2024-2025學年高中數(shù)學第一章數(shù)列1.2數(shù)列的函數(shù)特性跟蹤訓練含解析北師大版必修5

PAGE第一章數(shù)列§1數(shù)列1.2數(shù)列的函數(shù)特性[A組學業(yè)達標]1．下列四個數(shù)列中，是遞增數(shù)列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．sineq\f(1,7)π，sineq\f(2,7)π，sineq\f(3,7)π，…C．－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)…解析：選項A是遞減數(shù)列，選項B和C沒有單調(diào)性．答案：D2．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(1,\r(n＋1)－\r(n))，則數(shù)列{an}的最小項為()A．1 B.eq\r(2)－1C.eq\r(2)＋1 D．－eq\r(2)＋1解析：因為an＝eq\f(1,\r(n＋1)－\r(n))＝eq\r(n＋1)＋eq\r(n)，明顯數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以當n＝1時，取得最小值eq\r(2)＋1.答案：C3．已知數(shù)列{an}中，an＜0，且2an＋1＝an，則數(shù)列{an}是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．無法推斷解析：an＋1－an＝eq\f(1,2)an－an＝－eq\f(1,2)an.∵an＜0，∴－eq\f(1,2)an＞0，∴an＋1＞an，∴{an}為遞增數(shù)列．答案：A4．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么這個數(shù)列是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．搖擺數(shù)列解析：因an＝eq\f(n－1,n＋1)＝1－eq\f(2,n＋1)，隨n的增大，an也在增大，所以這個數(shù)列是遞增數(shù)列．答案：A5．已知數(shù)列{an}中，a1＝a(a為正常數(shù))，an＋1＝eq\f(－1,an＋1)(n＝1，2，3，…)，則下列能使an＝a的n的數(shù)值是()A．15 B．16C．17 D．18解析：a1＝a，a2＝eq\f(－1,a＋1)，a3＝eq\f(－1,a2＋1)＝eq\f(－1,\f(－1,a＋1)＋1)＝eq\f(－a－1,a)，a4＝eq\f(－1,a3＋1)＝eq\f(－1,\f(－a－1,a)＋1)＝a，a5＝eq\f(－1,a4＋1)＝eq\f(－1,a＋1)，…….∴a4＝a1，a5＝a2，…依次類推可得：an＋3＝an，∴{an}為周期數(shù)列，周期為3.∵a1＝a，∴a3k＋1＝a1＝a.答案：B6．數(shù)列1，2，4，8，…，的一個通項公式是________，它是________(填遞增數(shù)列或遞減數(shù)列)．解析：數(shù)列的前四項為1，2，4，8，所以an＝2n－1，又an＋1－an＝2n－2n－1＝2n－1＞0，即an＋1＞an，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．答案：an＝2n－1遞增數(shù)列7．已知數(shù)列{an}滿意an＝eq\f(n＋1,3n－16)，則數(shù)列{an}中的最小項是第________項．解析：an＝eq\f(n＋1,3n－16)＝eq\f(n－\f(16,3)＋\f(19,3),3n－16)＝eq\f(1,3)＋eq\f(\f(19,3),3n－16)，令3n－16＜0，得n＜eq\f(16,3).又f(n)＝an在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(16,3)))上單調(diào)遞減，且n∈N＋，所以當n＝5時，an取最小值．答案：58．(2024·南陽市模擬)若數(shù)列{an}的通項公式為an＝n－7eq\r(n)，則該數(shù)列中的最小項的值為________．解析：an＝n－7eq\r(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n)－\f(7,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(49,4)，當n＝12時，有最小值，即最小值為12－7eq\r(12)＝12－14eq\r(3).答案：12－14eq\r(3)9．(2024·吳起縣模擬)已知數(shù)列{an}滿意an＝n2－5n＋6，n∈N＋.(1)數(shù)列中有哪些項是負項？(2)當n為何值時，an取得最小值？并求出此最小值．解析：(1)令an＝n2－5n＋6＜0，解得0＜n＜6，∵n∈N＋，∴數(shù)列中第1，2，3，4，5項為負數(shù)，即－10，－12，－12，－10，－6.(2)an＝n2－5n－6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(49,4)，當n＝2，3時，an取得最小值，最小值為－12.10．已知an＝eq\f(9n（n＋1）,10n)(n∈N＋)，試問數(shù)列{an}中有沒有最大項？假如有，求出這個最大項；假如沒有，說明理由．