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，①判斷△AGD與△CED是否全等，并說明理由；②當CE＝CD時，AG與EF交于點H，求GH的長．（2）如圖3，延長CE交直線AG于點P．①求證：AG⊥CP；②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．18．（2020?湘西州）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關系．小李同學探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG＝AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結論，他的結論就是；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交AD、DC于E、F，上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由；探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結論是否仍然成立？并說明理由；實際應用：如圖4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處．艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處．且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°．試求此時兩艦艇之間的距離．19．（2020?揚州）如圖1，已知點O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，與BD交于點G，AC分別與BD、OD交于點E、F．（1）求證：OC∥AD；（2）如圖2，若DE＝DF，求AEAF（3）當四邊形ABCD的周長取最大值時，求DEDF20．（2020?臨沂）如圖，菱形ABCD的邊長為1，∠ABC＝60°，點E是邊AB上任意一點（端點除外），線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點F，G，AE，EF的中點分別為M，N．（1）求證：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）當點E在AB上運動時，∠CEF的大小是否變化？為什么？21．（2020?岳陽）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點P，Q分別從C點，A點同時以每秒1個單位長度的速度出發(fā)，且分別在邊CA，AB上沿C→A，A→B的方向運動，當點Q運動到點B時，P，Q兩點同時停止運動．設點P運動的時間為t（s），連接PQ，過點P作PE⊥PQ，PE與邊BC相交于點E，連接QE．（1）如圖2，當t＝5s時，延長EP交邊AD于點F．求證：AF＝CE；（2）在（1）的條件下，試探究線段AQ，QE，CE三者之間的等量關系，并加以證明；（3）如圖3，當t＞94s時，延長EP交邊AD于點F，連接FQ，若FQ平分∠AFP，求22．（2020?天津）將一個直角三角形紙片OAB放置在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（2，0），點B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，點P在邊OB上（點P不與點O，B重合）．（Ⅰ）如圖①，當OP＝1時，求點P的坐標；（Ⅱ）折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點P，并與x軸的正半軸相交于點Q，且OQ＝OP，點O的對應點為O'，設OP＝t．①如圖②，若折疊后△O'PQ與△OAB重疊部分為四邊形，O'P，O'Q分別與邊AB相交于點C，D，試用含有t的式子表示O'D的長，并直接寫出t的取值范圍；②若折疊后△O'PQ與△OAB重疊部分的面積為S，當1≤t≤3時，求S的取值范圍（直接寫出結果即可）．23．（2020?南京）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃氣站，向l同側的A、B兩個城鎮(zhèn)分別鋪設管道輸送燃氣．試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短．（1）如圖②，作出點A關于l的對稱點A'，線段A'B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建燃氣站，所得路線ACB是最短的．為了證明點C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點C'，連接AC'、BC'，證明AC+CB＜AC′+C'B．請完成這個證明．（2）如果在A、B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護區(qū)，燃氣管道不能穿過該區(qū)域．請分別給出下列兩種情形的鋪設管道的方案（不需說明理由）．①生態(tài)保護區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；②生態(tài)保護區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．24．（2020?河南）將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過點D作DE垂直于直線BB′，垂足為點E，連接DB′，CE．（1）如圖1，當α＝60°時，△DEB′的形狀為，連接BD，可求出BB'CE的值為（2）當0°＜α＜360°且α≠90°時，①（1）中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；②當以點B′，E，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出BEB'E25．（2020?達州）（1）[閱讀與證明]如圖1，在正△ABC的外角∠CAH內(nèi)引射線AM，作點C關于AM的對稱點E（點E在∠CAH內(nèi)），連接BE，BE、CE分別交AM于點F、G．①完成證明：∵點E是點C關于AM的對稱點，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝°．②求證：BF＝AF+2FG．（2）[類比與探究]把（1）中的“正△ABC”改為“正方形ABDC”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①∠FEG＝°；②線段BF、AF、FG之間存在數(shù)量關系．（3）[歸納與拓展]如圖3，點A在射線BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH內(nèi)引射線AM，作點C關于AM的對稱點E（點E在∠CAH內(nèi)），連接BE，BE、CE分別交AM于點F、G．則線段BF、AF、GF之間的數(shù)量關系為．26．（2020?齊齊哈爾）綜合與實踐在線上教學中，教師和學生都學習到了新知識，掌握了許多新技能．例如教材八年級下冊的數(shù)學活動﹣﹣折紙，就引起了許多同學的興趣．在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進一步發(fā)展了同學們的空間觀念，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗．實踐發(fā)現(xiàn)：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點A落在EF上的點N處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）線段AN的垂直平分線；請判斷圖中△ABN是什么特殊三角形？