空間角與距離知識點與題型歸納總結(jié)

空間角與距離知識點與題型歸納總結(jié)知識點精講空間角的定義和范圍兩條異面直線所成角θ的范圍是，當θ=時，這兩條異面直線互相垂直。斜線AO與它在平面α內(nèi)的射影AB所成角θ叫做直線與平面所成的角。平面的斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的任一直線所成角中最小的角，如果直線和平面垂直，那么直線與平面所成的角為；如果直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，那么就是直線和平面所成的角為0.直線和平面所成的角的范圍為；斜線和平面所成的角的范圍為從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的角叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面，棱為，兩個平面分別為α，β的二面角記做α--β，二面角的范圍是一個平面垂直于二面角的公共棱，且與兩個半平面的交線分別是射線OA，OB，則∠AOB叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的兩個平面垂直。點到平面距離的定義點到平面的距離即點到它在平面內(nèi)的正射影的距離。題型歸納及思路提示題型1空間角的計算 思路提示 求解空間角如異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角的平面角的大小；常用的方法有：（1）定義法；（2）選點平移法；（3）垂線法：（4）垂面法；（5）向量法。一、異面直線所成的角 方法一：通過選點平移法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為共面相交的兩直線的夾角來求解，但要注意兩條異面直線所成角的范圍是。 方法二：向量法，設異面直線a和b的方向向量為和，利用夾角余弦公式可求得a和b的夾角大小α，且。例8.59直三棱柱中，若∠BAC=90°，AB=AC=，則異面直線與所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°分析通過選點平移法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角,在三角形中利用余弦定理來求解.解析如圖8-218所示,連接,設,過點作交于點,連接,故(或其補角)為異面直線與所成的角,設,則,,,故為正三角形,,即異面直線與所成的角等于60°,故選C.變式1如圖8-219所示,在長方體中,,是棱的中點,求異面直線和所成的角的正切值.變式2如圖8-220所示,在三棱柱中,是正方形的中心,平面,,求異面直線AC與所成角的余弦值.例8.60如圖8-221所示,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,MD⊥平面ABCD，且MD=NB＝１，Ｅ為ＢＣ的中點，求異面直線ＮＥ與ＡＭ所成角的余弦值．分析利用向量法求解異面直線所成的角．解析解法一：如圖８－２２２所示，以Ｄ為坐標原點，建立空間直角坐標系D-xyz,依題意,得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(,1,0),所以，因為所以異面直線ＮＥ與ＡＭ所成角的余弦值為。解法二：對幾何體細心觀察，正三棱錐B-AN的三條側(cè)棱兩兩垂直，它分明是正方體的一角，從這個視角出發(fā)，又聯(lián)系到MD⊥平面ABCD，ABCD又恰好是正方形（正方體的一個面），如此分析，應當想到已知形體是正方體的一部分，于是“補全”正方體是合乎情理的。 如圖８－２２３所示，連接BQ，易知BQ∥AM，設BQ∩NE＝F，則∠NFQ即為AM與NE所成的角，在正方體BC-QN中，E為BC中點，NQ＝１，由△BEF∽△NQF，從而，即為所求。變式１如圖８－２２４所示，已知正方體，點Ｅ是正方形的中心，點Ｇ是棱的中點，設分別是Ｅ，Ｇ在平面內(nèi)的正投影。求異面直線與ＥＡ所成角的正弦值。變式2如圖8-225所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD,E是PC的中點。已知AB=2,AD=,PA=2.求異面直線BC與AE所成的角的大小.二、直線與平面所成的角 方法一:(垂線法)直線與平面所成的角就是直線與此直線在平面內(nèi)的射影直線所成的角.過直線上一點作出平面的垂線,得到垂足,而射影直線就通過斜足與垂足,因此作出平面的垂線是必要的一步.具體步驟是:①先作出該角;②在直角三角形中求解. 方法二:(向量法)直線與平面所成的角為直線的方向向量與平面的法向量所成的銳角的余角. 如圖8-226所示，設直線l的方向向量為，平面α的法向量為，直線l和平面α所成的角為θ，則<,>+θ=,或<,>-θ=,因為θ的取值范圍是，所以.方法三：（點面距法）利用相關(guān)方法求出直線上一點到平面的距離d，再求出此點與斜足間的距離l,設直線和平面所成角的大小為θ，則. 例8.61如圖8-227所示，二面角的大小是60°，線段，AB與所成角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是. 分析作出直線AB在平面β的射影，射影與AB所成的角即為AB與平面所成的角，再求出其正弦值. 解析如圖8-228所示,過點A作AH⊥β于點H，過點H作GH⊥l于點G,連接AG，由三垂線定理得l⊥AG,故∠AGH為二面角的平面角，得∠AGH=60°，不妨設AG=2，則AH=,HG=1,又AB與所成角為30°，故，在Rt△ABH中，，故AB與平面β所成的角的正弦值是.