2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.4數(shù)列的應(yīng)用課后習(xí)題含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE第五章數(shù)列5.4數(shù)列的應(yīng)用課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(2024鄭州高三二模)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所探討的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等,但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的探討,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項(xiàng)分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項(xiàng)為()注:12+22+32+…+n2=n(nA.1624 B.1024C.1198 D.1560解析依題意,{an}:1,4,8,14,23,36,54,…兩兩作差,得{bn}:3,4,6,9,13,18,…兩兩作差,得{cn}:1,2,3,4,5,…設(shè)該數(shù)列為{an},令bn=an+1-an,設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Bn,又令cn=bn+1-bn,設(shè){cn}的前n項(xiàng)和為Cn.易知cn=n,Cn=n2進(jìn)而得bn+1=3+Cn=3+n2所以bn=3+n(n則Bn=n(n+1)(所以an+1=1+Bn,所以a19=1024.答案B2.(2024山東高三期中)“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年,英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年,英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題,現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題:將1到2019這2019個(gè)數(shù)中,能被3除余2且被5整除余2的數(shù)按從小到大的依次排成一列,構(gòu)成數(shù)列{an},則此數(shù)列全部項(xiàng)中,中間項(xiàng)的值為()A.992 B.1022 C.1007 D.1037解析將題目轉(zhuǎn)化為an-2既是3的倍數(shù),也是5的倍數(shù),也就是15的倍數(shù).即an-2=15(n-1),an=15n-13.當(dāng)n=135,a135=15×135-13=2012<2024,當(dāng)n=136,a136=15×136-13=2027>2024,故n=1,2,…,135,數(shù)列共有135項(xiàng).因此數(shù)列中間項(xiàng)為第68項(xiàng),a68=15×68-13=1007.故答案為C.答案C3.(2024江西安福中學(xué)高一月考)某學(xué)生家長為繳納該學(xué)生上高校時(shí)的教化費(fèi),于2024年8月20號從銀行貸款a元,為還清這筆貸款,該家長從2024年起每年的8月20號便去銀行償還相同的金額,安排恰好在貸款的m年后還清.若銀行按年利率為p的復(fù)利計(jì)息(復(fù)利:即將一年后的貸款利息也納入本金計(jì)算新的利息),則該學(xué)生家長每年的償還金額是()A.am B.C.ap(1+p解析設(shè)每年償還的金額為x,則a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,所以a(1+p)m=x1-(1+p解得x=ap(故選D.答案D4.(2024蘭州其次中學(xué)高二期中)我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題:“今有垣厚五尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢,各穿幾何.”翻譯過來就是:有五尺厚的墻,兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻,大、小鼠第一天都進(jìn)一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠減半,則幾天后兩鼠相遇.這個(gè)問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的探討,現(xiàn)將墻的厚度改為1200尺,則須要多少天時(shí)間才能打穿(結(jié)果取整數(shù))()A.12 B.11 C.10 D.9解析大鼠和小鼠每天穿墻尺寸分別構(gòu)成數(shù)列{an},{bn},它們都是等比數(shù)列,a1=b1=1,數(shù)列{an}的公比為q1=2,數(shù)列{bn}的公比為q2=12,設(shè)須要n天能打穿墻則(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=1-2n1-2+1當(dāng)n=10時(shí),2n+1-12n-1=1025-1當(dāng)n=11時(shí),2n+1-12n-1=2049-1因此須要11天才能打穿.故選B.答案B5.假設(shè)每次用相同體積的清水漂洗一件衣服,且每次能洗去污垢的34,那么至少要清洗次才能使存留的污垢在1%以下.解析設(shè)每次用a升清水漂洗一件衣服,洗滌次數(shù)為n,通過題意可知,存留的污垢y是以14a為首項(xiàng),14所以有y=14n·a,由題意,可知14n·a≤1%·a,得n≥log4100=log210,得n≥4,所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在1%以下.答案46.(2024上海華師大二附中高三月考)如圖,一個(gè)粒子從原點(diǎn)動身,在第一象限和兩坐標(biāo)軸正半軸上運(yùn)動,在第一秒時(shí)它從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)(0,1),接著它按圖所示在x軸、y軸的垂直方向上來回運(yùn)動,且每秒移動一個(gè)單位長度,那么,在2018秒時(shí),這個(gè)粒子所處的位置在點(diǎn).

