數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一函數(shù)圖象的升降與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系要解決函數(shù)圖象的升降與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系問(wèn)題，主要從兩方面入手：一是觀察原函數(shù)的圖象,重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點(diǎn),分析函數(shù)值的變化趨勢(shì)；二是觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象，重在找出導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．【典型例題1】設(shè)函數(shù)f(x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為（)思路分析：根據(jù)給出的函數(shù)圖象分析函數(shù)圖象的升降情況，確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得出導(dǎo)數(shù)圖象的情況．解析:觀察原函數(shù)圖象可知,在y軸左側(cè)，函數(shù)f(x)圖象是上升的,因此對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)為正，圖象在x軸上方，在y軸右側(cè)，函數(shù)f(x)的圖象是先升、再降、最后上升，故對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)應(yīng)為先正、再負(fù)、最后為正，圖象自左向右依次在x軸上方、下方、再上方，故選D.答案:D探究二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為解不等式f′(x)＞0或f′（x）＜0,不等式的解集就是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但要特別注意的是,不能忽視函數(shù)的定義域,應(yīng)首先求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)解不等式．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1)求函數(shù)定義域；(2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；(3）令導(dǎo)函數(shù)大于零，解不等式得遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于零，解不等式得遞減區(qū)間．【典型例題2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1)y＝x3－9x2＋24x；(2)f（x)＝x2－lnx.思路分析：利用函數(shù)單調(diào)性的判定法則，轉(zhuǎn)化為關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式求解．解：(1）y′＝（x3－9x2＋24x)′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4），令3(x－2）(x－4)＞0,解得x＞4或x＜2.所以y＝x3－9x2＋24x的遞增區(qū)間是（4,＋∞）和(－∞,2）．令3(x－2）（x－4)＜0，解得2＜x＜4。所以y＝x3－9x2＋24x的遞減區(qū)間是（2,4)．（2)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，因?yàn)閒′（x)＝2x－eq\f(1,x）＝eq\f（2x2－1,x），所以令f′(x）＞0,則x＞eq\f(\r（2)，2),令f′(x）＜0，則0＜x＜eq\f（\r(2），2)，所以函數(shù)f(x）＝x2－lnx的遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（0，\f(\r（2）,2））），遞增區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(\f（\r（2),2），＋∞)).探究三利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，其常用方法有兩種：一是f（x）在(a，b)上單調(diào)，則f′(x)≥0或f′（x)≤0在（a，b）內(nèi)恒成立,要注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立；二是利用集合的包含關(guān)系處理，f(x）在(a,b）上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．【典型例題3】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2，3)xeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1（x2－3ax－\f（9，2))）（a∈R），若函數(shù)f（x)在(1，2）內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍．思路分析:本題先求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為f′(x）≥0在(1，2)上的恒成立問(wèn)題．解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在（1,2）內(nèi)是增函數(shù)，所以f′(x)＝2x2－4ax－3≥0對(duì)于一切x∈（1,2）恒成立，所以a≤eq\f(x,2)－eq\f（3，4x)，x∈（1,2）．令g(x)＝eq\f(x，2)－eq\f(3，4x)，x∈(1，2),g′（x)＝eq\f(1,2）＋eq\f（3，4x2）＞0恒成立，所以g（x)＝eq\f（x，2）－eq\f（3，4x）在(1，2)上是增函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)＝－eq\f（1，4)，所以a≤－eq\f（1,4）。探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)恒成立問(wèn)題漏掉等號(hào)【典型例題4】已知f(x）＝x＋eq\f(a,x)在[1，＋∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．錯(cuò)解：f′(x）＝1－eq\f（a,x2).由題意得1－eq\f（a，x2）＞0在［1,＋∞)上恒成立，即a＜x2在[1，＋∞）上恒成立．因?yàn)閤2在［1，＋∞）上的最小值為1,所以a＜1，即a的取值范圍為（－∞，1)．錯(cuò)因分析：f(x)在［1，＋∞）上是增函數(shù)時(shí),導(dǎo)函數(shù)f′（x)≥0在［1,＋∞）上恒成立;而錯(cuò)解用了f（x）在［1，＋∞）上是增函數(shù)時(shí)，f′（x)＞0在[1，＋∞)上恒成立．正解：f′（x）＝1－eq