數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究絕對(duì)值不等式的解法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講【例1】不等式|3x-2|〉4的解集是()A.{x|x>2}B。{x｜x<—}C.｛x|x〈-或x>2｝D.{x｜-〈x〈2｝思路解析:可以利用|ax+b|≥c型不等式的解法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，或者利用數(shù)形結(jié)合法.方法一：由|3x-2｜〉4，得3x-2〈-4或3x—2〉4.即x<-或x〉2.所以原不等式的解集為{x｜x〈-或x>2}.方法二：(數(shù)形結(jié)合法）：畫出函數(shù)y=|3x-2｜=的圖象，如下圖所示:｜3x-2｜=4，解得x=2或x=-,∴｜3x-2｜>4時(shí)，x<—或x>2.∴原不等式的解集為｛x|x<—或x〉2}。答案：C綠色通道：本題題型已成為“公式”型的問(wèn)題，即解不等式時(shí)，套用｜ax+b｜≥c型的轉(zhuǎn)化方法，進(jìn)而解之，而數(shù)形結(jié)合是從函數(shù)圖象的角度解釋不等式，從中可找到適合的x.本題是一道選擇題，從解選擇題的方法的角度來(lái)看，本題還可以用排除法，即比較選擇支間范圍的差異，從中取值代入不等式驗(yàn)證,然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行篩選。比如A項(xiàng)與B項(xiàng)對(duì)比,取x=3代入不等式可知原不等式成立，因而排除B.依此類推,可選出正確選項(xiàng).【變式訓(xùn)練】不等式4<|3x-2｜<8的解集為____________。思路解析：本題是由兩個(gè)絕對(duì)值不等式構(gòu)成的不等式組,可分別解出其解集，然后取交集即可.解法一:由4〈｜3x—2｜<8,得∴—2<x〈—或2<x<.∴原不等式的解集為{x|—2〈x<—或2<x〈｝解法二：由4〈｜3x-2｜〈8,得4〈3x—2〈8或—8<3x-2〈-4。解之得2<x<或-2<x<—?！嘣坏仁降慕饧癁閧x｜2〈x<或-2〈x<-}.答案：{x｜-2<x〈—或2〈x〈｝【例2】不等式｜5x—x2|<6的解集為（)A.{x|x<2或x〉3｝B.｛x｜-1〈x<2或3<x<6}C.{x|-1<x<6}D。{x｜2<x〈3｝思路解析:可以利用|x｜〈a的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后解一元二次不等式，取交集可得結(jié)果，本題還可以用數(shù)形法求結(jié)果.方法一：由｜5x—x2|〈6,得｜x2—5x|<6.∴-6〈x2—5x〈6.∴∴—1<x<2或3〈x<6.∴原不等式的解集為｛x｜—1〈x<2或3<x〈6｝方法二：作函數(shù)y=x2-5x的圖象。|x2-5x｜〈6表示函數(shù)圖象中直線y=—6和直線y=6之間相應(yīng)部分的自變量的集合。解方程x2—5x=6，得x1=-1,x2=6.x2—5x=-6,得x1′=2,x2′=3。即得到不等式的解集是｛x｜-1〈x<2或3〈x〈6}。答案：B綠色通道：利用數(shù)形結(jié)合,由函數(shù)圖象求解集，因而圖象的畫法就顯得重要了，對(duì)于本題，y=｜x2—5x|表示y=x2—5x在x軸之上的部分和y=x2-5x位于x軸下方的圖象翻折到x軸上方的部分.求解集時(shí),應(yīng)看一看函數(shù)圖象與直線y=6的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后才能求解。【變式訓(xùn)練】解不等式|x2-2x|<3.解法一:由|x2—2x｜〈3，得—3<x2-2x〈3,所以x2—2x+3〉0，且x2-2x-3〈0。因?yàn)閤2—2x+3=(x—1）2+2〉0，所以x2—2x-3〈0。解得—1〈x〈3。所以不等式的解集是（-1，3)。解法二:作函數(shù)y=x2—2x的圖象，｜x2-2x｜〈3表示函數(shù)圖象中在直線y=—3和直線y=3之間相應(yīng)部分的自變量的集合,解方程x2-2x=3,得x1=—1，x2=3。即不等式的解集是（-1，3）?！纠?】解不等式｜x-x2—2｜〉x2—3x-4.解法一：原不等式等價(jià)于x-x2-2〉x2—3x-4或x-x2—2<-（x2—3x—4）.∴原不等式的解集為{x|x>—3}。解法二：∵｜x-x2-2|=|x2-x+2|，而x2—x+2=（x—）2+>0，∴｜x—x2-2|=｜x2-x+2|=x2—x+2,故原不等式等價(jià)于x2—x+2〉x2-3x-4.∴x>—3。∴原不等式的解集為{x|x〉—3｝.綠色通道:本題形如｜f（x）｜〉g（x）,我們可以借助形如|ax+b｜〉c的解法轉(zhuǎn)化為f(x)<—g（x）或f(x)>g(x),當(dāng)然｜f(x）｜<g(x）—g(x）〈f(x）〈g（x）。