數(shù)學學案：空間中的平行關(guān)系第一課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學人教B必修2第一章1.2.2空間中的平行關(guān)系第一課時1．通過直觀感知、操作確認，歸納出空間中線線平行、線面平行的相關(guān)公理、定理或性質(zhì)．2．理解空間平行線的傳遞性，會證明空間等角定理．3．掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能利用以上定理解決空間中的相關(guān)平行性問題．1．平行直線(1）平行公理：過直線外一點__________條直線和已知直線平行．(2）基本性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩條直線互相________．上述基本性質(zhì)通常又叫空間平行線的傳遞性．（3）等角定理:如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別__________,并且__________，那么這兩個角相等．【做一做1】若∠AOB＝∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是()．A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不一定平行2．空間四邊形【做一做2】在空間中，下列說法正確的個數(shù)為（)．①有兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形；②四邊相等的四邊形是菱形；③平行于同一直線的兩直線平行；④有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．A．1B．2C．3D．43．直線與平面的位置關(guān)系一條直線和一個平面的位置關(guān)系有且只有以下三種：位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點沒有公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示（1）若直線與平面內(nèi)的無數(shù)多條直線平行,也不能認為直線與平面一定平行，如：直線在平面內(nèi)，與之平行的直線能有無數(shù)條，一定要注意區(qū)分“任意”和“無數(shù)”不是一回事．(2）直線與平面不相交和直線與平面沒有公共點是不一樣的，前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)兩種情況，而后者僅指直線與平面平行．【做一做3－1】如果兩直線a∥b,且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是(）．A．相交B．b∥αC．b?αD．b∥α或b?α【做一做3－2】過平面外一點可以作__________條直線與已知平面平行．4．直線與平面平行的判定和性質(zhì)定理（1)判定定理：如果__________的一條直線和________的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．（2)性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線__________．【做一做4－1】已知△ABC，△DBC分別在平面α,β內(nèi)，E∈AB，F(xiàn)∈AC,M∈DB，N∈DC，且EF∥MN，則EF與BC的位置關(guān)系是（）．A．平行B．相交或平行C．平行或異面D．平行或異面或相交【做一做4－2】P是平行四邊形ABCD所在平面外一點,Q是PA的中點，則直線PC和平面BDQ的位置關(guān)系為__________．1．一條直線與一個平面平行,這條直線與這個平面中直線的關(guān)系剖析：一條直線與一個平面平行，它可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，這無數(shù)條直線是一組平行線．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∵A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ABCD．在平面ABCD內(nèi)所有與AC平行的直線，由基本性質(zhì)4知都應與A1C1平行，這樣的直線顯然有無數(shù)多條,但直線A1C1并不是和這個面內(nèi)的所有直線都平行，在平面ABCD中，所有與AC相交的直線與A1C1的位置關(guān)系都是異面．由此說明：直線與平面平行即直線與平面無公共點,則直線與平面內(nèi)的任意直線都無公共點，則直線與平面內(nèi)的直線有且僅有兩種位置關(guān)系：平行和異面．2．