數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究兩條直線的位置關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一判斷兩條直線的位置關(guān)系1．（1）判斷兩條直線平行，需要判斷其斜率相等（斜率存在時），即k1＝k2。兩條直線斜率相等,則兩條直線可能平行也可能重合，還需要再進一步判斷截距不相等，即b1≠b2.如果兩條直線的斜率不存在,兩條直線的方程為x＝a1,x＝a2，只需a1≠a2即可；（2)判斷兩條直線平行，也可用系數(shù)比．2．判斷兩條直線垂直：（1)如果斜率都存在，只判斷k1k2＝－1,如果一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率必等于零，從斜率的角度判斷,應(yīng)注意上面的兩種情況；(2)利用A1A2＋B1B2＝0判斷．【典型例題1】判斷下列各組直線的位置關(guān)系,若相交，求出交點的坐標(biāo)．（1)l1：4x＋3y－2＝0與l2：x＋2y＋2＝0；(2)l1：x＋2y－＝0與l2：2x＋4y－1＝0；(3）l1：x－3y＝0與l2:y＝x＋1.思路分析：判斷兩直線位置關(guān)系的解法有三種:一是根據(jù)方程組的解的個數(shù)判定；二是根據(jù)方程的系數(shù)間的關(guān)系判定;三是化成斜截式方程判定．解法一：（1)解方程組①×2－②×3得5x－10＝0,所以x＝2.將x＝2代入①得y＝－2，所以兩直線相交，交點坐標(biāo)為（2，－2）．（2）解方程組①×2－②得0＝0，即此方程組有無數(shù)多個解，所以兩直線重合．（3)解方程組由①得x＝3y,代入②得y＝y(tǒng)＋1,即0＝1不成立，所以方程組無解，所以兩直線平行．解法二：（1）由于A1＝4，B1＝3，C1＝－2,A2＝1，B2＝2,C2＝2，所以D1＝A1B2－A2B1＝4×2－1×3＝5≠0，所以兩直線相交．解方程組得所以兩直線的交點為（2，－2)．（2）由于A1＝1,B1＝2，C1＝－，A2＝2，B2＝4，C2＝－1，所以D1＝A1B2－A2B1＝1×4－2×2＝0,D2＝A1C2－A2C1＝1×（－1)－2×＝－1＋1＝0，所以兩直線重合．（3）由于A1＝1，B1＝－3，C1＝0，A2＝,B2＝－1，C2＝1,所以D1＝A1B2－A2B1＝1×（－1)－×(－3）＝－1＋1＝0,D2＝A1C2－A2C1＝1×1－×0＝1－0＝1≠0，所以兩直線平行．解法三:(1）l1:y＝－x＋，l2：y＝－x－1。因為k1≠k2,所以兩直線相交．（2)l1：y＝－x＋，l2：y＝－x＋。因為k1＝k2且b1＝b2，所以兩直線重合．(3）l1：y＝x，l2：y＝x＋1.因為k1＝k2且b1≠b2，所以兩直線平行．點評根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩直線位置關(guān)系，當(dāng)x，y的系數(shù)是未知數(shù)時不好用;利用方程的系數(shù)間的關(guān)系判定難記憶；化成斜截式易操作．探究二利用兩條直線的位置關(guān)系確定參數(shù)利用兩直線的位置關(guān)系求字母參數(shù)取值時，提倡直接根據(jù)兩直線平行、相交或垂直的系數(shù)整式條件列方程或不等關(guān)系，這樣不易丟解或增解;若用比例式求解，一定要對特殊情況單獨討論．【典型例題2】（1）直線l1：（m＋2)x＋（m2－3m）y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3）y－1＝0，如果l1∥l2,求m的值；（2）直線l1：ax＋(1－a)y＝3與l2:（a－1）x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．思路分析：既可以用直線一般式方程形式判斷,也可以用斜率的關(guān)系求解，但需考慮斜率不存在的情況．(1）解法一:當(dāng)l1，l2的斜率都存在時，由l1∥l2，得＝,解得m＝－4；當(dāng)l1，l2的斜率不存在時，l1與l2的方程分別為x＝－,x＝,顯然l1∥l2，m＝3.故m＝－4或m＝3即為所求．解法二：若l1∥l2，則有解得m＝－4。當(dāng)m＝3時，直線l1與l2的方程分別為x＝－,x＝，顯然l1∥l2，綜上所述m＝－4或m＝3。（2）解法一：當(dāng)a＝1時，l1為x＝3，l2為y＝,故l1⊥l2;當(dāng)a＝－時,l1的方程為－x＋y＝3,l2的方程為－x＝2，顯然l1，l2不垂直；當(dāng)a≠1，且a≠－時，由k1·k2＝－1，得×＝－1，解得a＝－3.綜上所述，當(dāng)a＝1或a＝－3時，l1⊥l2.解法二:利用A1A2＋B1B2＝0，即a（a－1)＋（1－a)(2a＋3)＝0,解得a＝1或a＝－3.探究三求與已知直線平行或垂直的直線方程1．求與直線y＝kx＋b平行的直線的方程時，根據(jù)兩直線平行的條件可設(shè)為y＝kx＋m（m≠b），然后通過待定系數(shù)法，求參數(shù)m的值．2．