解析如圖,設(shè)粒子運(yùn)動到A1,A2,…,An時(shí)所用的時(shí)間分別為a1,a2,…,an,則a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,…,an-an-1=2n,將a2-a1=2×2,a3-a2=2×3,a4-a3=2×4,…,an-an-1=2n相加得an-a1=2(2+3+4+…+n)=n2+n-2,則an=n(n+1),由44×45=1980,得運(yùn)動了1980秒時(shí)它到點(diǎn)A44(44,44),又由運(yùn)動規(guī)律知,A1,A2,…,An中,奇數(shù)點(diǎn)處向下運(yùn)動,偶數(shù)點(diǎn)處向左運(yùn)動,故粒子到達(dá)A44(44,44)時(shí),向左運(yùn)動38秒即運(yùn)動了2024秒,到達(dá)點(diǎn)(6,44),則所求點(diǎn)應(yīng)為(6,44).答案(6,44)7.(2024上海格致中學(xué)高三開學(xué)考試)“垛積術(shù)”(隙積術(shù))是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng),南宋科學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法,有菱草垛、方垛、三角垛等.某倉庫中部分貨物堆放成“菱草垛”,自上而下,第一層1件,以后每一層比上一層多1件,最終一層是n件,已知第一層貨物單價(jià)1萬元,從其次層起,貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的910.若這堆貨物總價(jià)是100-200910n萬元,則n的值為.

解析由題意,可得第n層的貨物的價(jià)格為an=n·910n-1,設(shè)這堆貨物總價(jià)是Sn=1·9100+2·9101+3·9102+…+n·910n-1,①由①×910可得910Sn=1·9101+2·9102+3·9103+…+n·910n,②由①-②,可得110Sn=1+9101+9102+9103+…+910n-1-n·910n=1-(910)

n1-910-n·910n=10-(10+n)∴Sn=100-10(10+n)·910n.∵這堆貨物總價(jià)是100-200910n萬元,∴n=10.答案108.(2024山東高二期末)沿海某市為了進(jìn)一步完善海防生態(tài)防護(hù)體系,林業(yè)部門安排在沿海新建防護(hù)林3萬畝,從2024年起先,每年春季在規(guī)劃的區(qū)域內(nèi)植樹造林,第一年植樹1200畝,以后每一年比上一年多植樹400畝,假設(shè)所植樹木全部成活.(1)到哪一年春季新建防護(hù)林安排全部完成?(2)若每畝新植樹苗的木材量為2立方米,且所植樹木每一年從春季起先生長,到年底停止生長時(shí)木材量的年自然增長率為10%,到新建防護(hù)林安排全部完成的那一年底,新建防護(hù)林的木材總量為多少立方米?(參考數(shù)據(jù):1.111≈3)解(1)設(shè)第n年春季植樹為an畝,由題意,可知a1=1200,an+1-an=400=d(常數(shù)),所以{an}為等差數(shù)列.設(shè)植樹n年新建防護(hù)林安排全部完成,則1200n+n(n-1化簡得n2+5n-150=0,所以n=10.∵2024+10-1=2029,所以到2029年新建防護(hù)林安排全部完成.(2)設(shè)從2024年起先,第n年年底種植樹木到2029年底的木材量為數(shù)列{bn},則b10=a10×2×1.1,b9=a9×2×1.12,…,b1=a1×2×1.110.則木材總量S=b1+b2+…+b10=2(1.1a10+1.12a9+…+1.110a1),1.1S=2(1.12a10+1.13a9+…+1.111a1),所以0.1S=2[-1.1a10+d(1.12+1.13+…+1.110)+a1·1.111]=2-1.1×4800+400×1.12-1.1111≈10960,解得S=109600,所以到2029年底新建防護(hù)林的木材總量約為109600立方米.