同步優(yōu)化設(shè)計2024年高中數(shù)學(xué)第五章計數(shù)原理4.2二項式系數(shù)的性質(zhì)課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊

第五章計數(shù)原理§4二項式定理4.2二項式系數(shù)的性質(zhì)課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.已知(a+b)n綻開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大,則n等于()A.11 B.10 C.9 D.8答案D解析∵只有第5項的二項式系數(shù)最大,∴n2+1=5.∴n=82.(a+b)n二項綻開式中與第r-1項系數(shù)相等的項是()A.第(n-r)項 B.第(n-r+1)項C.第(n-r+2)項 D.第(n-r+3)項答案D解析因為第(r-1)項的系數(shù)為Cnr-2=Cnn-r+23.若x+1xn綻開式的二項式系數(shù)之和為64,則綻開A.10 B.20 C.30 D.120答案B解析由2n=64,得n=6,則Tk+1=C6kx6-k1xk=C6kx6-2k(0≤由6-2k=0,得k=3.則T4=C63=4.若(x+3y)n的綻開式的系數(shù)和等于(7a+b)10綻開式中的二項式系數(shù)之和,則n的值為()A.5 B.8 C.10 D.15答案A解析(7a+b)10綻開式的二項式系數(shù)之和為210,令x=1,y=1,則由題意知,4n=210,解得n=5.5.若3x-13x2n的二項式系數(shù)之和為128,則A.7x3 B.-7x3 C答案C解析由3x-13x2n的二項式系數(shù)之和為128可得2n=128,n=7.其通項Tk+1=C7k(3x)7-k·-13x2k=(-1)kC7k·37-kx6.已知Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnnA.64 B.32 C.63 D.31答案B解析由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.則Cn1+7.設(shè)(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,則a0+a1+a2+a3+…+a10=.

答案1解析令x=2,則(2×2-3)10=a0+a1+a2+…+a10,所以a0+a1+…+a10=1.8.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求:(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;(3)a1+a3+a5.解(1)令x=1,得(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1.①(2)∵(2x-1)5的綻開式中偶數(shù)項的系數(shù)為負(fù)值,∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.令x=-1,得[2×(-1)-1]5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35.②則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243.(3)由①②兩式聯(lián)立,得a則a1+a3+a5=12×(1-243)=-1219.若(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,求:(1)各項系數(shù)之和;(2)奇數(shù)項系數(shù)的和與偶數(shù)項系數(shù)的和.解(1)各項系數(shù)之和即為a0+a1+a2+…+a10,可用“賦值法”求解.令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇數(shù)項系數(shù)的和為a0+a2+a4+…+a10,偶數(shù)項系數(shù)的和為a1+a3+a5+…+a9.由(1)知a0+a1+a2+…+a10=1,①令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②①+②得,2(a0+a2+…+a10)=1+510,則奇數(shù)項系數(shù)的和為1+5①-②得,2(a1+a3+…+a9)=1-510,則偶數(shù)項系數(shù)的和為1-等級考提升練10.(1+x)n(3-x)的綻開式中各項系數(shù)的和為1024,則n的值為()A.8 B.9 C.10 D.11答案B解析由題意知(1+1)n(3-1)=1024,即2n+1=1024,故n=9.11.若(1-2x)2016=a0+a1x+…+a2016x2016(x∈R),則a12+a222+A.2 B.0 C.-1 D.-2答案C解析令x=0,則a0=1,令x=12,則a0+a12+a222+…+a201612.(x+1)9按x的升冪排列二項式系數(shù)最大的項是()A.第4項和第5項 B.第5項C.第5項和第6項 D.第6項答案C解析綻開式中共有10項,由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知,綻開式的中間兩項的二項式系數(shù)最大,即第5項和第6項的二項式系數(shù)最大.13.x+1xn的綻開式中第8項是常數(shù)項,則綻開A.第8項 B.第9項C.第8項、第9項 D.第11項、第12項答案D解析x+1xn綻開式中的第8項為Cn7(x)n-71x7為常數(shù),即n-212=14.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,便可以得到如圖的“0-1三角”.在“0-1三角”中,從第1行起,設(shè)第n(n∈N*)次出現(xiàn)全行為1時,1的個數(shù)為an,則a3等于()A.26 B.27 C.7 D.8答案D解析第3次出現(xiàn)全行為1,這說明楊輝三角中這一行全是奇數(shù),即Cnr(r=0,1,2,…,n)是奇數(shù),閱歷證可知,第3次出現(xiàn)全行為1時,1的個數(shù)為15.如圖數(shù)表滿意:(1)第n行首尾兩數(shù)均為n;(2)圖中的遞推關(guān)系類似楊輝三角,則第n(n≥2)行的第2個數(shù)是.

答案n解析由題圖可知,第n(n≥2)行的第2個數(shù)是第(n-1)行第1個數(shù)跟第2個數(shù)的和,即a2=2,a3=a2+2=2+2=4,a4=a3+3=4+3=7,…….則an=2+2+3+4+5+…+…+n-1=1+(n16.若(2x+3)4=a0+a1x+…+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為.

答案1解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+3)4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)·(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+3)4(-2+3)4=1.17.已知(3x2+3x2)n的綻開式中各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992.(1)綻開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)綻開式中系數(shù)最大的項.解令x=1得綻開式各項系數(shù)和為(1+3)n=4n.綻開式二項式系數(shù)和為Cn0+Cn1+…由題意有4n-2n=992.即(2n)2-2n-992=0,(2n-32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因為n=5,所以綻開式共6項,其中二項式系數(shù)最大的項為第3項、第4項,它們是T3=C52(3x2)3·(3x2)T4=C53(3x2)2(3x2(2)設(shè)綻開式中第k+1項的系數(shù)最大.由Tk+1=C5k(3x2)5-k·(3x2)k得C5k·3k因為k∈Z,所以k=4,所以綻開式中第5項系數(shù)最大.T5=C5434x263新情境創(chuàng)新練18.楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教化家.楊輝三角是楊輝的一項重要探討成果,它的很多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中隱藏了很多美麗的規(guī)律.如圖是一個11階楊輝三角:(1)求第20行中從左到右的第4個數(shù);(2)在第2斜列中,前5個數(shù)依次為1,3,6,10,1