遼寧省阜新市中考數(shù)學試卷（含解析版）

遼寧省阜新市中考數(shù)學試卷一、選擇題（在每一小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.每小題3分，共18分.）1．（3分）(遼寧阜新）﹣2的倒數(shù)是（） A．﹣ B． C． ﹣2 D． 22．（3分）(遼寧阜新）如圖的幾何體是由4個完全相同的正方體組成的，這個幾何體的左視圖是（） A． B． C． D． 3．（3分）(遼寧阜新）在某校開展的“厲行節(jié)約，你我有責”活動中，七年級某班對學生7天內收集飲料瓶的情況統(tǒng)計如下（單位：個）：76，90，64，100，84，64，73．則這組數(shù)據的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（） A．64，100 B． 64，76 C． 76，64 D． 64，844．（3分）(遼寧阜新）△ABO與△A1B1O在平面直角坐標系中的位置如圖所示，它們關于點O成中心對稱，其中點A（4，2），則點A1的坐標是（） A．（4，﹣2） B． （﹣4，﹣2） C． （﹣2，﹣3） D． （﹣2，﹣4）5．（3分）(遼寧阜新）反比例函數(shù)y=在每個象限內的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（） A．m＜0 B． m＞0 C． m＞﹣1 D． m＜﹣1考生請注意：6、7題為二選一的選做題，即只能選做其中一個題目.多答時只按作答的首題評分，切記！6．（3分）(遼寧阜新）為了節(jié)省空間，家里的飯碗一般是摞起來存放的．如果6只飯碗摞起來的高度為15cm，9只飯碗摞起來的高度為20cm，那么11只飯碗摞起來的高度更接近（） A．21cm B． 22cm C． 23cm D． 24cm7．(遼寧阜新）對于一次函數(shù)y=kx+k﹣1（k≠0），下列敘述正確的是（） A． 當0＜k＜1時，函數(shù)圖象經過第一、二、三象限 B． 當k＞0時，y隨x的增大而減小 C． 當k＜1時，函數(shù)圖象一定交于y軸的負半軸 D． 函數(shù)圖象一定經過點（﹣1，﹣2）二、填空題（每小題3分，共18分.）8．（3分）(遼寧阜新）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．9．（3分）(遼寧阜新）任意擲一枚質地均勻的小立方體（立方體的每個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6），朝上的面的數(shù)字大于2的概率是．10．（3分）(遼寧阜新）如圖，直線a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=度．11．（3分）(遼寧阜新）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B=度．12．（3分）(遼寧阜新）已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周長是．考生請注意：13、14題為二選一的選做題，即只能選做其中一個題目.多答時只按作答的首題評分，切記！13．（3分）(遼寧阜新）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．14．(遼寧阜新）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象經過點A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．三、解答題（15、16、17、18題每題10分，19、20題每題12分，共64分.）15．（10分）(遼寧阜新）（1）計算：+（2014﹣π）0﹣4cos30°；（2）先化簡，再求值：（x+）÷，其中x=+1．16．（10分）(遼寧阜新）如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，其中點A（5，4），B（1，3），將△AOB繞點O逆時針旋轉90°后得到△A1OB1．（1）畫出△A1OB1；（2）在旋轉過程中點B所經過的路徑長為；（3）求在旋轉過程中線段AB、BO掃過的圖形的面積之和．17．（10分）(遼寧阜新）“分組合作學習”成為我市推動課堂教學改革，打造自主高效課堂的重要舉措．某中學從全校學生中隨機抽取100人作為樣本，對“分組合作學習”實施前后學生的學習興趣變化情況進行調查分析，統(tǒng)計如下：分組前學生學習興趣分組后學生學習興趣請結合圖中信息解答下列問題：（1）求出分組前學生學習興趣為“高”的所占的百分比為；（2）補全分組后學生學習興趣的統(tǒng)計圖；（3）通過“分組合作學習”前后對比，請你估計全校2000名學生中學習興趣獲得提高的學生有多少人？請根據你的估計情況談談對“分組合作學習”這項舉措的看法．18．（10分）(遼寧阜新）在“玉龍”自行車隊的一次訓練中，1號隊員以高于其他隊員10千米/時的速度獨自前行，勻速行進一段時間后，又返回隊伍，在往返過程中速度保持不變．設分開后行進的時間為x（時），1號隊員和其他隊員行進的路程分別為y1、y2（千米），并且y1、y2與x的函數(shù)關系如圖所示：（1）1號隊員折返點A的坐標為，如果1號隊員與其他隊員經過t小時相遇，那么點B的坐標為；（用含t的代數(shù)式表示）（2）求1號隊員與其他隊員經過幾小時相遇？（3）在什么時間內，1號隊員與其他隊員之間的距離大于2千米？19．（12分）(遼寧阜新）已知，在矩形ABCD中，連接對角線AC，將△ABC繞點B順時針旋轉90°得到△EFG，并將它沿直線AB向左平移，直線EG與BC交于點H，連接AH，CG．