解析：因為an＋1－an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·(n＋2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n)·(n＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（n＋2）－\f(10,9)（n＋1）))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·eq\f(8－n,9)，則當n≤7時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·eq\f(8－n,9)＞0，當n＝8時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·eq\f(8－n,9)＝0，當n≥9時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·eq\f(8－n,9)＜0，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＜a8＝a9＞a10＞a11＞a12＞…，故數(shù)列{an}存在最大項，最大項為a8＝a9＝eq\f(99,108).[B組實力提升]11．已知數(shù)列{an}的通項為an＝eq\f(an,bn＋1)，其中a，b均為正數(shù)，則an與an＋1的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)n＞an＋1 B．a(chǎn)n＜an＋1C．a(chǎn)n＝an＋1 D．與n有關(guān)解析：因an＝eq\f(an,bn＋1)＝eq\f(a,b＋\f(1,n))，由于a，b均為正數(shù)，隨n的增大，分母在減小，故an在增大，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，有an＜an＋1.答案：B12．已知an＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))，則這個數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是()A．a(chǎn)1，a30 B．a(chǎn)1，a9C．a(chǎn)10，a9 D．a(chǎn)10，a30解析：∵an＝eq\f(n－\r(99)＋（\r(99)－\r(98)）,n－\r(99))＝eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))＋1.∴點(n，an)在函數(shù)y＝eq\f(\r(99)－\r(98),x－\r(99))＋1的圖像上，在直角坐標系中作出函數(shù)y＝eq\f(\r(99)－\r(98),x－\r(99))＋1的圖像，由圖像易知，當x∈(0，eq\r(99))時，函數(shù)單調(diào)遞減．∴a9＜a8＜a7＜…＜a1＜1，當x∈(eq\r(99)，＋∞)時，函數(shù)單調(diào)遞減，∴a10＞a11＞…＞a30＞1.所以，數(shù)列{an}的前30項中最大的項是a10，最小的項是a9.答案：C13．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝an2＋n(n∈N＋)，若滿意a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6，且an＞an＋1，對隨意n≥10恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,5.5＜－\f(1,2a)＜10.5，))解得－eq\f(1,11)＜a＜－eq\f(1,21)，∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,11)，－\f(1,21))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,11)，－\f(1,21)))14．數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，則數(shù)列{an}的最大項為________．解析：∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴eq\f(an,an－1)＝2＞1，∴an＞an－1，即{an}單調(diào)遞增，∴{an}的最大項為a10＝2a9＝4a8＝…＝29·a1＝29·2＝2答案：102415．設數(shù)列{an}的通項公式an＝－n2＋eq\f(k,2)n＋1(n∈N＋)，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)k的取值范圍．解析：法一：考查二次函數(shù)y＝－x2＋eq\f(k,2)x＋1，要使數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，對稱軸x＝eq\f(k,4)應滿意eq\f(k,4)＜eq\f(1＋2,2)，所以k＜6.即k的取值范圍是(－∞，6)．法二：由題意知：an＋1＜an對隨意n∈N＋恒成立，由an＋1＜an得k＜4n＋2，因為n∈N＋，所以4n＋2≥6，所以k＜6.即k的取值范圍是(－∞，6)．16．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝n2－7n－8(n∈N＋)．(1)數(shù)列中有多少項為負數(shù)？(2)數(shù)列{an}是否有最小項？若有，求出其最小項．解析：(1)令an＜0，即n2－7n－8＜0，得－1＜n＜8.又n∈N＋，∴n＝1，2，3，…，7，數(shù)列從第1項至第7項均為負數(shù)，共7項．(2)法一：an＝n2－7n－8是關(guān)于n的二次函數(shù)，其對稱軸方程為n＝eq\f(7,2)＝3.5，∴當1≤n≤3時，{an}單調(diào)遞減；當n≥4時，{an}單調(diào)遞增，∴