變式1如圖8-229所示，在棱長為2的正方體中，點E是的中點.求DE與平面ABCD所成角的正切值.變式2如圖8-230所示，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，點D是AB的中點，且AC=BC=α，∠VDC=.當變化時,求直線BC與平面VAB所成角的取值范圍.變式3如圖8-231所示,在Rt△AOB中，∠AOB=,斜邊AB=4,Rt△AOC可以通過Rt△AOB以AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角，動點D在斜邊AB上，求CD與平面AOB所成角正切的最大值.三、二面角的平面角 求二面角的平面角的方法有：(1)根據(jù)定義，即在公共棱上取一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，兩條垂線所成的角即為二面角的平面角；（2）利用三垂線定理及其逆定理；（3）當二面角由兩個等腰三角形構(gòu)成時，利用底邊的額兩條中線；（4）求正棱錐側(cè)面夾角時利用三角形全等；（5）在直棱柱中求截面與底面夾角時，用二面角的面積射影定理，其中為二面角的大小;(6)利用空間向量求解二面角，轉(zhuǎn)化為兩個平面的法向量夾角，公共棱不明顯的二面角常用此法來求，但應注意法向量，的夾角與二面角的大小是相等或互補的（需要根據(jù)具體情況判斷想等或互補）。例8.62如圖8-232所示，在直三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让?。若直線AC與平面所成的角為，二面角的大小為，是判斷與的大小關(guān)系，并予以證明. 分析利用定義找出線面角與二面角的平面角，并比較其大小.解析如圖8-233所示,過A在平面內(nèi)作AD⊥于點D，則由平面⊥側(cè)面，且平面∩側(cè)面=，得AD⊥側(cè)面，連接CD,則知∠ACD=,由BC⊥，BC⊥AD,∩AD=A,,AD平面，得BC⊥平面，故BC⊥，BC⊥AB.所以∠是二面角的平面角，即=，于是在Rt△ADC中，，于是在Rt△ADB中，.不難知,因此,又,所以.變式1如圖8-234所示,在四面體OABC中，OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1,求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.變式2如圖8-235所示,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD，SD=，AD=。點E是SD上的點，且DE=。設二面角C-AE-D的大小為，直線BE與平面ABCD所成角為，若，求值。變式3如圖8-236所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC,AB,CE,二面角A-BE-D的大小.例8.63如圖8-237所示,在長方體ABCD-中，E，F(xiàn)分別是BC，上的點，CF=AB=2CE，AB:AD:=1:2:4,求二面角的正弦值. 解析如圖8-238所示,連接AC,設AC∩DE=N，因為，所以Rt△DCE∽Rt△CBA，從而∠CDE=∠BCA，又由于∠CDE+∠CED=90°，故∠BCA+∠CED=90°故AC⊥DE,又DE⊥CF，AC∩CF=C，則DE⊥平面CFN，得DE⊥FN，同理得DE⊥N，故為二面角的平面角，易知，，所以又，所以在中，在中，連接，在中，，在△中，所以，所以求二面角的正弦值為.變式1如圖8-239所示，四棱錐S-ABCD中，SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SD上的一點，平面EDC⊥平面SBC，求二面角A-DE-C的大小。變式2如圖8-240所示，已知正三棱柱的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側(cè)棱上，且不與點重合，設二面角C-AF-E的大小為，求的最小值。變式3如圖8-241所示，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上.若BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角B-AP-C的大小.例8.64如圖8-242所示,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD是棱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點，求二面角E-AF-C的余弦值. 分析利用空間向量法求解二面角的平面角。 解析有AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖8-243所示的空間直角坐標系A-xyz，又E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點，所以，，所以。設平面AEF的法向量為，則，即，取則所以。設平面AEC的法向量為，，則。取，則所以。設二面角E-AF-C的大小為，則又二面角E-AF-C為銳二面角，故所求二面角的余弦值為。變式1如圖8-244所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD,PD⊥底面ABCD。若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.