求與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程時，可設(shè)方程為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知條件求出m即可．3．求與直線y＝kx＋b（k≠0）垂直的直線方程時，根據(jù)兩直線垂直的條件可設(shè)為y＝－x＋m(k≠0)，然后通過待定系數(shù)法，求參數(shù)m的值．4．求與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零）垂直的直線時，可巧設(shè)為Bx－Ay＋m＝0（A，B不同時為零），然后用待定系數(shù)法，求出m.【典型例題3】已知點A(2,2）和直線l：3x＋4y－20＝0.求：(1）過點A和直線l平行的直線方程；(2)過點A和直線l垂直的直線方程．思路分析:本題可根據(jù)兩條直線平行與垂直時斜率間的關(guān)系，求出所求直線的斜率后用點斜式求解，也可利用直線系方程來求解．(1）解法一:利用直線方程的點斜式求解．由l：3x＋4y－20＝0，得直線l的斜率kl＝－.設(shè)過點A且平行于l的直線為l1,則直線l1的斜率kl1＝kl＝－，所以l1的方程為y－2＝－（x－2），即3x＋4y－14＝0.解法二:利用直線系方程求解．設(shè)過點A且平行于直線l的直線l1的方程為3x＋4y＋m＝0（m≠－20）．由點A(2,2)在直線l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14.故直線l1的方程為3x＋4y－14＝0。(2)解法一：設(shè)過點A與l垂直的直線為l2，直線l的斜率為kl，直線l2的斜率為。因為kl＝－1，所以kl2＝，故直線l2的方程為y－2＝（x－2），即4x－3y－2＝0.解法二：設(shè)過點A且垂直于直線l的直線l2的方程為4x－3y＋m＝0。因為l2經(jīng)過點A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0,解得m＝－2。故l2的方程為4x－3y－2＝0.探究四對稱問題關(guān)于對稱問題，主要有中心對稱和軸對稱兩種：（1)對于點關(guān)于點的對稱，只需運用中點坐標(biāo)公式即可；(2)對于直線關(guān)于點的對稱,根據(jù)所求直線與已知直線平行可先設(shè)出方程,然后利用已知直線上任取一點的對稱點一定在所求直線上即可求出方程．結(jié)論為l關(guān)于點P(x0，y0）對稱的直線方程是A(2x0－x）＋B（2y0－y)＋C＝0.對于點關(guān)于直線的對稱,一般按下列步驟處理．若兩點P1(x1，y1）與P2（x2，y2）關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱,則線段P1P2的中點在對稱軸l上,而且連接P1,P2的直線垂直于對稱軸l。由方程組可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中A≠0,x1≠x2)．【典型例題4】（1）求點A（3，2)關(guān)于點B(－3,4）的對稱點C的坐標(biāo)；(2）求直線3x－y－4＝0關(guān)于點P(2，－1)對稱的直線l的方程；(3)求點A（2,2)關(guān)于直線2x－4y＋9＝0的對稱點B的坐標(biāo)．思路分析:（1)利用中點坐標(biāo)公式列方程求解；（2)根據(jù)所求直線上任意一點關(guān)于點P（2，－1）的對稱點的坐標(biāo)均滿足已知直線方程來求解；（3）利用中點坐標(biāo)公式及垂直關(guān)系聯(lián)合列式求解．解:(1)設(shè)C(x，y），由中點坐標(biāo)公式得解得故所求的對稱點的坐標(biāo)為C（－9，6）．（2）取直線l上任一點（x，y），則它關(guān)于點P（2,－1）的對稱點(4－x,－2－y）在直線3x－y－4＝0上．所以3(4－x)－（－2－y)－4＝0。所以3x－y－10＝0。所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.（3）設(shè)B（a，b)是A(2，2）關(guān)于直線2x－4y＋9＝0的對稱點，根據(jù)直線AB與已知直線垂直，且線段AB的中點在已知直線2x－4y＋9＝0上，則有解得所以所求的對稱點的坐標(biāo)為B(1,4）．探究五易錯辨析易錯點：忽視了兩條直線垂直的特殊情況而致誤【典型例題5】求經(jīng)過點A（2,1）且與直線2x＋ay－10＝0垂直的直線l的方程．錯解：因為所求直線與2x＋ay－10＝0垂直，所以根據(jù)l1⊥l2k1k2＝－1，得所求直線的斜率為，所以根據(jù)點斜式得l:y－1＝（x－2），整理得ax－2y－2a＋2＝0。錯因分析：漏掉了當(dāng)a＝0時這一特殊情況的討論，其實斜率為0的直線與斜率不存在的直線也是相互垂直的，但卻不能用k1k2＝－1來求．正解：①當(dāng)a＝0時，已知直線化為x＝5,此時直線斜率不存在,則所求直線l的斜率為0，因為直線l過點A（2,1)，所以直線l的方程為y－1＝0（x－2)，即y