實(shí)力提升練1.在超市中購買一個(gè)卷筒紙,其內(nèi)圓直徑為4cm,外圓直徑為12cm,一共卷60層,若把各層都視為一個(gè)同心圓,令π=3.14,則這個(gè)卷筒紙的長度(精確到個(gè)位)為()A.17m B.16m C.15m D.14m解析紙的厚度相同,且各層同心圓直徑成等差數(shù)列{dn},則紙的長度為l=πd1+πd2+πd3+…+πd60,其中d1+d2+d3+…+d60=d1+d602×60=480,則l=πd1+πd2+πd3+…+πd60=480π=480×3.14=1507.2≈答案C2.調(diào)查表明,酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要緣由,交通法規(guī)規(guī)定:駕駛員在駕駛機(jī)動車時(shí)血液中酒精含量不得超過0.02mg/mL.假如某人喝了少量酒后,血液中酒精含量將快速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小時(shí)50%的速度減小,他至少要經(jīng)過幾小時(shí)才可以駕駛機(jī)動車(精確到小時(shí))()A.1小時(shí) B.2小時(shí)C.4小時(shí) D.6小時(shí)解析設(shè)n個(gè)小時(shí)后才可以駕車,依據(jù)題意,可知每小時(shí)酒精下降的量成等比數(shù)列,公比為50%,進(jìn)而可得方程0.3(1-50%)n≤0.02,得12n≤115,即n≥4,所以至少要經(jīng)過4小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動車.故選C.答案C3.(2024安徽安慶一中高一期中)依據(jù)市場調(diào)查,預(yù)料某種日用品從年初起先的n個(gè)月內(nèi)累計(jì)的需求量Sn(單位:萬件)大約是Sn=n27(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).據(jù)此預(yù)料,本年度內(nèi),需求量超過5萬件的月份是(A.5月、6月 B.6月、7月C.7月、8月 D.8月、9月解析日用品從年初起先的n個(gè)月內(nèi)累計(jì)的需求量Sn(單位:萬件)大約是Sn=n27(21n-n2-5)(n=1,2,…,12),則第n(n≥2)個(gè)月的需求量為an=Sn-Sn-1=-3n2+45n-2727>5,得3n2-45n+27×6<0,即n2-15n+54<答案C4.“泥居殼屋細(xì)莫詳,紅螺行沙夜生光”是宋代詩人歐陽修對鸚鵡螺的描述,漂亮的鸚鵡螺呈現(xiàn)出螺旋線的迷人魅力.假設(shè)一條螺旋線是用以下方法畫成(如圖):△ABC是邊長為1的正三角形,曲線CA1,A1A2,A2A3分別以A,B,C為圓心,AC,BA1,CA2為半徑畫的弧,曲線CA1A2A3稱為螺旋線,然后又以A為圓心,AA3為半徑畫弧……如此下去,則所得螺旋線CA1,A1A2,A2A3,…,A28A29,A29A30的總長度Sn為()A.310π B.1103π C.58π D.110解析依據(jù)弧長公式,知螺旋線CA1,A1A2,A2A3,…,A3n-2A3n-1,A3n-1A3n的長度分別為2π3,2×2π3,3×2π3,…,3n×2π3,此數(shù)列是2π3為首項(xiàng),2π3為公差,項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列,依據(jù)等差數(shù)列的求和公式,得Sn=3n×2π3+3n(3n-1)2×2π3=n(3n+1)π,此時(shí)n=10,易得所得螺旋線CA1,答案A5.(2024江西南昌高三期末)剛上班不久的小明于10月5日在某電商平臺上通過零首付購買了一部售價(jià)6000元的手機(jī),約定從下月5日起先,每月5日按等額本息(每期以相同的額度償還本金和利息)還款a元,1年還清,其中月利率為0.5%,則小明每月還款數(shù)a=元(精確到個(gè)位).(參考數(shù)據(jù):1.00511≈1.056;1.00512≈1.062;1.00513≈1.067)

