數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究空間直角坐標(biāo)系空間兩點(diǎn)的距離公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1點(diǎn)P(-3,2,—1）關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)是________________;關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是________________；關(guān)于平面zOx的對(duì)稱點(diǎn)是________________;關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是________________;關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是________________;關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)是________________；關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是________________.思路解析:注意到點(diǎn)的對(duì)稱方式,看清楚三維坐標(biāo)對(duì)稱后的符號(hào)的變化。關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)不變號(hào),豎坐標(biāo)變號(hào)；關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)縱、豎坐標(biāo)不變號(hào)，橫坐標(biāo)變號(hào);關(guān)于平面zOx的對(duì)稱點(diǎn)橫、豎坐標(biāo)不變號(hào)，縱坐標(biāo)變號(hào);關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)不變號(hào)，縱、豎坐標(biāo)變號(hào);關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)縱坐標(biāo)不變號(hào)，橫、豎坐標(biāo)變號(hào)；關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)豎坐標(biāo)不變號(hào)，縱、橫坐標(biāo)變號(hào)；關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)橫、縱和豎坐標(biāo)都變號(hào)。答案：(—3，2,1)（3,2，-1）（-3，—2，-1）(-3，—2,1）(3，2,1）(3,—2，—1)（3，—2，1)綠色通道：求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律是：關(guān)于誰對(duì)稱，誰的坐標(biāo)就不變號(hào),其余的都要變號(hào).變式訓(xùn)練1（2006東北三校一模，18)點(diǎn)P在x軸上，它到點(diǎn)P1（0，2，3）的距離是到點(diǎn)P2（0，1，-1)的距離的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。思路分析：本題給出了一個(gè)相等關(guān)系，即可以用方程的思想解決,即設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后將題意轉(zhuǎn)化成方程進(jìn)行解答。解：因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上，設(shè)P(x，0，0），|PP1｜=，|PP2｜=.∵｜PP1|=2｜PP2｜，∴。解得x=±1.故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0，0）或(-1，0，0）。例2建立球心為M0(x0，y0，z0），半徑為R的球面方程.思路分析:根據(jù)到球心距離等于球半徑列方程。在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓,與之類似的是，在三維空間中,到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是以定點(diǎn)為球心、以定長(zhǎng)為半徑的球面.解：設(shè)M（x，y，z)是球面上的任意一點(diǎn)〔如圖2-4-（1，2）—3〕，那么｜M0M即=R.兩邊同時(shí)平方，得所求的球面方程為（x-x0)2+（y-y0）2+（z-z0）2=R2.如果球心在原點(diǎn)，那么x0=y0=z0=0，這時(shí)球面的方程為x2+y2+z2=R2。圖2-4—（1,2）-3綠色通道：空間兩點(diǎn)間的距離公式是目前我們解決空間問題的唯一的工具。變式訓(xùn)練2證明以A（4，3，1）、B（7,1，2)、C(5，2,3)為頂點(diǎn)的△ABC是一等腰三角形。思路分析:根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別求出線段AB、BC、AC的長(zhǎng)，然后就可發(fā)現(xiàn)這三條線段中有兩條長(zhǎng)度相等，即可得證。解：由兩點(diǎn)間距離公式得|AB|=，｜BC|=,｜CA｜=.由于|BC｜=|CA|=6，所以△ABC是一等腰三角形.問題探究問題根據(jù)“在直線坐標(biāo)系中，研究點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中,研究線（主要是直線和曲線）”，探究在空間直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么，如何表示.導(dǎo)思：在直線坐標(biāo)系中,研究點(diǎn)的方法是建立一元方程，即任意一個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一點(diǎn)；在平面直角坐標(biāo)系中，研究線的方法是建立二元方程，這個(gè)方程是不定方程，有無數(shù)組解，每一個(gè)解都對(duì)應(yīng)平面上的一個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)的集合構(gòu)成線;因此,在空間直角坐標(biāo)系中，研究的對(duì)象應(yīng)該是面,研究面的方法應(yīng)該是建立三元方程,當(dāng)然三元方程也是不定方程,也有無數(shù)組解，每一個(gè)解對(duì)應(yīng)空間中的一個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)的集合構(gòu)成面.探究：在平面直角坐標(biāo)系中，到原點(diǎn)(0，0）的距離等于定長(zhǎng)R的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)R為半徑的圓.圓的方程可以這樣得到：設(shè)到原點(diǎn)(0,0)的距離等于定長(zhǎng)R的任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y），則根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式有=R，即x2+y2=R2。那么在空間直角坐標(biāo)系中，到原點(diǎn)O(0，0，0)的距離等于定長(zhǎng)R的點(diǎn)的集合