（1）如圖①，當AB=BC，點F平移到線段BA上時，線段AH，CG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？直接寫出你的猜想；（2）如圖②，當AB=BC，點F平移到線段BA的延長線上時，（1）中的結論是否成立，請說明理由；（3）如圖③，當AB=nBC（n≠1）時，對矩形ABCD進行如已知同樣的變換操作，線段AH，CG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？直接寫出你的猜想．20．（12分）(遼寧阜新）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A，交y軸于點B，已知經過點A，B的直線的表達式為y=x+3．（1）求拋物線的函數(shù)表達式及其頂點C的坐標；（2）如圖①，點P（m，0）是線段AO上的一個動點，其中﹣3＜m＜0，作直線DP⊥x軸，交直線AB于D，交拋物線于E，作EF∥x軸，交直線AB于點F，四邊形DEFG為矩形．設矩形DEFG的周長為L，寫出L與m的函數(shù)關系式，并求m為何值時周長L最大；（3）如圖②，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使點A，B，Q構成的三角形是以AB為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．遼寧省阜新市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（在每一小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.每小題3分，共18分.）1．（3分）(遼寧阜新）﹣2的倒數(shù)是（） A．﹣ B． C． ﹣2 D． 2分析：根據倒數(shù)的定義即可求解．解答：解：﹣2的倒數(shù)是﹣．故選：A．點評：主要考查倒數(shù)的概念及性質．倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．2．（3分）(遼寧阜新）如圖的幾何體是由4個完全相同的正方體組成的，這個幾何體的左視圖是（） A． B． C． D． 考點：簡單組合體的三視圖．專題：常規(guī)題型．分析：細心觀察圖中幾何體中正方體擺放的位置，根據左視圖是從左面看到的圖形判定則可．解答：解：從左邊看去，左邊是兩個正方形，右邊是一個正方形，即可得出答案，故選：C．點評：本題考查了由三視圖判斷幾何體和簡單組合體的三視圖，關鍵是掌握幾何體的三視圖及空間想象能力．3．（3分）(遼寧阜新）在某校開展的“厲行節(jié)約，你我有責”活動中，七年級某班對學生7天內收集飲料瓶的情況統(tǒng)計如下（單位：個）：76，90，64，100，84，64，73．則這組數(shù)據的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（） A．64，100 B． 64，76 C． 76，64 D． 64，84考點：眾數(shù)；中位數(shù)．專題：常規(guī)題型．分析：根據眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解．解答：解：這組數(shù)據按照從小到大的順序排列為：64，64，73，76，84，90，100，則眾數(shù)為：64，中位數(shù)為：76．故選：B．點評：本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念：一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據的中位數(shù)；如果這組數(shù)據的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據的平均數(shù)就是這組數(shù)據的中位數(shù)．4．（3分）(遼寧阜新）△ABO與△A1B1O在平面直角坐標系中的位置如圖所示，它們關于點O成中心對稱，其中點A（4，2），則點A1的坐標是（） A．（4，﹣2） B． （﹣4，﹣2） C． （﹣2，﹣3） D． （﹣2，﹣4）考點：關于原點對稱的點的坐標．專題：幾何圖形問題．分析：根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．解答：解：∵A和A1關于原點對稱，A（4，2），∴點A1的坐標是（﹣4，﹣2），故選：B．點評：此題主要考查了關于原點對稱的點的坐標，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．5．（3分）(遼寧阜新）反比例函數(shù)y=在每個象限內的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（） A．m＜0 B． m＞0 C． m＞﹣1 D． m＜﹣1考點：反比例函數(shù)的性質．專題：計算題．分析：根據反比例函數(shù)的性質得m+1＜0，然后解不等式即可．解答：解：根據題意得m+1＜0，解得m＜﹣1．故選：D．點評：本題考查了反比例函數(shù)的性質：反比例函數(shù)y=xk（k≠0）的圖象是雙曲線；當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減??；當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大．考生請注意：6、7題為二選一的選做題，即只能選做其中一個題目.多答時只按作答的首題評分，切記！6．（3分）(遼寧阜新）為了節(jié)省空間，家里的飯碗一般是摞起來存放的．如果6只飯碗摞起來的高度為15cm，9只飯碗摞起來的高度為20cm，那么11只飯碗摞起來的高度更接近（） A．21cm B． 