專題29幾何綜合壓軸問(wèn)題（共50題）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（含答案）全國(guó)

專題29幾何綜合壓軸問(wèn)題（共50題）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（含答案）【全國(guó)通用】專題29幾何綜合壓軸問(wèn)題【共50題】一．解答題（共50小題）1．（2020?天水）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長(zhǎng)度之比為．理解運(yùn)用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長(zhǎng)為4+23，則它的面積為；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點(diǎn)M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長(zhǎng)．類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長(zhǎng)度之比為．（用含α的式子表示）2．（2020?青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．特例感知：（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，得到BF＝CG．請(qǐng)給予證明．猜想論證：（2）當(dāng)三角尺沿AC方向移動(dòng)到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA垂足為E．此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．聯(lián)系拓展：（3）當(dāng)三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動(dòng)到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，請(qǐng)你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）3．（2020?河北）如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．點(diǎn)K在AC邊上，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且AM＝CN＝2．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿折線MB﹣BN勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng)，且始終保持∠APQ＝∠（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離；（2）若點(diǎn)P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下4：5兩部分時(shí)，求MP的長(zhǎng)；（3）設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x，當(dāng)0≤x≤3及3≤x≤9時(shí)，分別求點(diǎn)P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；（4）在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點(diǎn)P從M到B再到N共用時(shí)36秒．若AK=94，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)4．（2020?襄陽(yáng)）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交邊BC于點(diǎn)F，連接CE．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)AD＝AF時(shí)，①求證：BD＝CF；②推斷：∠ACE＝°；（2）探究證明：如圖2，當(dāng)AD≠AF時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦CE的度數(shù)是否為定值，并說(shuō)明理由；（3）拓展運(yùn)用：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)EFAF=13時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線，交AE于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)K，若CK5．（2020?牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D，E在射線BA上，BD＝DE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交射線CA于點(diǎn)F．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，如圖①，求證：AE+BC＝CF；（提示：延長(zhǎng)CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M．）（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的外角平分線時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若DE＝2AE＝6，則CF＝．6．（2020?遼陽(yáng)）如圖，射線AB和射線CB相交于點(diǎn)B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．點(diǎn)D是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點(diǎn)E，使∠AEC＝α，連接CE，BE．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α＝120°時(shí)，請(qǐng)寫出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)α＝120°，tan∠DAB=13時(shí)，請(qǐng)直接寫出7．（2020?涼山州）如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)．（1）如圖1，連接AQ、CP．求證：△ABQ≌△CAP；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ、CP相交于點(diǎn)M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)．8．（2020?泰安）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對(duì)頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點(diǎn)F是線段CE上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：BD⊥DF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長(zhǎng)．9．（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過(guò)點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長(zhǎng)CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2020?黔東南州）如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展運(yùn)用（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(zhǎng)．（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長(zhǎng)．11．（2020?金華）如圖，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC邊上的高線長(zhǎng)．（2）點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連結(jié)EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠AEP的度數(shù)．②如圖3，連結(jié)AP，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求AP的長(zhǎng)．12．（2020?江西）某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為斜邊向外側(cè)作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，則面積S1，S2，S3之間的關(guān)系式為；推廣驗(yàn)證（2）如圖3，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為邊向外側(cè)作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝23，DE＝2，點(diǎn)P在AE上，∠ABP＝30°，PE=2，求五邊形ABCDE13．（2020?衡陽(yáng)）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰△ABC的底邊BC在x軸上，BC＝8，頂點(diǎn)A在y的正半軸上，OA＝2，一動(dòng)點(diǎn)E從（3，0）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)OB的中點(diǎn)停止．另一動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止．已知點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．