教材中的“思考與討論”空間中，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，并且對應邊的方向都相反，那么這兩個角的大小關(guān)系如何？如果一組對應邊方向相同，另一組對應邊方向相反，這兩個角的大小關(guān)系又如何?敘述你得到的結(jié)論,并說明理由．剖析:由已知可得如下結(jié)論：結(jié)論1：空間中，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，并且對應邊的方向都相反，那么這兩個角相等．結(jié)論2：空間中，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，并且一組對應邊方向相同，另一組對應邊方向相反,那么這兩個角互補．證明：對于結(jié)論1：如圖(1)，延長CA到C2，延長BA到B2.由于BA∥B1A1，∴B1A1∥AB2,同理A1C1∥AC2.易知∠BAC＝∠C2AB2，且AB與AB2，AC與AC2方向相反，可知AB2與A1B1,AC2與A1C1方向相同，由等角定理可知，∠B2AC2＝∠B1A1C1。從而有∠BAC＝∠B1A1C1.所以結(jié)論1是成立的．對于結(jié)論2，如圖(2），AC與A1C1平行且方向相同，AB與A1B1平行且方向相反，延長BA到B2，就有AB2∥A1B1，且AB2與A1B1方向相同．由等角定理可知∠B2AC＝∠B1A1C1，由于∠B2AC＋∠BAC＝180°，∴∠BAC與∠B1A1C1互補．題型一基本性質(zhì)4的應用【例1】如圖所示,已知E,F分別是空間四邊形ABCD的邊AB與BC的中點，G，H分別是邊CD與AD上靠近D的三等分點，求證：四邊形EFGH是梯形．分析:要證明四邊形EFGH是梯形，需證一組對邊平行且不相等即可．通過本題條件可知,利用平面的基本性質(zhì)4即可解決．反思：證明空間兩直線平行,可尋找第三條直線，使之與這兩條直線分別平行，利用基本性質(zhì)4可證．除此之外,我們還要熟悉各種幾何圖形的定義和特征．題型二等角定理的應用【例2】已知E，E1分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中點．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.分析:欲證兩個角相等，可運用等角定理來解決．反思：空間兩角的兩邊分別平行，若方向相同則兩角相等；若一邊方向相同，另一邊方向相反，則兩角互補．題型三線面平行的判定定理的應用【例3】如圖所示,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E,F分別是棱BC，C1D1的中點，求證：EF∥平面BB1D1D．分析：解答本題可先在平面BB1D1D內(nèi)尋求一條與EF平行的直線，再根據(jù)線面平行的判定定理證明．反思：按照“先找線后作線”的兩步法，在平面BB1D1D中現(xiàn)有的直線BB1,DD1，BD，B1D1都不能作為與已知直線EF平行的線，再者作線的話在平面內(nèi)也沒提示特殊點，只得過E，F(xiàn)作平面BB1D1D的垂線，產(chǎn)生與直線EF平行的線．題型四線面平行性質(zhì)定理的應用【例4】如圖，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．（1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH;(2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．分析：(1）利用線面平行的判定和性質(zhì)定理進行證明；(2)利用相似性質(zhì)來求邊長．反思:判定與性質(zhì)定理常常交替使用：先通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出線線平行,復雜的題目還可以繼續(xù)推下去,我們可稱為平行鏈，如下:線線平行eq\o（→,\s\up7(在平面內(nèi)作），\s\do5(或找一條直線））線面平行eq\o（→,\s\up7(經(jīng)過直線作)，\s\do5(或找平面與平面的交線））線線平行題型五易錯辨析【例5】平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，那么另一條直線也平行于這個平面．已知：直線a∥b，a∥平面α,a，b?α.求證：b∥α。錯解:∵直線a∥b，∴a與b無公共點．又∵a∥平面α，∴a與平面α也無公共點，又b?α，∴b與α無公共點，∴b∥α.錯因分析：b?α包含b∥α和b∩α＝M兩種情況,上面證明誤認為b?α即意味著b∥α而致錯．反思:根據(jù)條件a∥α，為了利用直線和平面平行的性質(zhì)定理，因此過a作平面β與α相交,這里我們把平面β稱為輔助平面，它可以起到橋梁作用，輔助平面是把空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化的一種手段．