22cm C． 23cm D． 24cm考點：二元一次方程組的應用．專題：方程思想．分析：設碗的個數(shù)為xcm，碗的高度為ycm，可得碗的高度和碗的個數(shù)的關系式為y=kx+b，根據6只飯碗摞起來的高度為15cm，9只飯碗摞起來的高度為20cm，列方程組求解，然后求出11只飯碗摞起來的高度．解答：解：設碗身的高度為xcm，碗底的高度為ycm，由題意得，，解得：，則11只飯碗摞起來的高度為：×11+5=23（cm）．更接近23cm．故選：C．點評：本題考查了二元一次方程組的應用，關鍵是根據題意，找出合適的等量關系，列方程組求解．7．(遼寧阜新）對于一次函數(shù)y=kx+k﹣1（k≠0），下列敘述正確的是（） A． 當0＜k＜1時，函數(shù)圖象經過第一、二、三象限 B． 當k＞0時，y隨x的增大而減小 C． 當k＜1時，函數(shù)圖象一定交于y軸的負半軸 D． 函數(shù)圖象一定經過點（﹣1，﹣2）考點：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．專題：常規(guī)題型．分析：根據一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系對A、B、C進行判斷；根據一次函數(shù)圖象上點的坐標特征對D進行判斷．解答：解：A、當0＜k＜1時，函數(shù)圖象經過第一、三、四象限，所以A選項錯誤；B、當k＞0時，y隨x的增大而增大，所以B選項錯誤；C、當k＜1時，函數(shù)圖象一定交于y軸的負半軸，所以C選項正確；D、把x=﹣1代入y=kx+k﹣1得y=﹣k+k﹣1=﹣1，則函數(shù)圖象一定經過點（﹣1，﹣1），所以D選項錯誤．故選：C．點評：本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）是一條直線，當k＞0，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0，圖象經過第二、四象限，y隨x的增大而減??；圖象與y軸的交點坐標為（0，b）．二、填空題（每小題3分，共18分.）8．（3分）(遼寧阜新）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x≥﹣4．考點：函數(shù)自變量的取值范圍．專題：計算題．分析：根據二次根式的性質，被開方數(shù)大于等于0，就可以求解．解答：解：根據題意得：x+4≥0，解得：x≥﹣4．故答案為：x≥﹣4．點評：本題考查的是函數(shù)自變量取值范圍的求法．函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù)．9．（3分）(遼寧阜新）任意擲一枚質地均勻的小立方體（立方體的每個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6），朝上的面的數(shù)字大于2的概率是．考點：概率公式．專題：常規(guī)題型．分析：根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)，②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．解答：解：∵投擲一次會出現(xiàn)1，2，3，4，5，6共六種情況，并且出現(xiàn)每種可能都是等可能的，∴朝上的面的數(shù)字大于2的概率是：=．故答案為：．點評：本題主要考查了概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，比較簡單．10．（3分）(遼寧阜新）如圖，直線a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=42度．考點：平行線的性質；垂線．專題：計算題．分析：根據垂線的性質和平行線的性質進行解答．解答：解：如圖，∵AB⊥BC，∠1=48°，∴∠3=90°﹣48°=42°．又∵直線a∥b，∴∠2=∠3=42°．故答案為：42．點評：本題考查了平行線的性質．此題利用了“兩直線平行，同位角相等”的性質．11．（3分）(遼寧阜新）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B=50度．考點：圓周角定理．專題：計算題．分析：直接根據圓周角定理求解．解答：解：∠B=∠AOC=×100°=50°．故答案為：50．點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．12．（3分）(遼寧阜新）已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周長是12．考點：相似三角形的性質．專題：計算題．分析：根據相似的性質得=，即=，然后利用比例的性質計算即可．解答：解：∵△ABC∽△DEF，∴=，即=，∴△DEF的周長=12．故答案為：12．點評：本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比．考生請注意：13、14題為二選一的選做題，即只能選做其中一個題目.多答時只按作答的首題評分，切記！13．（3分）(遼寧阜新）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．考點：翻折變換（折疊問題）．專題：幾何圖形問題．分析：根據AB：AD=2：3，以及折疊的性質表示出三角形ABF的各邊長，然后利用等角變換得出∠BAF=∠CFE，繼而可得出答案．解答：解：∵AB：AD=2：3，∴在Rt△ABF中，設AB=2x，AF=AD=BC=3x，則BF=，又∵∠EFC+∠AFB=90°，∠AFB+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CFE，故tan∠EFC=tan∠BAF=．