數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講【例1】若a,b，c∈R，a>b,則下列不等式成立的是(）A.B.a2>b2C.D。a|c｜〉b|c｜思路解析：本題只提供了“a，b，c∈R,a〉b"這個條件，而不等式的基本性質(zhì)中，幾乎都有類似的前提條件，但結(jié)論會根據(jù)不同的要求有所不同,因而這需要根據(jù)本題的四個選擇項來進(jìn)行判斷.選項A，還需有ab〉0這個前提條件；選項B,當(dāng)a，b都為負(fù)數(shù)或一正一負(fù)時都有可能不成立，如2〉—3，但22>(-3)2不正確;選項C,>0,因而正確；選項D,當(dāng)c=0時不正確。答案：C綠色通道：考查不等式的基本性質(zhì)的選擇題，解答時，一是利用不等式的相關(guān)性質(zhì)，其中，特別要注意不等號變號的影響因素，如數(shù)乘、取倒數(shù)、開方、平方等；二是對所含字母取特殊值，結(jié)合排除法去選正確的選項,這種方法一般要注意選取的值應(yīng)具有某個方面的代表性,如選取0、正數(shù)、負(fù)數(shù)等?！咀兪接?xùn)練1】如果a，b，c滿足c〈b〈a，且ac〈0,那么下列選項中不一定成立的是（)A.ab>acB。c（b-a）〉0C。cb2〈ab2D。ac（a-c）〈0思路解析：由條件c〈b<a,ac〈0,可以知道a>0,c<0，但b的正負(fù)情況不確定.方法一：取a=1,b=0,c=—1分別代入A、B、C、D中驗證可知C不成立.方法二：由題意，知c<0，a〉0，則A一定正確；又c〈0,b—a<0，所以c(b—a）>0，所以B一定正確；ac<0,a-c>0,所以ac(a-c）<0，所以D一定正確.故選C(當(dāng)b=0時,不成立）.答案：C【變式訓(xùn)練2】已知a<0,b〈-1，則下列不等式成立的是（）A.a〉>ab2B?！怠礱C.>>aD。>a>思路解析：本題中的四個選項，實際是在比較三個數(shù)的大小，可以認(rèn)為是先比較、、1的大小關(guān)系，再比較、、a的大小，又因為a〈0，所以又可認(rèn)為是在比較、、—1的大小。因為b〈-1，所以1〉〉。也可以令a=—1,b=—2，分別代入A,B，C，D中，知A、B、D均錯.答案：C【例2】設(shè)a>0且a≠1，0〈x〈1,試比較｜loga（1-x）｜和｜loga（1+x)｜的大小。思路分析:由于所要比較的兩個數(shù)帶有絕對值號，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的知識，可知對a應(yīng)分為a〉1和0<a<1兩種情況討論。解:（1）當(dāng)a〉1時,∵0<x<1,∴-1<—x<0，0〈1—x<1,1+x〉1.∴l(xiāng)oga（1—x)<0，loga（1+x)〉0.∴｜loga（1—x)｜—｜loga(1+x)|=-logα(1-x）-loga(1+x)=—［loga（1-x）+loga(1+x）］=-loga（1-x)（1+x)=-loga（1-x2）。∵0<x〈1,∴0<x2<1,—1〈—x2<0,0〈1-x2<1，即loga(1-x2）〈0,—loga(1-x2)>0.∴|loga(1—x）|>｜loga（1+x)｜.(2）當(dāng)0〈a〈1時，loga(1—x）〉0，loga(1+x)〈0，∴|loga（1-x)|-｜loga（1+x)|=loga（1—x)+loga（1+x）=loga(1—x2)>0.∴|loga(1-x）|〉｜loga(1+x）｜.綜合①②，可知|loga（1—x)|>|loga(1+x）|。綠色通道：比較實數(shù)大小,常用作差或作商法,作差法中差式最后的形式可以有多種，如常數(shù)、平方數(shù)(式）、因式相乘等，這些結(jié)果形式在某些條件下是非常容易得到差式符號的，但在作差變形中，也存在一定的變化技巧，如平方相減、配方等.如果要比較的項較多，可恰當(dāng)選取“分界量”，如先找出正數(shù)、負(fù)數(shù)，在正數(shù)中找比1大的數(shù)，比1小的數(shù)等.