答：；進一步計算出∠MNE＝°；（2）繼續(xù)折疊紙片，使點A落在BC邊上的點H處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖②，則∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如圖③，折疊矩形紙片ABCD，使點A落在BC邊上的點A'處，并且折痕交BC邊于點T，交AD邊于點S，把紙片展平，連接AA'交ST于點O，連接AT．求證：四邊形SATA'是菱形．解決問題：（4）如圖④，矩形紙片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折疊紙片，使點A落在BC邊上的點A'處，并且折痕交AB邊于點T，交AD邊于點S，把紙片展平．同學們小組討論后，得出線段AT的長度有4，5，7，9．請寫出以上4個數(shù)值中你認為正確的數(shù)值．27．（2020?濟寧）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，點H是線段AF上一動點（與點A不重合）．（1）求證：△AEH≌△AGH；（2）當AB＝12，BE＝4時．①求△DGH周長的最小值；②若點O是AC的中點，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3．若存在，請求出AHAF28．（2020?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，M為AB的中點，△MBE為等邊三角形，過點E作ME的垂線分別與邊AD、BC相交于點F、G，點P、Q分別在線段EF、BC上運動，且滿足∠PMQ＝60°，連接PQ．（1）求證：△MEP≌△MBQ．（2）當點Q在線段GC上時，試判斷PF+GQ的值是否變化？如果不變，求出這個值，如果變化，請說明理由．（3）設∠QMB＝α，點B關于QM的對稱點為B'，若點B'落在△MPQ的內(nèi)部，試寫出α的范圍，并說明理由．29．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE＝AD．EC與BD相交于點G，與AD相交于點F，AF＝AB．（1）求證：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的長；（3）如圖2，連接AG，求證：EG﹣DG=2AG30．（2020?綏化）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點G在邊BC上，連接AG，作DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F，連接BE、DF，設∠EDF＝α，∠EBF＝β，BGBC=（1）求證：AE＝BF；（2）求證：tanα＝k?tanβ；（3）若點G從點B沿BC邊運動至點C停止，求點E，F(xiàn)所經(jīng)過的路徑與邊AB圍成的圖形的面積．31．（2020?德州）問題探究：小紅遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是：；（2）AD的取值范圍是；方法運用：（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點F，連結BF并延長交AC于點E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．（4）如圖3，在矩形ABCD中，ABBC=12，在BD上取一點F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且EFBE=12，點G是DF的中點，連接32．（2020?樂山）點P是平行四邊形ABCD的對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F．點O為AC的中點．（1）如圖1，當點P與點O重合時，線段OE和OF的關系是；（2）當點P運動到如圖2所示的位置時，請在圖中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結論是否仍然成立？（3）如圖3，點P在線段OA的延長線上運動，當∠OEF＝30°時，試探究線段CF、AE、OE之間的關系．33．（2020?成都）在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處．（1）如圖1，若BC＝2BA，求∠CBE的度數(shù)；（2）如圖2，當AB＝5，且AF?FD＝10時，求BC的長；（3）如圖3，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當NF＝AN+FD時，求ABBC34．（2020?貴陽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點O為對角線AC的中點．（1）問題解決：如圖①，連接BO，分別取CB，BO的中點P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數(shù)量關系是，位置關系是；（2）問題探究：如圖②，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接CE，點P，Q分別為CE，BO'的中點，連接PQ，PB．判斷△PQB的形狀，并證明你的結論；（3）拓展延伸：如圖③，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接BO'，點P，Q分別為CE，BO'的中點，連接PQ，PB．若正方形ABCD的邊長為1，求△PQB的面積．35．（2020?黑龍江）以Rt△ABC的兩邊AB、AC為邊，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，過點A作AM⊥BC于M，延長MA交EG于點N．（1）如圖①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易證：EN＝GN；（2）如圖②，∠BAC＝90°；如圖③，∠BAC≠90°，（1）中結論，是否成立，若成立，選擇一個圖形進行證明；若不成立，寫出你的結論，并說明理由．36．（2020?衢州）【性質(zhì)探究】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE平分∠BAC，交BC于點E．作DF⊥AE于點H，分別交AB，AC于點F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說明理由．（2）求證：BF＝2OG．【遷移應用】（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當S1S2【拓展延伸】（4）若DF交射線AB于點F，【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結EF，當△BEF的面積為矩形ABCD面積的110時，請直接寫出tan∠BAE37．（2020?嘉興）在一次數(shù)學研究性學習中，小兵將兩個全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點A與點F重合，點C與點D重合（如圖1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進行如下研究活動．活動一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結AE，BD（如圖2），當點F與點C重合時停止平移．【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請說明理由．