（1）當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí)，求t的值；（2）設(shè)正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，請(qǐng)問(wèn)是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出（3）如圖2，取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)OD，當(dāng)點(diǎn)E、F開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒25個(gè)單位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)問(wèn)在點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點(diǎn)M在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）的時(shí)長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2020?青島）已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點(diǎn)C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，沿MF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．過(guò)點(diǎn)P作GH⊥AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上？（2）連接PQ，作QN⊥AF于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PQNH為矩形時(shí)，求t的值；（3）連接QC，QH，設(shè)四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（4）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P在∠AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2020?山西）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長(zhǎng)AE交CE′于點(diǎn)F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，若DA＝DE，請(qǐng)猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問(wèn)題：（3）如圖①，若AB＝15，CF＝3，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．16．（2020?內(nèi)江）如圖，正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連結(jié)BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連結(jié)QP交BC于點(diǎn)E，QP延長(zhǎng)線與邊AD交于點(diǎn)F．（1）連結(jié)CQ，求證：AP＝CQ；（2）若AP=14AC，求CE：（3）求證：PF＝EQ．17．（2020?郴州）如圖1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG，CE．將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，①判斷△AGD與△CED是否全等，并說(shuō)明理由；②當(dāng)CE＝CD時(shí)，AG與EF交于點(diǎn)H，求GH的長(zhǎng)．（2）如圖3，延長(zhǎng)CE交直線AG于點(diǎn)P．①求證：AG⊥CP；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段PC的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2020?湘西州）問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FC到G，使CG＝AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交AD、DC于E、F，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說(shuō)明理由；探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處．艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處．且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為70°．試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．19．（2020?揚(yáng)州）如圖1，已知點(diǎn)O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，與BD交于點(diǎn)G，AC分別與BD、OD交于點(diǎn)E、F．（1）求證：OC∥AD；（2）如圖2，若DE＝DF，求AEAF（3）當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)取最大值時(shí)，求DEDF20．（2020?臨沂）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ABC＝60°，點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點(diǎn)F，G，AE，EF的中點(diǎn)分別為M，N．（1）求證：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CEF的大小是否變化？為什么？21．（2020?岳陽(yáng)）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從C點(diǎn)，A點(diǎn)同時(shí)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度出發(fā)，且分別在邊CA，AB上沿C→A，A→B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），連接PQ，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PQ，PE與邊BC相交于點(diǎn)E，連接QE．（1）如圖2，當(dāng)t＝5s時(shí)，延長(zhǎng)EP交邊AD于點(diǎn)F．求證：AF＝CE；（2）在（1）的條件下，試探究線段AQ，QE，CE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，當(dāng)t＞94s時(shí)，延長(zhǎng)EP交邊AD于點(diǎn)F，連接FQ，若FQ平分∠AFP，求22．（2020?天津）將一個(gè)直角三角形紙片OAB放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)P在邊OB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，B重合）．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)OP＝1時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，并與x軸的正半軸相交于點(diǎn)Q，且OQ＝OP，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O'，設(shè)OP＝t．①如圖②，若折疊后△O'PQ與△OAB重疊部分為四邊形，O'P，O'Q分別與邊AB相交于點(diǎn)C，D，試用含有t的式子表示O'D的長(zhǎng)，并直接寫出t的取值范圍；②若折疊后△O'PQ與△OAB重疊部分的面積為S，當(dāng)1≤t≤3時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．23．（2020?南京）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹荆騦同側(cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓嚧_定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短．（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，線段A'B與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，所得路線ACB是最短的．為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點(diǎn)C'，連接AC'、BC'，證明AC+CB＜AC′+C'B．請(qǐng)完成這個(gè)證明．（2）如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^(guò)該區(qū)域．請(qǐng)分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說(shuō)明理由）．①生態(tài)保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．24．（2020?河南）將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于直線BB′，垂足為點(diǎn)E，連接DB′，CE．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，△DEB′的形狀為，連接BD，可求出BB'CE的值為（2）當(dāng)0°＜α＜360°且α≠90°時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)以點(diǎn)B′，E，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BEB'E25．（2020?達(dá)州）（1）[閱讀與證明]如圖1，在正△ABC的外角∠CAH內(nèi)引射線AM，作點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在∠CAH內(nèi)），連接BE，BE、CE分別交AM于點(diǎn)F、G．