變式2如圖8-245所示，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD為棱形，AB=2，,當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長。變式3如圖8-246所示，四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，BC=CD=2,AC=4,,F為PC的中點，.求PA的長；求二面角B-AF-D的正弦值。變式4如圖8-247所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，平面ABCD，,證明：;求平面與平面的夾角的大小。題型2點到平面距離的計算思路提示求解點到平面的距離，常用方法有:定義法，作出點到免的垂線，，垂線段的長度就是點到平面的距離，通常是借助某個直角三角形來求解。轉(zhuǎn)化法，利用等體積法或者線面平行的位置關(guān)系，將點A到平面的距離轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的點B到平面的距離。向量法，點P為平面外一點，點Q為平面上的任一點，為平面的法向量，點P到平面的距離。例8.65如圖8-248所示，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2,,AP=BP=AB,,求點C到平面PAB的距離。分析利用定義法直接作出點C到平面PAB的距離。解析如圖8-249所示，取AB的中點D，連接CD,PD。因為AP=BP，所以，又因為AC=BC,所以。又,所以平面PCD，面APB，所以平面PAB面PCD。過C作CHPD，垂足為H。因為平面,所以CH平面APB。所以CH的長即為點C到平面PAB的距離。由于平面PCD，面PCD，所以PCAB。又PCAC,,故PC平面APB,又面ABC.所以PCCD，在直角三角形PCD中，CD=.所以.所以.評注這里直接作出點C到平面APB的垂線CH（H為垂足），CH的長即為所求點面距離。變式1如圖8-250所示，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的棱形，，,OA=2,求點B到平面OCD的距離。變式2如圖8-251所示，四棱錐P-ABCD為矩形，，求直線AD與平面PBC的距離。例8.66如圖8-252所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點，求點C到平面A1BD的距離。分析利用等體積轉(zhuǎn)化法求點C到平面A1BD的距離。解析在三角形A1BD中，BD=A1D=。在三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距離為。設點C到平面A1BD的距離為d。由得,解得，所以點C到平面A1BD的距離為。評注本題利用了等體積法轉(zhuǎn)化，該方法是求解點到面距離的重要方法。變式1如圖8-253所示，在四棱錐P-ABCD中，,點A到平面PBC的距離.變式2如圖8-254所示，三角形BCD與三角形MCD都市邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB面BCD，，求點A到平面MBC的距離。例8.67如圖8-255所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，且AC=2，,側(cè)棱AA1=2,D,E分別是CC1與A1B的中點。求點A1到平面AED的距離。分析利用向量法求解點到平面的距離。解析以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz。如圖8-256所示，A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1),E(1,1,1),A1(2,0,2).所以,設平面的法向量為由得，所以點A1到平面AED的距離.變式1如圖8-257所示，已知ABCD－A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點，若點C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高。變式2如圖8-258所示，四棱錐P-ABCD中四邊形ABCD中，ADAB,AB+AD=4,,AB=AP。若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長；在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P,B,C,D的距離相等？說明理由。有效訓練題正方體ABCD－A1B1C1D1中AB=A1A=2,AD=1,E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為（）如圖8-259所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=A1A，則AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為（）已知兩平面的法向量分別為，則兩平面所成的二面角為（）二面角的棱上有A,B兩點，直線AC,BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直與AB，已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,則該二面角的大小為（）