【發(fā)現(xiàn)】當紙片DEF平移到某一位置時，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長．活動二：在圖3中，取AD的中點O，再將紙片DEF繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)α度（0≤α≤90），連結OB，OE（如圖4）．【探究】當EF平分∠AEO時，探究OF與BD的數(shù)量關系，并說明理由．38．（2020?孝感）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分線與⊙O交于點D，與AC交于點E，連接CD并延長與⊙O過點A的切線交于點F，記∠BAC＝α．（1）如圖1，若α＝60°，①直接寫出DFDC的值為②當⊙O的半徑為2時，直接寫出圖中陰影部分的面積為；（2）如圖2，若α＜60°，且DFDC=23，39．（2020?鄂州）如圖所示：⊙O與△ABC的邊BC相切于點C，與AC、AB分別交于點D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直徑．連接OE，過C作CG∥OE交⊙O于G，連接DG、EC，DG與EC交于點F．（1）求證：直線AB與⊙O相切；（2）求證：AE?ED＝AC?EF；（3）若EF＝3，tan∠ACE=12時，過A作AN∥CE交⊙O于M、N兩點（M在線段AN上），求40．（2020?長沙）如圖，半徑為4的⊙O中，弦AB的長度為43，點C是劣弧AB上的一個動點，點D是弦AC的中點，點E是弦BC的中點，連接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）當點C沿著劣弧AB從點A開始，逆時針運動到點B時，求△ODE的外心P所經(jīng)過的路徑的長度；（3）分別記△ODE，△CDE的面積為S1，S2，當S12﹣S22＝21時，求弦AC的長度．41．（2020?廣元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于點O，以O為圓心，OC長為半徑作圓交BC于點D．（1）如圖1，求證：AB為⊙O的切線；（2）如圖2，AB與⊙O相切于點E，連接CE交OA于點F．①試判斷線段OA與CE的關系，并說明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．42．（2020?連云港）（1）如圖1，點P為矩形ABCD對角線BD上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB、CD于點E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面積為S1，△CFP的面積為S2，則S1+S2＝；（2）如圖2，點P為?ABCD內(nèi)一點（點P不在BD上），點E、F、G、H分別為各邊的中點．設四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PFCG的面積為S2（其中S2＞S1），求△PBD的面積（用含S1、S2的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，點P為?ABCD內(nèi)一點（點P不在BD上），過點P作EF∥AD，HG∥AB，與各邊分別相交于點E、F、G、H．設四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PGCF的面積為S2（其中S2＞S1），求△PBD的面積（用含S1、S2的代數(shù)式表示）；（4）如圖4，點A、B、C、D把⊙O四等分．請你在圓內(nèi)選一點P（點P不在AC、BD上），設PB、PC、BC圍成的封閉圖形的面積為S1，PA、PD、AD圍成的封閉圖形的面積為S2，△PBD的面積為S3，△PAC的面積為S4，根據(jù)你選的點P的位置，直接寫出一個含有S1、S2、S3、S4的等式（寫出一種情況即可）．43．（2020?內(nèi)江）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連結BE．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）設OE交⊙O于點F，若DF＝2，BC＝43，求線段EF的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．44．（2020?哈爾濱）已知：⊙O是△ABC的外接圓，AD為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為E，連接BO，延長BO交AC于點F．（1）如圖1，求證：∠BFC＝3∠CAD；（2）如圖2，過點D作DG∥BF交⊙O于點G，點H為DG的中點，連接OH，求證：BE＝OH；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CG，若DG＝DE，△AOF的面積為925，求線段CG45．（2020?成都）如圖，在△ABC的邊BC上取一點O，以O為圓心，OC為半徑畫⊙O，⊙O與邊AB相切于點D，AC＝AD，連接OA交⊙O于點E，連接CE，并延長交線段AB于點F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AB＝10，tanB=43，求⊙（3）若F是AB的中點，試探究BD+CE與AF的數(shù)量關系并說明理由．46．（2020?遂寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點，以AD為直徑的⊙O交BC于點E，交AC于點F，過點C作CG⊥AB交AB于點G，交AE于點H，過點E的弦EP交AB于點Q（EP不是直徑），點Q為弦EP的中點，連結BP，BP恰好為⊙O的切線．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）求證：EF=（3）若sin∠ABC═35，AC＝15，求四邊形CHQE47．（2020?臺州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD，連接CD交AB于點M．E是線段CM上的點，連接BE．F是△BDE的外接圓與AD的另一個交點，連接EF，BF．（1）求證：△BEF是直角三角形；（2）求證：△BEF∽△BCA；（3）當AB＝6，BC＝m時，在線段CM上存在點E，使得EF和AB互相平分，求m的值．48．（2020?杭州）如圖，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點E，點F是半徑OC的中點，連接EF．（1）設⊙O的半徑為1，若∠BAC＝30°，求線段EF的長．（2）連接BF，DF，設OB與EF交于點P，①求證：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度數(shù)．49．（2020?寧波）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連結BF并延長交CD的延長線于點E．求證：∠BEC是△ABC中∠（3）如圖3，在（2）的條件下，連結AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．50．（2020?蘇州）如圖，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點，OA＝8cm．動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運動，與此同時，動點Q從點O出發(fā)，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運動．連接PQ，交OT于點B．經(jīng)過O、P、Q三點作圓，交OT于點C，連接PC、QC．