數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一用定義法證明(判斷)函數(shù)的單調(diào)性如果要證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，目前只能嚴(yán)格按照定義進(jìn)行，步驟如下：（1)取值:設(shè)x1,x2為給定區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)值，且x1＜x2（在證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)數(shù)，所以在證明時(shí),不能用特殊值來代替它們)；(2)作差變形：作差Δy＝f(x2）－f（x1），并將差向有利于判斷差值的符號(hào)的方向變形(作差后,盡量把差化成幾個(gè)簡單因式的乘積或幾個(gè)完全平方式的和的形式，這是值得學(xué)習(xí)的解題技巧,在判斷因式的正負(fù)號(hào)時(shí)，經(jīng)常采用這種變形方法）;（3）定號(hào)：判斷符號(hào)的依據(jù)是自變量的取值范圍、假定的大小關(guān)系及符號(hào)的運(yùn)算法則；（4)判斷：根據(jù)定義作出結(jié)論(若Δx＝x2－x1與Δy＝f（x2）－f(x1)同號(hào)，則函數(shù)在給定區(qū)間是增函數(shù)；異號(hào)，則是減函數(shù))．【典型例題1】利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x)＝在(－∞，0)上是增函數(shù)．思路分析：解題的關(guān)鍵是對(duì)Δy＝f（x2)－f(x1)合理變形,最終要變?yōu)閹讉€(gè)最簡單因式乘積或相除的形式，以便于判號(hào)．證明：設(shè)x1，x2是(－∞，0)內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1＜x2,則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2)－f（x1)＝－＝＝＝，∵x21·x22＞0,x1＋x2＜0，－Δx＜0，∴Δy＞0.∴函數(shù)f(x)＝在(－∞，0)上是增函數(shù)．探究二利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1．由函數(shù)的圖象得出單調(diào)區(qū)間是常用的一種方法，但一定要注意畫圖的準(zhǔn)確性及端點(diǎn)處的處理．如果函數(shù)的定義域內(nèi)不含端點(diǎn)，則要寫成開區(qū)間；如果端點(diǎn)在其定義域內(nèi)，則寫成開區(qū)間和閉區(qū)間均可，但最好加上區(qū)間端點(diǎn)．2．初中學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以作為常用結(jié)論,在某些題目中可以直接使用．3．加絕對(duì)值的函數(shù)圖象的處理方法常見的加絕對(duì)值的函數(shù)有兩種，一種是y＝f(|x|）,自變量上加絕對(duì)值;另一種是y＝|f(x）｜，函數(shù)值上加絕對(duì)值．加絕對(duì)值的函數(shù)圖象的畫法也有兩種:(1)通過討論絕對(duì)值內(nèi)的式子的正負(fù)，去掉絕對(duì)值符號(hào)，把函數(shù)化為分段函數(shù)，再依次畫出分段函數(shù)每一段的函數(shù)圖象．(2）利用函數(shù)圖象的變換,即通過圖象間的對(duì)稱變換，得到已知函數(shù)的圖象．【典型例題2】已知x∈R，函數(shù)f(x)＝x｜x－2|，試畫出y＝f(x）的圖象，并結(jié)合圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．思路分析：首先分類討論,去掉絕對(duì)值號(hào)，將函數(shù)化為分段函數(shù)，然后畫出圖象求解即可．解：f（x）＝x|x－2｜＝圖象如下圖所示．由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（－∞，1]，［2，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為[1,2]．探究三函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用一般表現(xiàn)為以下三個(gè)方面：（1)比較大?。豪煤瘮?shù)的單調(diào)性可以把函數(shù)值的大小比較問題轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較問題；（2）求函數(shù)的值域：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)在定義域上的最值，進(jìn)而求出值域；（3）求解析式中的參數(shù)(或其范圍）:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義可列出參數(shù)滿足的等式(或不等式)，進(jìn)而可求出參數(shù)(或其范圍）．【典型例題3】（1)已知函數(shù)f（x）＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間（－∞,4］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2)已知函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù),且g(t）＞g（1－2t)，求t的取值范圍．思路分析：(1）先將函數(shù)解析式配方，找出對(duì)稱軸，畫出圖形,尋找對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求解;（2）充分利用函數(shù)的單調(diào)性，實(shí)現(xiàn)函數(shù)值與自變量不等關(guān)系的互化．解：（1）∵f(x)＝x2＋2（a－1)x＋2＝[x＋（a－1）］2－（a－1)2＋2,∴該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝1－a.∴f（x)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，1－a]．∵f(x)在（－∞，4］上是減函數(shù)，∴對(duì)稱軸x＝1－a必須在直線x＝4的右側(cè)或與其重合．∴1－a≥4,解得a≤－3。(2)∵g(x)在R上為增函數(shù)，且g（t）＞g(1－2t)，∴t＞1－2t?！鄑＞，即所求t的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)（1）已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，要注意數(shù)形結(jié)合，畫出圖象,往往解題很方便，同時(shí)要采取逆向思維求解；(2)充分利用了函數(shù)的單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系,即將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式求參數(shù)t。探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)忽視分段函數(shù)分點(diǎn)處的單調(diào)性而致誤【典型例題4】若函數(shù)f（x）＝是(－∞，＋∞）上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A。(－2,0)B．［－2,0)C．(－∞,1]D．（－∞，0）錯(cuò)解：D解析：由f（x)是(－∞，＋∞）上的減函數(shù)可知，得a＜0。錯(cuò)因分析：錯(cuò)解只能保證函數(shù)在每段上是減函數(shù)，而不能保證在整個(gè)定義域上是減函數(shù)，因此還要對(duì)分點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行大小比較．正解：B解析:由x≥1時(shí),f（x)＝－x2＋2ax－2a是減函數(shù)，得a≤1，由x＜1時(shí)，f(x）＝ax＋1是減函數(shù)，得a＜0，分段點(diǎn)1處的值應(yīng)滿足－12＋2