①完成證明：∵點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝°．②求證：BF＝AF+2FG．（2）[類比與探究]把（1）中的“正△ABC”改為“正方形ABDC”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①∠FEG＝°；②線段BF、AF、FG之間存在數(shù)量關(guān)系．（3）[歸納與拓展]如圖3，點(diǎn)A在射線BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH內(nèi)引射線AM，作點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在∠CAH內(nèi)），連接BE，BE、CE分別交AM于點(diǎn)F、G．則線段BF、AF、GF之間的數(shù)量關(guān)系為．26．（2020?齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐在線上教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識(shí)，掌握了許多新技能．例如教材八年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)﹣﹣折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣．在經(jīng)歷圖形變換的過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展了同學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）線段AN的垂直平分線；請(qǐng)判斷圖中△ABN是什么特殊三角形？答：；進(jìn)一步計(jì)算出∠MNE＝°；（2）繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖②，則∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如圖③，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，并且折痕交BC邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平，連接AA'交ST于點(diǎn)O，連接AT．求證：四邊形SATA'是菱形．解決問(wèn)題：（4）如圖④，矩形紙片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，并且折痕交AB邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平．同學(xué)們小組討論后，得出線段AT的長(zhǎng)度有4，5，7，9．請(qǐng)寫出以上4個(gè)數(shù)值中你認(rèn)為正確的數(shù)值．27．（2020?濟(jì)寧）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，點(diǎn)H是線段AF上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）．（1）求證：△AEH≌△AGH；（2）當(dāng)AB＝12，BE＝4時(shí)．①求△DGH周長(zhǎng)的最小值；②若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3．若存在，請(qǐng)求出AHAF28．（2020?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，M為AB的中點(diǎn)，△MBE為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作ME的垂線分別與邊AD、BC相交于點(diǎn)F、G，點(diǎn)P、Q分別在線段EF、BC上運(yùn)動(dòng)，且滿足∠PMQ＝60°，連接PQ．（1）求證：△MEP≌△MBQ．（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段GC上時(shí)，試判斷PF+GQ的值是否變化？如果不變，求出這個(gè)值，如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）設(shè)∠QMB＝α，點(diǎn)B關(guān)于QM的對(duì)稱點(diǎn)為B'，若點(diǎn)B'落在△MPQ的內(nèi)部，試寫出α的范圍，并說(shuō)明理由．29．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，AE＝AD．EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AF＝AB．（1）求證：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的長(zhǎng)；（3）如圖2，連接AG，求證：EG﹣DG=2AG30．（2020?綏化）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)G在邊BC上，連接AG，作DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F，連接BE、DF，設(shè)∠EDF＝α，∠EBF＝β，BGBC=（1）求證：AE＝BF；（2）求證：tanα＝k?tanβ；（3）若點(diǎn)G從點(diǎn)B沿BC邊運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止，求點(diǎn)E，F(xiàn)所經(jīng)過(guò)的路徑與邊AB圍成的圖形的面積．31．（2020?德州）問(wèn)題探究：小紅遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是：；（2）AD的取值范圍是；方法運(yùn)用：（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．（4）如圖3，在矩形ABCD中，ABBC=12，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且EFBE=12，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接32．（2020?樂(lè)山）點(diǎn)P是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過(guò)點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F．點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，線段OE和OF的關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形并通過(guò)證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖3，點(diǎn)P在線段OA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠OEF＝30°時(shí)，試探究線段CF、AE、OE之間的關(guān)系．33．（2020?成都）在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處．（1）如圖1，若BC＝2BA，求∠CBE的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)AB＝5，且AF?FD＝10時(shí)，求BC的長(zhǎng)；（3）如圖3，延長(zhǎng)EF，與∠ABF的角平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF＝AN+FD時(shí)，求ABBC34．（2020?貴陽(yáng)）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)．（1）問(wèn)題解決：如圖①，連接BO，分別取CB，BO的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）問(wèn)題探究：如圖②，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到的三角形，連接CE，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．判斷△PQB的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到的三角形，連接BO'，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求△PQB的面積．35．（2020?黑龍江）以Rt△ABC的兩邊AB、AC為邊，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，延長(zhǎng)MA交EG于點(diǎn)N．（1）如圖①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易證：EN＝GN；（2）如圖②，∠BAC＝90°；如圖③，∠BAC≠90°，（1）中結(jié)論，是否成立，若成立，選擇一個(gè)圖形進(jìn)行證明；若不成立，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．36．（2020?衢州）【性質(zhì)探究】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說(shuō)明理由．（2）求證：BF＝2OG．【遷移應(yīng)用】（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)S1S2【拓展延伸】（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F，【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的110時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠BAE37．（2020?嘉興）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合（如圖1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進(jìn)行如下研究活動(dòng)．