設運動時間為t（s），其中0＜t＜8．（1）求OP+OQ的值；（2）是否存在實數(shù)t，使得線段OB的長度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．（3）求四邊形OPCQ的面積．專題29幾何綜合壓軸問題【共50題】一．解答題（共50小題）1．（2020?天水）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長度之比為3：1．理解運用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+23，則它的面積為3；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長．類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為2sinα：1．（用含α的式子表示）【分析】性質(zhì)探究：如圖1中，過點C作CD⊥AB于D．解直角三角形求出AB（用AC表示）即可解決問題．理解運用：①利用性質(zhì)探究中的結論，設CA＝CB＝m，則AB=3m，構建方程求出m②如圖2中，連接FH．求出FH，利用三角形中位線定理解決問題即可．類比拓展：利用等腰三角形的性質(zhì)求出AB與AC的關系即可．【解析】性質(zhì)探究：如圖1中，過點C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∴AB＝2AD＝2AC?cos30°=3AC∴AB：AC=3故答案為3：1．理解運用：（1）設CA＝CB＝m，則AB=3m由題意2m+3m＝4+23∴m＝2，∴AC＝CB＝2，AB＝23，∴AD＝DB=3，CD＝AC∴S△ABC=12?AB?CD故答案為3．（2）如圖2中，連接FH．∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°，∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴△EFH是頂角為120°的等腰三角形，∴FH=3EF＝203∵FM＝MG．GN＝GH，∴MN=12FH＝10類比拓展：如圖1中，過點C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α∴AB＝2AD＝2AC?sinα∴AB：AC＝2sinα：1．故答案為2sinα：1．2．（2020?青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G．特例感知：（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過點B．通過觀察、測量BF與CG的長度，得到BF＝CG．請給予證明．猜想論證：（2）當三角尺沿AC方向移動到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點D，過點D作DE⊥BA垂足為E．此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想．聯(lián)系拓展：（3）當三角尺在圖2的基礎上沿AC方向繼續(xù)移動到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）【分析】（1）證明△FAB≌△GAC即可解決問題．（2）結論：CG＝DE+DF．利用面積法證明即可．（3）結論不變，證明方法類似（2）．【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，∴△FAB≌△GAC（AAS），∴FB＝CG．（2）解：結論：CG＝DE+DF．理由：如圖2中，連接AD．∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，∴12?AB?CG=12?AB?DE+12∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．（3）解：結論不變：CG＝DE+DF．理由：如圖3中，連接AD．∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，∴12?AB?CG=12?AB?DE+12∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．3．（2020?河北）如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．點K在AC邊上，點M，N分別在AB，BC上，且AM＝CN＝2．點P從點M出發(fā)沿折線MB﹣BN勻速移動，到達點N時停止；而點Q在AC邊上隨P移動，且始終保持∠APQ＝∠（1）當點P在BC上時，求點P與點A的最短距離；（2）若點P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下4：5兩部分時，求MP的長；（3）設點P移動的路程為x，當0≤x≤3及3≤x≤9時，分別求點P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；（4）在點P處設計并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點P從M到B再到N共用時36秒．若AK=94，請直接寫出點【分析】（1）如圖1中，過點A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．（3）分兩種情形：當0≤x≤3時，當3＜x≤9時，分別畫出圖形求解即可．（4）求出CK的長度，以及CQ的最大值，利用路程與速度的關系求解即可．【解析】（1）如圖1中，過點A作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，∴tan∠B＝tan∠C=AH∴AH＝3，AB＝AC=A∴當點P在BC上時，點P到A的最短距離為3．（2）如圖1中，∵∠APQ＝∠B，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵PQ將△ABC的面積分成上下4：5，∴S△APQS△ABC=（AP∴APAB∴AP=10∴PM＝AP＝AM=103-（3）當0≤x≤3時，如圖1﹣1中，過點P作PJ⊥CA交CA的延長線于J．∵PQ∥BC，∴APAB=PQBC，∠∴x+25∴PQ=85（∵sin∠AQP＝sin∠C=3∴PJ＝PQ?sin∠AQP=2425（當3＜x≤9時，如圖2中，過點P作PJ⊥AC于J．同法可得PJ＝PC?sin∠C=35（11﹣（4）由題意點P的運動速度=9當3＜x≤9時，設CQ＝y(tǒng)．∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B，∴∠BAP＝∠CPQ，∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCQ，∴ABCP∴511-x∴y=-15（x﹣7）2∵-1∴x＝7時，y有最大值，最大值=16∵AK=9∴CK＝5-當y=114時，114=-15解得x＝7±32∴點K被掃描到的總時長＝（114+6﹣3）4．（2020?襄陽）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，點D在邊BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交邊BC于點F，連接CE．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當AD＝AF時，①求證：BD＝CF；②推斷：∠ACE＝90°；（2）探究證明：如圖2，當AD≠AF時，請?zhí)骄俊螦CE的度數(shù)是否為定值，并說明理由；（3）拓展運用：如圖3，在（2）的條件下，當EFAF=13時，過點D作AE的垂線，交AE于點P，交AC于點K，若CK【分析】（1）①證明△ABD≌△ACF（AAS）可得結論．