故答案為：．點評：本題考查了翻折變換及銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關鍵是解直角三角形ABF，另外要得出重要的一點是∠BAF=∠CFE．14．(遼寧阜新）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象經過點A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是x1=0，x2=2．考點：拋物線與x軸的交點．專題：計算題．分析：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3求出a，b的值，再代入ax2+bx=0解方程即可．解答：解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得，代入ax2+bx=0得，﹣x2+2x=0，解得x1=0，x2=2．故答案為：x1=0，x2=2．點評：本題主要考查了拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是求出a，b的值．三、解答題（15、16、17、18題每題10分，19、20題每題12分，共64分.）15．（10分）(遼寧阜新）（1）計算：+（2014﹣π）0﹣4cos30°；（2）先化簡，再求值：（x+）÷，其中x=+1．考點：分式的化簡求值；實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．專題：計算題．分析：（1）原式第一項化為最簡二次根式，第二項利用零指數(shù)冪法則計算，最后一項利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結果；（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，將x的值代入計算即可求出值．解答：解：（1）原式=2+1﹣4×=1；（2）原式=?=?=，當x=+1時，原式==．點評：此題考查了分式的化簡求值，以及實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．16．（10分）(遼寧阜新）如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，其中點A（5，4），B（1，3），將△AOB繞點O逆時針旋轉90°后得到△A1OB1．（1）畫出△A1OB1；（2）在旋轉過程中點B所經過的路徑長為π；（3）求在旋轉過程中線段AB、BO掃過的圖形的面積之和．考點：作圖-旋轉變換；勾股定理；弧長的計算；扇形面積的計算．專題：作圖題．分析：（1）根據網格結構找出點A、B繞點O逆時針旋轉90°后的對應點A1、B1的位置，然后順次連接即可；（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧長公式計算即可得解；（3）利用勾股定理列式求出OA，再根據AB所掃過的面積=S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB求解，再求出BO掃過的面積=S扇形B1OB，然后計算即可得解．解答：解：（1）△A1OB1如圖所示；（2）由勾股定理得，BO==，所以，點B所經過的路徑長==π；故答案為：π．（3）由勾股定理得，OA==，∵AB所掃過的面積=S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB，BO掃過的面積=S扇形B1OB，∴線段AB、BO掃過的圖形的面積之和=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB，=S扇形A1OA，=，=π．點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，弧長公式，扇形的面積，勾股定理，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵，難點在于（3）表示出兩線段掃過的面積之和等于扇形的面積．17．（10分）(遼寧阜新）“分組合作學習”成為我市推動課堂教學改革，打造自主高效課堂的重要舉措．某中學從全校學生中隨機抽取100人作為樣本，對“分組合作學習”實施前后學生的學習興趣變化情況進行調查分析，統(tǒng)計如下：分組前學生學習興趣分組后學生學習興趣請結合圖中信息解答下列問題：（1）求出分組前學生學習興趣為“高”的所占的百分比為30%；（2）補全分組后學生學習興趣的統(tǒng)計圖；（3）通過“分組合作學習”前后對比，請你估計全校2000名學生中學習興趣獲得提高的學生有多少人？請根據你的估計情況談談對“分組合作學習”這項舉措的看法．考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．專題：圖表型．分析：（1）用1減去學習興趣為“極高”、“中”、“低”的所占的百分比即是學習興趣為“高”的所占的百分比；（2）用總人數(shù)100人減去學生學習興趣為“極高”、“高”、“低”的人數(shù)可得學習興趣為“中”的人數(shù)，再補全分組后學生學習興趣的統(tǒng)計圖即可；（3）先求出100人中學習興趣獲得提高的學生所占的百分比，再乘以2000即可．解答：解：（1）1﹣25%﹣25%﹣20%=30%，故答案為：30%；（2）100﹣30﹣35﹣5=30（人），分組后學生學習興趣的統(tǒng)計圖如下：（3）分組前學生學習興趣“中”的有100×25%=25（人），分組后提高了30﹣25=5（人）；分組前學生學習興趣“高”的有100×30%=30（人），分組后提高了35﹣30=5（人）；分組前學生學習興趣為“極高”的有100×25%=25（人），分組后提高了30﹣25=5（人），2000×=300（人）．