活動(dòng)一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結(jié)AE，BD（如圖2），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長(zhǎng)．活動(dòng)二：在圖3中，取AD的中點(diǎn)O，再將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度（0≤α≤90），連結(jié)OB，OE（如圖4）．【探究】當(dāng)EF平分∠AEO時(shí)，探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．38．（2020?孝感）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接CD并延長(zhǎng)與⊙O過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)F，記∠BAC＝α．（1）如圖1，若α＝60°，①直接寫出DFDC的值為②當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，直接寫出圖中陰影部分的面積為；（2）如圖2，若α＜60°，且DFDC=23，39．（2020?鄂州）如圖所示：⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)C，與AC、AB分別交于點(diǎn)D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直徑．連接OE，過(guò)C作CG∥OE交⊙O于G，連接DG、EC，DG與EC交于點(diǎn)F．（1）求證：直線AB與⊙O相切；（2）求證：AE?ED＝AC?EF；（3）若EF＝3，tan∠ACE=12時(shí)，過(guò)A作AN∥CE交⊙O于M、N兩點(diǎn)（M在線段AN上），求40．（2020?長(zhǎng)沙）如圖，半徑為4的⊙O中，弦AB的長(zhǎng)度為43，點(diǎn)C是劣弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弦BC的中點(diǎn)，連接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)C沿著劣弧AB從點(diǎn)A開始，逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求△ODE的外心P所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度；（3）分別記△ODE，△CDE的面積為S1，S2，當(dāng)S12﹣S22＝21時(shí)，求弦AC的長(zhǎng)度．41．（2020?廣元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓交BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，求證：AB為⊙O的切線；（2）如圖2，AB與⊙O相切于點(diǎn)E，連接CE交OA于點(diǎn)F．①試判斷線段OA與CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．42．（2020?連云港）（1）如圖1，點(diǎn)P為矩形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面積為S1，△CFP的面積為S2，則S1+S2＝；（2）如圖2，點(diǎn)P為?ABCD內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)P不在BD上），點(diǎn)E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)．設(shè)四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PFCG的面積為S2（其中S2＞S1），求△PBD的面積（用含S1、S2的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，點(diǎn)P為?ABCD內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)P不在BD上），過(guò)點(diǎn)P作EF∥AD，HG∥AB，與各邊分別相交于點(diǎn)E、F、G、H．設(shè)四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PGCF的面積為S2（其中S2＞S1），求△PBD的面積（用含S1、S2的代數(shù)式表示）；（4）如圖4，點(diǎn)A、B、C、D把⊙O四等分．請(qǐng)你在圓內(nèi)選一點(diǎn)P（點(diǎn)P不在AC、BD上），設(shè)PB、PC、BC圍成的封閉圖形的面積為S1，PA、PD、AD圍成的封閉圖形的面積為S2，△PBD的面積為S3，△PAC的面積為S4，根據(jù)你選的點(diǎn)P的位置，直接寫出一個(gè)含有S1、S2、S3、S4的等式（寫出一種情況即可）．43．（2020?內(nèi)江）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）設(shè)OE交⊙O于點(diǎn)F，若DF＝2，BC＝43，求線段EF的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．44．（2020?哈爾濱）已知：⊙O是△ABC的外接圓，AD為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為E，連接BO，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，求證：∠BFC＝3∠CAD；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF交⊙O于點(diǎn)G，點(diǎn)H為DG的中點(diǎn)，連接OH，求證：BE＝OH；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CG，若DG＝DE，△AOF的面積為925，求線段CG45．（2020?成都）如圖，在△ABC的邊BC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑畫⊙O，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，AC＝AD，連接OA交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，并延長(zhǎng)交線段AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AB＝10，tanB=43，求⊙（3）若F是AB的中點(diǎn)，試探究BD+CE與AF的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．46．（2020?遂寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E的弦EP交AB于點(diǎn)Q（EP不是直徑），點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)BP，BP恰好為⊙O的切線．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）求證：EF=（3）若sin∠ABC═35，AC＝15，求四邊形CHQE47．（2020?臺(tái)州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD，連接CD交AB于點(diǎn)M．E是線段CM上的點(diǎn)，連接BE．F是△BDE的外接圓與AD的另一個(gè)交點(diǎn)，連接EF，BF．（1）求證：△BEF是直角三角形；（2）求證：△BEF∽△BCA；（3）當(dāng)AB＝6，BC＝m時(shí)，在線段CM上存在點(diǎn)E，使得EF和AB互相平分，求m的值．48．（2020?杭州）如圖，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF．（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC＝30°，求線段EF的長(zhǎng)．（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，①求證：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度數(shù)．49．（2020?寧波）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：∠BEC是△ABC中∠（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．50．（2020?蘇州）如圖，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點(diǎn)，OA＝8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運(yùn)動(dòng)．連接PQ，交OT于點(diǎn)B．經(jīng)過(guò)O、P、Q三點(diǎn)作圓，交OT于點(diǎn)C，連接PC、QC．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），其中0＜t＜8．（1）求OP+OQ的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得線段OB的長(zhǎng)度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．（3）求四邊形OPCQ的面積．專題29幾何綜合壓軸問(wèn)題【共50題】一．解答題（共50小題）1．（2020?天水）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長(zhǎng)度之比為3：1．理解運(yùn)用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長(zhǎng)為4+23，則它的面積為3；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點(diǎn)M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長(zhǎng)．