②利用四點共圓的性質(zhì)解決問題即可．（2）結論不變．利用四點共圓證明即可．（3）如圖3中，連接EK．首先證明AB＝AC＝3EC，設EC＝a，則AB＝AC＝3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解決問題．【解答】（1）①證明：如圖1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD＝CF．②結論：∠ACE＝90°．理由：如圖1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四點共圓，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．故答案為90．（2）結論：∠ACE＝90°．理由：如圖2中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四點共圓，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．（3）如圖3中，連接EK．∵∠BAC+∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴ECAB=EFAF=13，設EC＝a，則AB＝AC＝3∵DA＝DE，DK⊥AE，∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a-16∵EK2＝CK2+EC2，∴（3a-163）2＝（163）2+解得a＝4或0（舍棄），∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE=AC2∴DP＝PA＝PE=12AE＝210，EF=1∴PF＝FE=10∵∠DPF＝90°，∴DF=DP25．（2020?牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，點D，E在射線BA上，BD＝DE，過點E作EF∥BC，交射線CA于點F．請解答下列問題：（1）當點E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時，如圖①，求證：AE+BC＝CF；（提示：延長CD，F(xiàn)E交于點M．）（2）當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時，如圖②；當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時，如圖③，請直接寫出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量關系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若DE＝2AE＝6，則CF＝18或6．【分析】（1）延長CD，F(xiàn)E交于點M．利用AAS證明△MED≌△CBD，得到ME＝BC，并利用角平分線加平行的模型證明CF＝MF，AE＝EF，從而得證；（2）延長CD，EF交于點M．類似于（1）的方法可證明當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時，BC＝AE+CF，當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時，AE＝CF+BC；（3）先求出AE，AB，即可利用線段的和差求出答案．【解析】（1）如圖①，延長CD，F(xiàn)E交于點M．∵AB＝BC，EF∥BC，∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，∴AE＝EF，∴MF∥BC，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF，又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，即AE+BC＝CF；（2）當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時，BC＝AE+CF，如圖②，延長CD，EF交于點M．由①同理可證△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，由①證明過程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時，AE＝CF+BC．如圖③，延長CD交EF于點M，由上述證明過程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，又∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB，∴EF＝AE，∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；（3）CF＝18或6，當DE＝2AE＝6時，圖①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15，∴CF＝AE+BC＝3+15＝18；圖②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9，∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6；圖③中，DE小于AE，故不存在．故答案為18或6．6．（2020?遼陽）如圖，射線AB和射線CB相交于點B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．點D是射線CB上的動點（點D不與點C和點B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點E，使∠AEC＝α，連接CE，BE．（1）如圖①，當點D在線段CB上，α＝90°時，請直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）如圖②，當點D在線段CB上，α＝120°時，請寫出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）當α＝120°，tan∠DAB=13時，請直接寫出【分析】（1）連接AC，證A、B、E、C四點共圓，由圓周角定理得出∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，證出△ABC是等腰直角三角形，則∠CAB＝45°，進而得出結論；（2）在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點B作BH⊥EF于H，證△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性質(zhì)得出FH＝EH，由三角函數(shù)定義得出FH＝EH=32（3）由（2）得FH＝EH=32BE，由三角函數(shù)定義得出AH＝3BH=32【解析】（1）連接AC，如圖①所示：∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四點共圓，∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；（2）AE=3BE+CE在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點B作BH⊥EF于H，如圖②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，AF=CE∠A=∠C∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF=12×（180°﹣∠FBE∵BH⊥EF，∴∠BHE＝90°，F(xiàn)H＝EH，在Rt△BHE中，BH=12BE，F(xiàn)H＝EH=3BH∴EF＝2EH＝2×32BE=∵AE＝EF+AF，AF＝CE，∴AE=3BE+CE（3）分兩種情況：①當點D在線段CB上時，在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點B作BH⊥EF于H，如圖②所示：由（2）得：FH＝EH=32∵tan∠DAB=BH∴AH＝3BH=32∴CE＝AF＝AH﹣FH=32BE-32∴CEBE②當點D在線段CB的延長線上時，在射線AD上截取AF＝CE，連接BF，過點B作BH⊥EF于H，如圖③所示：同①得：FH＝EH=32BE，AH＝3BH=∴CE＝AF＝AH+FH=32BE+32∴CEBE綜上所述，當α＝120°，tan∠DAB=13時，CEBE的值為3-7．