【變式訓(xùn)練1】比較(+1）3-(—1)3與2的大?。╪≠0）。思路分析：本題中為一個整體，因而可以用換元法將第一個式子化簡變形，再與2比較大小。解：設(shè)a=，則（+1）3-（—1)3=(a+1）3-（a-1)3=（a3+3a2+3a+1）—（a3-3a2+3a—1)=6a2+2=n2+2。∴（+1）3-（—1)3—2=n2.∵n≠0,∴n2〉0?！?+1)3-(—1)3〉2.【變式訓(xùn)練2】已知a〉0且a≠1,P=loga（a2—a+1)，Q=loga（a3—a+1），則P與Q的大小關(guān)系是_____________。思路解析：P與Q兩數(shù)是對數(shù)式，兩對數(shù)同底，因此只需比較兩真數(shù)的大小，但應(yīng)對a討論.（a3-a+1）-(a2—a+1)=a3-a2=a2(a—1）。當(dāng)a>1時，函數(shù)y=logax是增函數(shù).a2（a-1）〉0,∴P<Q.當(dāng)0<a〈1時，函數(shù)y=logax是減函數(shù).∵a〈1,∴a2（a-1）〈0?！郟〈Q。綜上可知P<Q.答案:P〈Q【例3】（2006山東臨沂模擬考試,13）已知60<x<84，28<y〈33，則x—y的取值范圍為___________，的取值范圍為____________。思路解析：x—y=x+(—y），所以需先求出—y的范圍；=x×，所以需先求出的范圍。∵28<y〈33,∴—33〈—y<—28，。又60〈x〈84，∴27<x—y〈56，,即<3。答案：27<x—y〈56〈<3綠色通道：本題不能直接用x的范圍去減或除y的范圍,應(yīng)嚴(yán)格利用不等式的基本性質(zhì)去求得范圍，其次在有些題目中,還要注意整體代換的思想，即弄清要求的與已知的“范圍”間的聯(lián)系。如已知20<x+y〈30，15<x—y〈18，要求2x+3y的范圍，不能分別求出x，y的范圍，再求2x+3y的范圍，應(yīng)把已知的“x+y"“x-y”視為整體，即2x+3y=（x+y）-(x-y）,所以需分別求出=(x+y)、（x—y)的范圍,兩范圍相加可得2x+3y的范圍.“范圍”必須對應(yīng)某個字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問題,則不能再間接得出,必須“直來直去”,即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去求?！咀兪接?xùn)練】若已知二次函數(shù)y=f(x）的圖象過原點，且1≤f（—1)≤2,3≤f(1）≤4.求f（—2）的范圍.思路分析:用解方程的思想或待定系數(shù)法，視f(—1），f(1）為整體，找到f(-2)=mf（-1）+nf(1），求出m，n，再求f(-2）的范圍.解法一：∵f(x）過原點，∴可設(shè)f（x)=ax2+bx.∴∴∴f（-2）=4a—2b=3f(-1）+f（1），且1≤f(-1)≤2，3≤f(1）≤4,∴6≤f(-2）≤10。解法二：設(shè)f(x)=ax2+bx，則f(1)=a+b，f（—1）=a—b.令m(a+b）+n(a—b)=f(-2)=4a-2b,∴∴f(—2）=(a+b)+3(a-b)=f（1)+3f(—1)?！?≤f（-1)≤2，3≤f(1)≤4,∴6≤f(—2）≤10.問題探究問題：下表是某一地區(qū)在2006年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜中前5個行業(yè)的情況:行業(yè)名稱計算機(jī)機(jī)械營銷建筑物流應(yīng)聘人數(shù)2158302002501546766528074570招聘人數(shù)124620891151029357651670436你能根據(jù)表中的數(shù)據(jù),來分析一下這五個行業(yè)的就業(yè)形勢嗎？導(dǎo)思:一個行業(yè)就業(yè)形勢的好與壞，要綜合考察各個數(shù)據(jù),不能只看應(yīng)聘人數(shù),也不能只看招聘人數(shù)，可以用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招