類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長(zhǎng)度之比為2sinα：1．（用含α的式子表示）【分析】性質(zhì)探究：如圖1中，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D．解直角三角形求出AB（用AC表示）即可解決問(wèn)題．理解運(yùn)用：①利用性質(zhì)探究中的結(jié)論，設(shè)CA＝CB＝m，則AB=3m，構(gòu)建方程求出m②如圖2中，連接FH．求出FH，利用三角形中位線定理解決問(wèn)題即可．類比拓展：利用等腰三角形的性質(zhì)求出AB與AC的關(guān)系即可．【解析】性質(zhì)探究：如圖1中，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∴AB＝2AD＝2AC?cos30°=3AC∴AB：AC=3故答案為3：1．理解運(yùn)用：（1）設(shè)CA＝CB＝m，則AB=3m由題意2m+3m＝4+23∴m＝2，∴AC＝CB＝2，AB＝23，∴AD＝DB=3，CD＝AC∴S△ABC=12?AB?CD故答案為3．（2）如圖2中，連接FH．∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°，∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴△EFH是頂角為120°的等腰三角形，∴FH=3EF＝203∵FM＝MG．GN＝GH，∴MN=12FH＝10類比拓展：如圖1中，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α∴AB＝2AD＝2AC?sinα∴AB：AC＝2sinα：1．故答案為2sinα：1．2．（2020?青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．特例感知：（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，得到BF＝CG．請(qǐng)給予證明．猜想論證：（2）當(dāng)三角尺沿AC方向移動(dòng)到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA垂足為E．此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．聯(lián)系拓展：（3）當(dāng)三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動(dòng)到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，請(qǐng)你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）【分析】（1）證明△FAB≌△GAC即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論：CG＝DE+DF．利用面積法證明即可．（3）結(jié)論不變，證明方法類似（2）．【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，∴△FAB≌△GAC（AAS），∴FB＝CG．（2）解：結(jié)論：CG＝DE+DF．理由：如圖2中，連接AD．∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，∴12?AB?CG=12?AB?DE+12∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．（3）解：結(jié)論不變：CG＝DE+DF．理由：如圖3中，連接AD．∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，∴12?AB?CG=12?AB?DE+12∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．3．（2020?河北）如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．點(diǎn)K在AC邊上，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且AM＝CN＝2．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿折線MB﹣BN勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng)，且始終保持∠APQ＝∠（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離；（2）若點(diǎn)P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下4：5兩部分時(shí)，求MP的長(zhǎng)；（3）設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x，當(dāng)0≤x≤3及3≤x≤9時(shí)，分別求點(diǎn)P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；（4）在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點(diǎn)P從M到B再到N共用時(shí)36秒．若AK=94，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)【分析】（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．（3）分兩種情形：當(dāng)0≤x≤3時(shí)，當(dāng)3＜x≤9時(shí)，分別畫出圖形求解即可．（4）求出CK的長(zhǎng)度，以及CQ的最大值，利用路程與速度的關(guān)系求解即可．【解析】（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，∴tan∠B＝tan∠C=AH∴AH＝3，AB＝AC=A∴當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，點(diǎn)P到A的最短距離為3．（2）如圖1中，∵∠APQ＝∠B，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵PQ將△ABC的面積分成上下4：5，∴S△APQS△ABC=（AP∴APAB∴AP=10∴PM＝AP＝AM=103-（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，如圖1﹣1中，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于J．∵PQ∥BC，∴APAB=PQBC，∠∴x+25∴PQ=85（∵sin∠AQP＝sin∠C=3∴PJ＝PQ?sin∠AQP=2425（當(dāng)3＜x≤9時(shí)，如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥AC于J．同法可得PJ＝PC?sin∠C=35（11﹣（4）由題意點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度=9當(dāng)3＜x≤9時(shí)，設(shè)CQ＝y(tǒng)．∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B，∴∠BAP＝∠CPQ，∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCQ，∴ABCP∴511-x∴y=-15（x﹣7）2∵-1∴x＝7時(shí)，y有最大值，最大值=16∵AK=9∴CK＝5-當(dāng)y=114時(shí)，114=-15解得x＝7±32∴點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長(zhǎng)＝（114+6﹣3）4．（2020?襄陽(yáng)）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交邊BC于點(diǎn)F，連接CE．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)AD＝AF時(shí)，①求證：BD＝CF；②推斷：∠ACE＝90°；（2）探究證明：如圖2，當(dāng)AD≠AF時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦CE的度數(shù)是否為定值，并說(shuō)明理由；（3）拓展運(yùn)用：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)EFAF=13時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線，交AE于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)K，若CK【分析】（1）①證明△ABD≌△ACF（AAS）可得結(jié)論．②利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）結(jié)論不變．利用四點(diǎn)共圓證明即可．（3）如圖3中，連接EK．首先證明AB＝AC＝3EC，設(shè)EC＝a，則AB＝AC＝3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解決問(wèn)題．【解答】（1）①證明：如圖1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD＝CF．②結(jié)論：∠ACE＝90°．理由：如圖1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四點(diǎn)共圓，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．故答案為90．（2）結(jié)論：∠ACE＝90°．理由：如圖2中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四點(diǎn)共圓，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．（3）如圖3中，連接EK．