（2020?涼山州）如圖，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發(fā)．（1）如圖1，連接AQ、CP．求證：△ABQ≌△CAP；（2）如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，AQ、CP相交于點M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)；（3）如圖2，當點P、Q在AB、BC的延長線上運動時，直線AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP即可；（2）先判定△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝60°；（3）先判定△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝120°．【解析】（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵點P、Q運動速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，AB=CA∠ABQ=∠CPA∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）點P、Q在AB、BC邊上運動的過程中，∠QMC不變．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如圖2，點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動時，∠QMC不變理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，∠QMC的度數(shù)為120°．8．（2020?泰安）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點F是線段CE上一點．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過探究，得到結論：BD⊥DF．你認為此結論是否成立？是．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結論互換，即：BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長．【分析】（1）證明∠FDC+∠BDC＝90°可得結論．（2）結論成立：利用等角的余角相等證明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再證明FD＝FC即可解決問題．（3）如圖3中，取EC的中點G，連接GD．則GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解析】（1）如圖（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．故答案為是．（2）結論成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴點F是EC的中點．（3）如圖3中，取EC的中點G，連接GD．則GD⊥BD．∴DG=12EC∵BD＝AB＝6，在Rt△BDG中，BG=D∴CB=15在Rt△ABC中，AC=AB2∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC，∴ACEC∴35∴CD=9∴AD＝AC+CD＝35+9．（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當D，B，F(xiàn)共線時，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當D，B，F(xiàn)不共線時，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】（1）①證明△CBP是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線可得結論；②根據(jù)同位角相等可得BC∥EF，由平行線的性質(zhì)得BP⊥EF，可得EF是線段BP的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如圖2，延長DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，F(xiàn)Q，證明△QEP≌△DEC（SAS），則PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分線，證明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分線，可得結論．【解答】證明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點，AC∥DM，∴BMBC即M是BC的中點，∵EP＝CE，即E是PC的中點，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE=12PC＝②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是線段BP的垂直平分線，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如圖2，延長DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，F(xiàn)Q，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），則PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分線，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分線，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2020?黔東南州）如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請說明理由．拓展運用（2）若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長．（3）若B、C、E三點在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長．【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計算AE的長，可得BD的長；（3）如圖2，過A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長．