而如果f（x)的正負(fù)能確定的話,也可以直接去掉絕對(duì)值再解.【變式訓(xùn)練】解不等式|x2—5x+6|>x2-4。解法一：（分段討論法）：當(dāng)x2—5x+6≥0，即x≤2或x≥3時(shí)，x2—5x+6>x2—4x〈2。當(dāng)x2—5x+6<0,即2<x<3時(shí),—(x2—5x+6)〈x2-4，∴〈x〈2.∴x不存在。綜上，可知原不等式的解集為x<2。解法二：由|x2—5x+6|〉x2—4，得x2—5x+6〈-(x2—4）或x2-5x+6>x2—4,即2x2—5x+2〈0或5x〈10.∴〈x〈2或x〈2。∴原不等式的解集為｛x|<x〈2｝?！纠?】解不等式|x+1｜+｜x—1｜≥3。思路分析：本題可以用分段討論法或數(shù)形結(jié)合法求解，對(duì)于形如|x+a|+|x+b｜的代數(shù)式，可以認(rèn)為是分段函數(shù)。解法一：如圖，設(shè)數(shù)軸上與-1,1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，那么A，B兩點(diǎn)的距離和為2，因此區(qū)間［—1，1]上的數(shù)都不是不等式的解.設(shè)在A點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)A1，到A,B兩點(diǎn)的距離和為3，A1對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x?！?1-x+1—x=3，得x=.同理設(shè)B點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)B1到A，B兩點(diǎn)距離和為3,B1對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x，∴x—1+x-（-1）=3.∴x=.從數(shù)軸上可看到，點(diǎn)A1，B1之間的位點(diǎn)到A，B的距離之和都小于3；點(diǎn)A1的左邊或點(diǎn)B1的右邊的任何點(diǎn)到A,B的距離之和都大于3。所以原不等式的解集是(-∞，—］∪[，+∞）.解法二：當(dāng)x≤-1時(shí)，原不等式可以化為—（x+1）-(x—1）≥3，解得:x≤—.當(dāng)—1<x<1時(shí)，原不等式可以化為x+1-(x—1）≥3，即2≥3.不成立，無(wú)解。當(dāng)x≥1時(shí)，原不等式可以化為x+1+x—1≥3.所以x≥.綜上，可知原不等式的解集為｛x｜x≤-或x≥｝。解法三:將原不等式轉(zhuǎn)化為｜x+1|+｜x—1｜—3≥0。構(gòu)造函數(shù)y=｜x+1｜+|x-1｜—3即y=作出函數(shù)的圖象(如下圖）函數(shù)的零點(diǎn)是—,。從圖象可知,當(dāng)x≤-或x≥時(shí)y≥0，即|x+1｜+|x—1|—3≥0.所以原不等式的解集為(—∞，-］∪［,+∞).綠色通道:這三種解法以第二種解法最重要,但是其中的分段討論要遵循分類討論的原則“不重不漏”；第一種解法中關(guān)鍵是找到一些特殊的點(diǎn)如A1,B1;第三種解法中，準(zhǔn)確畫出圖象,是y=|x+1｜+｜x—1｜—3的圖象,而不是y=｜x+1|+｜x-1｜的，其次函數(shù)的零點(diǎn)要找準(zhǔn)。這些都是求解集的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】解不等式｜x+1｜+|x-1|≤1.解：由原不等式，得解集為。問(wèn)題探究問(wèn)題：汽車沿道路AE行駛，AE是由AB（長(zhǎng)10km）,BC(長(zhǎng)5km），CD(長(zhǎng)5km）,DE（長(zhǎng)6km）組成，根據(jù)時(shí)刻表，汽車于9時(shí)從A處出發(fā)，經(jīng)過(guò)B、C、D等處的時(shí)刻分別是時(shí)，時(shí)，9時(shí)，如果汽車以勻速v行駛，為了使它經(jīng)過(guò)B、C、D等處的時(shí)刻與汽車時(shí)刻表的差的絕對(duì)值之和,再加上從A到E的行駛時(shí)間不超過(guò)51。7分鐘，那么汽車行駛的速度v應(yīng)是怎樣的？導(dǎo)思：絕對(duì)值符號(hào)的存在是解含有絕對(duì)值不等式的一大障礙,要等價(jià)轉(zhuǎn)化，需要先找出零點(diǎn),劃分區(qū)間，利用零點(diǎn)分段討論.將整體問(wèn)題化為部分來(lái)解決，化成部分后，從而增加題設(shè)條件,是解決分類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。探究：由題設(shè)可知||+||+｜-|+≤。設(shè)m=,則｜2m-|+|3m-|+｜4m—|+m≤。（1)當(dāng)m≤時(shí)，不等式為-2m+