∵∠BAC+∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴ECAB=EFAF=13，設(shè)EC＝a，則AB＝AC＝3∵DA＝DE，DK⊥AE，∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a-16∵EK2＝CK2+EC2，∴（3a-163）2＝（163）2+解得a＝4或0（舍棄），∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE=AC2∴DP＝PA＝PE=12AE＝210，EF=1∴PF＝FE=10∵∠DPF＝90°，∴DF=DP25．（2020?牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D，E在射線BA上，BD＝DE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交射線CA于點(diǎn)F．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，如圖①，求證：AE+BC＝CF；（提示：延長(zhǎng)CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M．）（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的外角平分線時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若DE＝2AE＝6，則CF＝18或6．【分析】（1）延長(zhǎng)CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M．利用AAS證明△MED≌△CBD，得到ME＝BC，并利用角平分線加平行的模型證明CF＝MF，AE＝EF，從而得證；（2）延長(zhǎng)CD，EF交于點(diǎn)M．類似于（1）的方法可證明當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，BC＝AE+CF，當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的外角平分線時(shí)，AE＝CF+BC；（3）先求出AE，AB，即可利用線段的和差求出答案．【解析】（1）如圖①，延長(zhǎng)CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M．∵AB＝BC，EF∥BC，∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，∴AE＝EF，∴MF∥BC，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF，又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，即AE+BC＝CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，BC＝AE+CF，如圖②，延長(zhǎng)CD，EF交于點(diǎn)M．由①同理可證△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，由①證明過(guò)程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的外角平分線時(shí)，AE＝CF+BC．如圖③，延長(zhǎng)CD交EF于點(diǎn)M，由上述證明過(guò)程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，又∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB，∴EF＝AE，∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；（3）CF＝18或6，當(dāng)DE＝2AE＝6時(shí)，圖①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15，∴CF＝AE+BC＝3+15＝18；圖②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9，∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6；圖③中，DE小于AE，故不存在．故答案為18或6．6．（2020?遼陽(yáng)）如圖，射線AB和射線CB相交于點(diǎn)B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．點(diǎn)D是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點(diǎn)E，使∠AEC＝α，連接CE，BE．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α＝120°時(shí)，請(qǐng)寫出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)α＝120°，tan∠DAB=13時(shí)，請(qǐng)直接寫出【分析】（1）連接AC，證A、B、E、C四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，證出△ABC是等腰直角三角形，則∠CAB＝45°，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在AD上截取AF＝CE，連接BF，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于H，證△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性質(zhì)得出FH＝EH，由三角函數(shù)定義得出FH＝EH=32（3）由（2）得FH＝EH=32BE，由三角函數(shù)定義得出AH＝3BH=32【解析】（1）連接AC，如圖①所示：∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四點(diǎn)共圓，∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；（2）AE=3BE+CE在AD上截取AF＝CE，連接BF，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于H，如圖②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，AF=CE∠A=∠C∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF=12×（180°﹣∠FBE∵BH⊥EF，∴∠BHE＝90°，F(xiàn)H＝EH，在Rt△BHE中，BH=12BE，F(xiàn)H＝EH=3BH∴EF＝2EH＝2×32BE=∵AE＝EF+AF，AF＝CE，∴AE=3BE+CE（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，在AD上截取AF＝CE，連接BF，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于H，如圖②所示：由（2）得：FH＝EH=32∵tan∠DAB=BH∴AH＝3BH=32∴CE＝AF＝AH﹣FH=32BE-32∴CEBE②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，在射線AD上截取AF＝CE，連接BF，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于H，如圖③所示：同①得：FH＝EH=32BE，AH＝3BH=∴CE＝AF＝AH+FH=32BE+32∴CEBE綜上所述，當(dāng)α＝120°，tan∠DAB=13時(shí)，CEBE的值為3-7．（2020?涼山州）如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)．（1）如圖1，連接AQ、CP．求證：△ABQ≌△CAP；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ、CP相交于點(diǎn)M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP即可；（2）先判定△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝60°；（3）先判定△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝120°．【解析】（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，AB=CA∠ABQ=∠CPA∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）點(diǎn)P、Q在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠QMC不變．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如圖2，點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC不變理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，∠QMC的度數(shù)為120°．8．（2020?泰安）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對(duì)頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點(diǎn)F是線段CE上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？是．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：BD⊥DF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）證明∠FDC+∠BDC＝90°可得結(jié)論．（2）結(jié)論成立：利用等角的余角相等證明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再證明FD＝FC即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，取EC的中點(diǎn)G，連接GD．則GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解析】（1）如圖（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．故答案為是．