解析由題知小明第1次還款a元后,還欠本金及利息為6000(1+0.5%)-a元,第2次還款a元后,還欠本金及利息為:6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a元,第3次還款a元后,還欠本金及利息為:6000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a元,以此類推,則第12次還款a元后,還欠本金及利息為:6000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-…-a(1+0.5%)-a元,此時(shí)已全部還清,則6000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-…-a(1+0.5%)-a=0,即6000(1+0.5%)12=a[解得a=6000×0.005×1.00答案5146.(2024湖北武漢高二期末)某學(xué)習(xí)軟件以數(shù)學(xué)學(xué)問為題目設(shè)置了一項(xiàng)闖關(guān)嬉戲,共有15關(guān),每過一關(guān)可以得到肯定的積分,現(xiàn)有三種積分方案供闖關(guān)者選擇.方案一,每闖過一關(guān)均可獲得40積分;方案二,闖過第一關(guān)可獲得5積分,后面每關(guān)的積分都比前一關(guān)多5;方案三,闖過第一關(guān)可獲得0.5積分,后面每關(guān)的積分都是前一關(guān)積分的2倍.若某關(guān)闖關(guān)失敗則停止嬉戲,最終積分為闖過的各關(guān)的積分之和.設(shè)三種方案闖過n(1≤n≤15,且n∈N+)關(guān)后的積分之和分別為An,Bn,Cn,要求闖關(guān)者在起先前要選擇積分方案.(1)求出An,Bn,Cn的表達(dá)式;(2)假如你是一個(gè)闖關(guān)者,為獲得盡量多的積分,這幾種積分方案該如何選擇?小明通過試驗(yàn)后覺得自己至少能闖過12關(guān),他應(yīng)當(dāng)選擇第幾種積分方案?解(1)按方案一闖過各關(guān)所得積分構(gòu)成常數(shù)數(shù)列,故An=40n;按方案二闖過各關(guān)所得積分構(gòu)成首項(xiàng)為5,公差為5的等差數(shù)列,故Bn=5n+n(n-1)按方案三闖過各關(guān)所得積分構(gòu)成首項(xiàng)為12,公比為2的等比數(shù)列,故Cn=12(1-(2)令A(yù)n>Bn,即40n>5n2+5n2而當(dāng)n=15時(shí),An=Bn,又因?yàn)閚≤15且n∈N+,故An≥Bn恒成立,故方案二不予考慮.令A(yù)n>Cn,即40n>12(2n-1),解得0<n<故當(dāng)0<n<10時(shí),An>Cn;當(dāng)10≤n≤15,An<Cn,故當(dāng)能闖過的關(guān)數(shù)小于10時(shí),應(yīng)選擇方案一;當(dāng)能闖過的關(guān)數(shù)大于等于10時(shí),應(yīng)選擇方案三.小明應(yīng)當(dāng)選擇方案三.素養(yǎng)培優(yōu)練黃河被稱為我國的母親河,黃河因攜帶大量泥沙所以河水呈現(xiàn)黃色.黃河的水源來自青藏高原,上游的1000公里的河水是特別澄澈的,只是中游流經(jīng)黃土高原,又有太多攜帶有大量泥沙的河流匯入才造成黃河的河水漸漸變得渾濁.在劉家峽水庫旁邊,澄澈的黃河和攜帶大量泥沙的洮河匯合,在兩條河流的交匯處,水的顏色一清一濁,互不交融,涇渭分明,形成了一條