答：全校2000名學生中學習興趣獲得提高的學生有300人，“分組合作學習”大大提高了學生的學習興趣，要全力推行這種課堂教學模式．點評：本題主要考查了條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體及扇形統(tǒng)計圖，解題的關鍵是把條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據正確的結合起來求解．18．（10分）(遼寧阜新）在“玉龍”自行車隊的一次訓練中，1號隊員以高于其他隊員10千米/時的速度獨自前行，勻速行進一段時間后，又返回隊伍，在往返過程中速度保持不變．設分開后行進的時間為x（時），1號隊員和其他隊員行進的路程分別為y1、y2（千米），并且y1、y2與x的函數(shù)關系如圖所示：（1）1號隊員折返點A的坐標為（，10），如果1號隊員與其他隊員經過t小時相遇，那么點B的坐標為（t，35t）；（用含t的代數(shù)式表示）（2）求1號隊員與其他隊員經過幾小時相遇？（3）在什么時間內，1號隊員與其他隊員之間的距離大于2千米？考點：一次函數(shù)的應用．專題：數(shù)形結合．分析：（1）根據待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據函數(shù)值，可得相應的自變量，根據自變量的值，可得函數(shù)值；（2）根據一元一次方程的應用，可得答案；（3）分類討論，根據行進時，距離大于2，返回時距離大于2，可得一元一次不等式組，根據解不等式組，可得答案．解答：解：（1）1號隊員折返點A的坐標為（，10），如果1號隊員與其他隊員經過t小時相遇，那么點B的坐標為（t，35t），故答案為：（，10），（t，35t）；（2）1號隊員的速度是5=45km/h，其它隊員的速度是35km/h，根據題意，得45t+35t=20，t=0.25，答：求1號隊員與其他隊員經過0.25小時相遇；（3）設x小時時，1號隊員與其他隊員之間的距離大于2千米，根據題意，得，解得：．答：在時，1號隊員與其他隊員之間的距離大于2千米．點評：本題考查了一次函數(shù)的應用，利用了函數(shù)與自變量的關系，一元一次方程的應用，一元一次不等式組的應用，題目稍有難度．19．（12分）(遼寧阜新）已知，在矩形ABCD中，連接對角線AC，將△ABC繞點B順時針旋轉90°得到△EFG，并將它沿直線AB向左平移，直線EG與BC交于點H，連接AH，CG．（1）如圖①，當AB=BC，點F平移到線段BA上時，線段AH，CG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？直接寫出你的猜想；（2）如圖②，當AB=BC，點F平移到線段BA的延長線上時，（1）中的結論是否成立，請說明理由；（3）如圖③，當AB=nBC（n≠1）時，對矩形ABCD進行如已知同樣的變換操作，線段AH，CG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？直接寫出你的猜想．考點：四邊形綜合題；三角形的外角性質；全等三角形的判定與性質；矩形的性質；平移的性質；旋轉的性質；相似三角形的判定與性質．專題：證明題；幾何綜合題．分析：（1）延長AH與CG交于點T，如圖①，易證BH=BG，從而可證到△ABH≌△CBG，則有AH=CG，∠HAB=∠GCB，從而可證到∠HAB+∠AGC=90°，進而可證到AH⊥CG．（2）延長CG與AH交于點Q，如圖②，仿照（1）中的證明方法就可解決問題．（3）延長AH與CG交于點N，如圖③，易證BH∥EF，可得△GBH∽△GFE，則有=，也就有=，從而可證到△ABH∽△CBG，則有==n，∠HAB=∠GCB，進而可證到AH=nCG，AH⊥CG．解答：解：（1）AH=CG，AH⊥CG．證明：延長AH與CG交于點T，如圖①，由旋轉和平移的性質可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF．∴BH=BG．在△ABH和△CBG中，，∴△ABH≌△CBG（SAS）．∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．∴∠ATC=90°．∴AH⊥CG．（2）（1）中的結論仍然成立．證明：延長CG與AH交于點Q，如圖②，由旋轉和平移的性質可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．∴∠ABH=90°，∠EGF=45°．∴∠BGH=∠EGF=45°．∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠BGH．∴BH=BG．在△ABH和△CBG中，，∴△ABH≌△CBG（SAS）．∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°．∴∠CQA=90°．∴CG⊥AH．（3）AH=nCG，AH⊥CG．理由如下：延長AH與CG交于點N，如圖③，由旋轉和平移的性質可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．∵四邊形ABCD是矩形，AB=nBC，∴EF=nGF，∠EFG=∠ABC=90°．∴∠EFG+∠ABC=180°．∴BH∥EF．∴△GBH∽△GFE．∴=．∵=n=，∴=．∵∠ABH=∠CBG，∴△ABH∽△CBG．∴==n，∠HAB=∠GCB．∴AH=nCG，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．∴∠ANC=90°．∴AH⊥CG．點評：本題通過圖形的運動變化，考查了旋轉的性質、平移的性質、矩形