（2）結(jié)論成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴點(diǎn)F是EC的中點(diǎn)．（3）如圖3中，取EC的中點(diǎn)G，連接GD．則GD⊥BD．∴DG=12EC∵BD＝AB＝6，在Rt△BDG中，BG=D∴CB=15在Rt△ABC中，AC=AB2∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC，∴ACEC∴35∴CD=9∴AD＝AC+CD＝35+9．（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過(guò)點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長(zhǎng)CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】（1）①證明△CBP是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線可得結(jié)論；②根據(jù)同位角相等可得BC∥EF，由平行線的性質(zhì)得BP⊥EF，可得EF是線段BP的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如圖2，延長(zhǎng)DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，F(xiàn)Q，證明△QEP≌△DEC（SAS），則PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分線，證明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分線，可得結(jié)論．【解答】證明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，AC∥DM，∴BMBC即M是BC的中點(diǎn)，∵EP＝CE，即E是PC的中點(diǎn)，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE=12PC＝②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是線段BP的垂直平分線，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如圖2，延長(zhǎng)DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，F(xiàn)Q，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），則PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分線，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分線，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2020?黔東南州）如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展運(yùn)用（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(zhǎng)．（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長(zhǎng)．【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)，可得BD的長(zhǎng)；（3）如圖2，過(guò)A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)．【解析】（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，CD=CE∠BCD=∠ACE∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴AE=A∴BD=13（3）如圖2，過(guò)A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF=AF∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×3∴S△ACD=1∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×1FD＝CD﹣CF＝2-1在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2=(3∴AD=311．（2020?金華）如圖，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC邊上的高線長(zhǎng)．（2）點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連結(jié)EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠AEP的度數(shù)．②如圖3，連結(jié)AP，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求AP的長(zhǎng)．【分析】（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．（2）①證明BE＝EP，可得∠EPB＝∠B＝45°解決問(wèn)題．②如圖3中，由（1）可知：AC=ADsin60°=833，證明△AEF∽△【解析】（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，AD＝AB?sin45°＝42×（2）①如圖2中，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．②如圖3中，由（1）可知：AC=AD∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AFAB=AE∴AF＝23，在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP=2AF＝26方法二：AE＝BE＝PE可得直角三角形ABP，由PF⊥AC，可得∠AFE＝45°，可得∠FAP＝45°，即∠PAB＝30°．AP＝ABcos30°＝26．12．（2020?江西）某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為斜邊向外側(cè)作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，則面積S1，S2，S3之間的關(guān)系式為S1+S2＝S3；推廣驗(yàn)證（2）如圖3，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為邊向外側(cè)作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝23，DE＝2，點(diǎn)P在AE上，∠ABP＝30°，PE=2，求五邊形ABCDE【分析】類比探究（1）通過(guò)證明△ADB∽△BFC，可得S△ADBS△BFC=（ABBC）2，同理可得S△AECS△BFC=（ACBC）2推廣驗(yàn)證（2）通過(guò)證明△ADB∽△BFC，可得S△ADBS△BFC=（ABBC）2，同理可得S△AECS△BFC=（ACBC）2拓展應(yīng)用（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BP于H，連接PD，BD，由直角三角形的性質(zhì)可求AP=6，BP＝BH+PH＝3+3，可求S△ABP=33+32，通過(guò)證明△ABP∽△EDP，可得∠EPD＝∠APB＝45°，PDBP=PEAP=33，S△PDE=3+12，可得∠BPD＝90°，PD＝1+3，可求S△BPD＝2【解析】類比探究（1）∵∠1＝∠3，∠D＝∠F＝90°，∴△ADB∽△BFC，∴S△ADBS△BFC=（同理可得：S△AECS△BFC=（∵AB2+AC2＝BC2，∴S1S3+S2S3=（∴S1+S2＝S3，故答案為：S1+S2＝S3．（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：∵∠1＝∠3，∠D＝∠F，∴△ADB∽△BFC，∴S△ADBS△BFC=（同理可得：S△AECS△BFC=（∵AB2+AC2＝BC2，∴S1S3+S2S3=（∴S1+S2＝S3，（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BP于H，連接PD，BD，∵∠ABH＝30°，AB＝23，∴AH=3，BH＝3，∠BAH∵∠BAP＝105°，∴∠HAP＝45°，∵AH⊥BP，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴PH＝AH=3∴AP=6，BP＝BH+PH＝3+∴S△ABP=BP?AH∵PE=2，ED＝2，AP=6，AB＝2∴PEAP=2∴PEAP且∠E＝∠BAP＝105°，∴△ABP∽△EDP，∴∠EPD＝∠APB＝45°，PDBP∴∠BPD＝90°，PD＝1+3∴S△BPD=BP?PD2=∵△ABP∽△EDP，∴S△PDES△ABP=（3∴S△PDE=∵tan∠PBD=PD∴∠PBD＝30°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠CBD＝30°，∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD，又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°，∴△ABP∽△EDP∽△CBD，由（2）的結(jié)論可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE=33+3∴五邊形ABCDE的面積=33+32+3+113．（2020?衡陽(yáng)）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰△ABC的底邊BC在x軸上，BC＝8，頂點(diǎn)A在y的正半軸上，OA＝2，一動(dòng)點(diǎn)E從（3，0）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)OB的中點(diǎn)停止．另一動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止．已知點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．