【解析】（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，CD=CE∠BCD=∠ACE∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴AE=A∴BD=13（3）如圖2，過A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三點在一條直線上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF=AF∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×3∴S△ACD=1∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×1FD＝CD﹣CF＝2-1在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2=(3∴AD=311．（2020?金華）如圖，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC邊上的高線長．（2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數(shù)．②如圖3，連結AP，當PF⊥AC時，求AP的長．【分析】（1）如圖1中，過點A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．（2）①證明BE＝EP，可得∠EPB＝∠B＝45°解決問題．②如圖3中，由（1）可知：AC=ADsin60°=833，證明△AEF∽△【解析】（1）如圖1中，過點A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，AD＝AB?sin45°＝42×（2）①如圖2中，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．②如圖3中，由（1）可知：AC=AD∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AFAB=AE∴AF＝23，在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP=2AF＝26方法二：AE＝BE＝PE可得直角三角形ABP，由PF⊥AC，可得∠AFE＝45°，可得∠FAP＝45°，即∠PAB＝30°．AP＝ABcos30°＝26．12．（2020?江西）某數(shù)學課外活動小組在學習了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關系問題”進行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為斜邊向外側作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，則面積S1，S2，S3之間的關系式為S1+S2＝S3；推廣驗證（2）如圖3，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為邊向外側作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，則（1）中所得關系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由；拓展應用（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝23，DE＝2，點P在AE上，∠ABP＝30°，PE=2，求五邊形ABCDE【分析】類比探究（1）通過證明△ADB∽△BFC，可得S△ADBS△BFC=（ABBC）2，同理可得S△AECS△BFC=（ACBC）2推廣驗證（2）通過證明△ADB∽△BFC，可得S△ADBS△BFC=（ABBC）2，同理可得S△AECS△BFC=（ACBC）2拓展應用（3）過點A作AH⊥BP于H，連接PD，BD，由直角三角形的性質(zhì)可求AP=6，BP＝BH+PH＝3+3，可求S△ABP=33+32，通過證明△ABP∽△EDP，可得∠EPD＝∠APB＝45°，PDBP=PEAP=33，S△PDE=3+12，可得∠BPD＝90°，PD＝1+3，可求S△BPD＝2【解析】類比探究（1）∵∠1＝∠3，∠D＝∠F＝90°，∴△ADB∽△BFC，∴S△ADBS△BFC=（同理可得：S△AECS△BFC=（∵AB2+AC2＝BC2，∴S1S3+S2S3=（∴S1+S2＝S3，故答案為：S1+S2＝S3．（2）結論仍然成立，理由如下：∵∠1＝∠3，∠D＝∠F，∴△ADB∽△BFC，∴S△ADBS△BFC=（同理可得：S△AECS△BFC=（∵AB2+AC2＝BC2，∴S1S3+S2S3=（∴S1+S2＝S3，（3）過點A作AH⊥BP于H，連接PD，BD，∵∠ABH＝30°，AB＝23，∴AH=3，BH＝3，∠BAH∵∠BAP＝105°，∴∠HAP＝45°，∵AH⊥BP，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴PH＝AH=3∴AP=6，BP＝BH+PH＝3+∴S△ABP=BP?AH∵PE=2，ED＝2，AP=6，AB＝2∴PEAP=2∴PEAP且∠E＝∠BAP＝105°，∴△ABP∽△EDP，∴∠EPD＝∠APB＝45°，PDBP∴∠BPD＝90°，PD＝1+3∴S△BPD=BP?PD2=∵△ABP∽△EDP，∴S△PDES△ABP=（3∴S△PDE=∵tan∠PBD=PD∴∠PBD＝30°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠CBD＝30°，∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD，又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°，∴△ABP∽△EDP∽△CBD，由（2）的結論可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE=33+3∴五邊形ABCDE的面積=33+32+3+113．（2020?衡陽）如圖1，平面直角坐標系xOy中，等腰△ABC的底邊BC在x軸上，BC＝8，頂點A在y的正半軸上，OA＝2，一動點E從（3，0）出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB向左運動，到達OB的中點停止．另一動點F從點C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運動，到達點O停止．已知點E、F同時出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同側，設運動的時間為t秒（t≥0）．（1）當點H落在AC邊上時，求t的值；（2）設正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，請問是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出（3）如圖2，取AC的中點D，連結OD，當點E、F開始運動時，點M從點O出發(fā)，以每秒25個單位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO運動，到達點O停止運動．請問在點E的整個運動過程中，點M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點M在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．