和平面幾何中添加輔助線一樣,在構(gòu)造輔助平面時，首先要確認這個平面是存在的．在本例中就是以“直線及此直線外一點確定一個平面”為依據(jù)作出輔助平面的．1若一個角的兩邊和另一個角的兩邊平行，則這兩個角()．A．相等B．互補C．相等或互補D．大小關(guān)系不確定2已知下列敘述：①一條直線和另一條直線平行，那么它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行;②一條直線平行于一個平面，則這條直線與這個平面內(nèi)所有直線都沒有公共點，因此這條直線與這個平面內(nèi)的所有直線都平行；③若直線l與平面α不平行，則l與α內(nèi)任一直線都不平行；④與一平面內(nèi)無數(shù)條直線都平行的直線必與此平面平行．其中正確的個數(shù)是（）．A．0B．1C．2D．33如圖,點E，F(xiàn),G，H分別為空間四邊形ABCD中AB，BC，CD,AD的中點，若AC＝BD，且AC與BD成90°角,則四邊形EFGH是（）．A．菱形B．梯形C．正方形D．空間四邊形4兩直線a∥b,且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是__________．5如圖，正方形ADEF與梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD,且AB＝2，CD＝4,M為CE的中點．求證：BM∥平面ADEF.答案:基礎(chǔ)知識·梳理1．（1）有且只有一（2)平行（3）對應平行方向相同【做一做1】D2．不共面空間四邊形ABCD相鄰頂點間不相鄰【做一做2】B有兩組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，可能是空間四邊形,故①不正確,同理,②也可能是空間四邊形，只有③④正確．【做一做3－1】Db?α能滿足a∥b，且a∥平面α；b∥α也能滿足a∥b，且a∥平面α?！咀鲆蛔?－2】無數(shù)4．（1)不在一個平面內(nèi)平面內(nèi)(2)平行【做一做4－1】A如圖所示，∵EF∥MN，∴EF∥平面BCD.又EF?平面ABC,平面ABC∩平面BCD＝BC，∴EF∥BC?！咀鲆蛔?－2】PC∥平面BDQ連接AC，BD交于點O，可證得PC∥OQ,∴PC∥平面BDQ.典型例題·領(lǐng)悟【例1】證明：在△ABC中，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點，∴EFeq\f（1,2)AC.又在△ACD中,G，H分別是CD,AD邊上的三等分點，eq\f(DH，DA)＝eq\f（DG，DC）＝eq\f(1,3），∴GHeq\f(1，3)AC。∴EF∥GH且EF≠GH,即四邊形EFGH是梯形．【例2】證明:如圖所示，連接EE1.∵E1，E分別為A1D1，AD的中點，∴A1E1AE.∴四邊形A1E1EA為平行四邊形，∴A1AE1E.又∵A1AB1B，∴E1EB1B?！嗨倪呅蜝B1E1E是平行四邊形．∴EB∥E1B1.同理，EC∥E1C1.又∠BEC與∠B1E1C1的兩邊的方向相同，∴∠BEC＝∠B1E1C1.【例3】證明：分別過E，F(xiàn)作BD，B1D1的垂線,垂足為E1,F1，連接E1F1。因為EE1eq\f（1,4）AC，F(xiàn)F1eq\f（1，4）A1C1，ACA1C1,所以EE1FF1，所以四邊形EE1F1F為平行四邊形，所以EF∥E1F1。又因為EF?平面BB1D1D，E1F1?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D。【例4】解：(1)證明:∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG。∵HG?平面ABD，∴EF∥平面ABD?！逧F?平面ABC,平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.同理，∵CD∥EH,∴CD∥平面EFGH.(2）設EF＝x(0＜x＜4）,由于四邊形EFGH為平行四邊形,∴eq\f（CF,CB）＝eq\f(x，4）.故eq\f(FG,6）＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC－CF,BC)＝1－eq\f（x,4）。從而FG＝6－eq\f（3，2)x.于是四邊形EFGH的周長為l＝2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋6－\f(3,2)x））＝12－x.又0＜x＜4,∴8＜l＜12，即四邊形EFGH周長的取值范圍為（8,12）．【例5】正解：如圖所示，過a及平面α內(nèi)一點A作平面β，設β∩α＝c.∵a∥α,∴a∥c.∵a∥b,∴b∥c?！遙?α,c?α，∴b∥α.隨堂練習·鞏固1．C由等角定理可知選項C