（1）當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí)，求t的值；（2）設(shè)正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，請(qǐng)問(wèn)是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出（3）如圖2，取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)OD，當(dāng)點(diǎn)E、F開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒25個(gè)單位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)問(wèn)在點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點(diǎn)M在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）的時(shí)長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．（2）由題意，在E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，開始正方形EFGH的邊長(zhǎng)為1，因?yàn)檎叫蜤FGH與△ABC重疊面積為S，S=9136，推出此時(shí)點(diǎn)F與O重合，已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)，如圖1﹣2中，重疊部分是五邊形（3）分別求出點(diǎn)M第一次和第二次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時(shí)長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【解析】（1）如圖1﹣1中，由題意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，當(dāng)點(diǎn)H落在AC上時(shí)，∵EH∥OA，∴CECO∴CE4∴CE＝2，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為1，∴t＝1時(shí)，點(diǎn)E落在AC上．（2）由題意，在E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，開始正方形EFGH的邊長(zhǎng)為1，∵正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，S=91∴此時(shí)點(diǎn)F與O重合，已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)，如圖1﹣2中，重疊部分是五邊形OEKJG．由題意：（t﹣3）2-12?3t-132?（3t整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t=143或∴滿足條件的t的值為143（3）如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)M第一次落在EH上時(shí)，4t+t＝3，t=當(dāng)點(diǎn)M第一次落在FG上時(shí)，4t+t＝4，t=4∴點(diǎn)M第一次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時(shí)長(zhǎng)=45-當(dāng)點(diǎn)M第二次落在FG上時(shí)，4t﹣t＝4，t=4當(dāng)點(diǎn)M第二次落在EH上時(shí)，4t﹣（t+1）＝4，t=5點(diǎn)M第二次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時(shí)長(zhǎng)=5∴點(diǎn)M落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的總時(shí)長(zhǎng)=15+14．（2020?青島）已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點(diǎn)C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，沿MF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．過(guò)點(diǎn)P作GH⊥AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上？（2）連接PQ，作QN⊥AF于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PQNH為矩形時(shí)，求t的值；（3）連接QC，QH，設(shè)四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（4）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P在∠AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由平行線分線段成比例可得CMBF=CEBE，可求CM的長(zhǎng)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得（2）利用銳角三角函數(shù)分別求出PH=65t，QN＝6-（3）利用面積的和差關(guān)系可得S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，即可求解；（4）連接PF，延長(zhǎng)AC交EF于K，由“SSS”可證△ABC≌△EBF，可得∠E＝∠CAB，可證∠ABC＝∠EKC＝90°，由面積法可求CK的長(zhǎng)，由角平分線的性質(zhì)可求解．【解析】（1）∵AB∥CD，∴CMBF∴8-68∴CM=3∵點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上，∴CM＝MQ，∴1×t=3∴t=3（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AF于點(diǎn)N，∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，∴AC=AB2+BC2=64+36=10∵CE＝2cm，CM=32∴EM=EC∵sin∠PAH＝sin∠CAB，∴BCAC∴610∴PH=65同理可求QN＝6-45∵四邊形PQNH是矩形，∴PH＝NQ，∴6-45t=∴t＝3；∴當(dāng)t＝3時(shí)，四邊形PQNH為矩形；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AF于點(diǎn)N，由（2）可知QN＝6-45∵cos∠PAH＝cos∠CAB，∴AHAP∴AH2t∴AH=85∵四邊形QCGH的面積為S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，∴S=12×6×（8-85t+6+8-85t+32）-12×32×[6﹣（6-45（4）存在，理由如下：如圖3，連接PF，延長(zhǎng)AC交EF于K，∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，∴△ABC≌△EBF（SSS），∴∠E＝∠CAB，又∵∠ACB＝∠ECK，∴∠ABC＝∠EKC＝90°，∵S△CEM=12×EC×CM=1∴CK=2×∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，∴PH＝PK，∴65t＝10﹣2t+∴t=7∴當(dāng)t=72時(shí)，使點(diǎn)P在∠15．（2020?山西）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長(zhǎng)AE交CE′于點(diǎn)F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，若DA＝DE，請(qǐng)猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問(wèn)題：（3）如圖①，若AB＝15，CF＝3，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可證四邊形BE'FE是正方形；（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得AH=12AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE=12AE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得（3）利用勾股定理可求BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求DE的長(zhǎng)．【解析】（1）四邊形BE'FE是正方形，理由如下：∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四邊形BE'FE是矩形，又∵BE＝BE'，∴四邊形BE'FE是正方形；（2）CF＝E'F；理由如下：如圖②，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH=12AE，DH⊥∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE=12∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，∴AE＝CE'，∵四邊形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F=12∴CF＝E'F；（3）如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，∵四邊形BE'FE是正方形，∴BE'＝E'F＝BE，∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，∴225＝E'B2+（E'B+3）2，∴E'B＝9＝BE，∴CE'＝CF+E'F＝12，由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，∴HE＝3，∴DE=DH2+HE16．（2020?內(nèi)江）如圖，正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連結(jié)BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，