（2）由題意，在E，F(xiàn)的運動過程中，開始正方形EFGH的邊長為1，因為正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，S=9136，推出此時點F與O重合，已經(jīng)停止運動，如圖1﹣2中，重疊部分是五邊形（3）分別求出點M第一次和第二次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時長即可解決問題．【解析】（1）如圖1﹣1中，由題意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，當點H落在AC上時，∵EH∥OA，∴CECO∴CE4∴CE＝2，∴點E的運動路程為1，∴t＝1時，點E落在AC上．（2）由題意，在E，F(xiàn)的運動過程中，開始正方形EFGH的邊長為1，∵正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，S=91∴此時點F與O重合，已經(jīng)停止運動，如圖1﹣2中，重疊部分是五邊形OEKJG．由題意：（t﹣3）2-12?3t-132?（3t整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t=143或∴滿足條件的t的值為143（3）如圖3﹣1中，當點M第一次落在EH上時，4t+t＝3，t=當點M第一次落在FG上時，4t+t＝4，t=4∴點M第一次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時長=45-當點M第二次落在FG上時，4t﹣t＝4，t=4當點M第二次落在EH上時，4t﹣（t+1）＝4，t=5點M第二次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時長=5∴點M落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的總時長=15+14．（2020?青島）已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延長DC交EF于點M．點P從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點M出發(fā)，沿MF方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作GH⊥AB于點H，交CD于點G．設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當t為何值時，點M在線段CQ的垂直平分線上？（2）連接PQ，作QN⊥AF于點N，當四邊形PQNH為矩形時，求t的值；（3）連接QC，QH，設四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關系式；（4）點P在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點P在∠AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由平行線分線段成比例可得CMBF=CEBE，可求CM的長，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得（2）利用銳角三角函數(shù)分別求出PH=65t，QN＝6-（3）利用面積的和差關系可得S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，即可求解；（4）連接PF，延長AC交EF于K，由“SSS”可證△ABC≌△EBF，可得∠E＝∠CAB，可證∠ABC＝∠EKC＝90°，由面積法可求CK的長，由角平分線的性質(zhì)可求解．【解析】（1）∵AB∥CD，∴CMBF∴8-68∴CM=3∵點M在線段CQ的垂直平分線上，∴CM＝MQ，∴1×t=3∴t=3（2）如圖1，過點Q作QN⊥AF于點N，∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，∴AC=AB2+BC2=64+36=10∵CE＝2cm，CM=32∴EM=EC∵sin∠PAH＝sin∠CAB，∴BCAC∴610∴PH=65同理可求QN＝6-45∵四邊形PQNH是矩形，∴PH＝NQ，∴6-45t=∴t＝3；∴當t＝3時，四邊形PQNH為矩形；（3）如圖2，過點Q作QN⊥AF于點N，由（2）可知QN＝6-45∵cos∠PAH＝cos∠CAB，∴AHAP∴AH2t∴AH=85∵四邊形QCGH的面積為S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，∴S=12×6×（8-85t+6+8-85t+32）-12×32×[6﹣（6-45（4）存在，理由如下：如圖3，連接PF，延長AC交EF于K，∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，∴△ABC≌△EBF（SSS），∴∠E＝∠CAB，又∵∠ACB＝∠ECK，∴∠ABC＝∠EKC＝90°，∵S△CEM=12×EC×CM=1∴CK=2×∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，∴PH＝PK，∴65t＝10﹣2t+∴t=7∴當t=72時，使點P在∠15．（2020?山西）綜合與實踐問題情境：如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點A的對應點為點C）．延長AE交CE′于點F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE'的數(shù)量關系并加以證明；解決問題：（3）如圖①，若AB＝15，CF＝3，請直接寫出DE的長．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可證四邊形BE'FE是正方形；（2）過點D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得AH=12AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE=12AE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得（3）利用勾股定理可求BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求DE的長．【解析】（1）四邊形BE'FE是正方形，理由如下：∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四邊形BE'FE是矩形，又∵BE＝BE'，∴四邊形BE'FE是正方形；（2）CF＝E'F；理由如下：如圖②，過點D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH=12AE，DH⊥∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE=12∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，∴AE＝CE'，∵四邊形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F=12∴CF＝E'F；（3）如圖①，過點D作DH⊥AE于H，∵四邊形BE'FE是正方形，∴BE'＝E'F＝BE，∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，∴225＝E'B2+（E'B+3）2，∴E'B＝9＝BE，∴CE'＝CF+E'F＝12，由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，∴HE＝3，∴DE=DH2+HE16．（2020?內(nèi)江）如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，