廣東省河源市龍川縣2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年廣東省河源市龍川縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題．（本大題10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列四組長度的線段中，是比例線段的是（）A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，152．（3分）若關(guān)于x的方程（a﹣2）x2﹣2x+3＝0是一元二次方程，則a的值為（）A．0 B．2 C．﹣2 D．不等于2的任意實(shí)數(shù)3．（3分）已知4個完全相同的正方形的面積之和為100，則正方形的對角線長為（）A．2 B．5 C． D．104．（3分）方程x2+5x﹣4＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 D．有一個實(shí)數(shù)根5．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，則DF的長是（）A．1.5 B．6 C．9 D．126．（3分）若關(guān)于x的方程x2﹣kx﹣4＝0有一個根為﹣1，則k的值為（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．47．（3分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)隨機(jī)組合，兩兩一組做游戲，則甲與乙恰好被分在同一組的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長為（）A．4 B．4.5 C．8 D．99．（3分）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是57，設(shè)每個支干長出x個分支，則x的值為（）A．6 B．7 C．8 D．910．（3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP、EF．給出下列結(jié)論：①PD＝EC；②四邊形PECF的周長為8；③AP＝EF；④EF的最小值為3，其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題．（每題3分，共18分）11．（3分）若＝，則＝．12．（3分）小薇為了了解自家草莓的質(zhì)量，隨機(jī)從種植園中抽取適量草莓進(jìn)行檢測，發(fā)現(xiàn)在多次重復(fù)的抽取檢測中，“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.8．若小薇家今年草莓的總產(chǎn)量約為1000kg，據(jù)此估計(jì)小薇家今年“優(yōu)質(zhì)草莓”的產(chǎn)量約為kg．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∠BDC＝60°，AC＝6，則BC的長是．14．（3分）若直角三角形三邊長分別是n，n+3，n+6，則該三角形的面積是．15．（3分）定義新運(yùn)算：a?b＝（a+b）（a﹣2b），例如：2?3＝（2+3）（2﹣2×3）＝﹣20．若（x﹣1）?（2x+1）＝0，則x的值為．16．（3分）如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．若AB＝，AG＝1，則EB＝．三.解答題.（本大題9個小題，共72分）17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．18．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．求證：無論k取何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根．19．（6分）如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，AF＝CE，求證：四邊形BFDE是矩形．20．（6分）在△ABC和△A'B'C'中，，且△ABC的周長為10cm．求△A'B'C'的周長．21．（8分）下面是小剛在作業(yè)本中做的一道題，老師說小剛的方法有問題，可是小剛不明白，你能幫幫他嗎？解一元二次方程：（2x﹣1）2＝4x﹣2．解：原方程變形為（2x﹣1）2＝2（2x﹣1）…①兩邊同時除以（2x﹣1），得2x﹣1＝2…②移項(xiàng)，合并得2x＝3…③系數(shù)化為1，得…④上述解法中，該解法第一步采用的是法解方程；第二步的依據(jù)是，你認(rèn)為第步有問題，問題在于．請你將該方法正確的過程寫出來．22．（10分）有五個封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個紙箱內(nèi)各裝有一個西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．現(xiàn)將這五個紙箱隨機(jī)擺放．（1）若從這五個紙箱中隨機(jī)選1個，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是；（2）若從這五個紙箱中隨機(jī)選2個，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率．23．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF∥BC交DC于點(diǎn)F，＝．（1）若BD＝20，求BG的長；（2）求的值．24．（12分）某商場以每件280元的價格購進(jìn)一批商品，當(dāng)每件商品售價為360元時，每月可售出60件．為了擴(kuò)大銷售，商場決定采取適當(dāng)降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價1元，那么商場每月就可以多售出5件．（1）降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？（2）要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價多少元？（3）該商場1月份銷售量為60件，2月和3月的月平均增長率為x，若前三個月的總銷量為285件，求該季度的總利潤．25．（12分）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE'（點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C），延長AE交CE'于點(diǎn)F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問題：（3）如圖①，若，CF＝3，請直接寫出AB的長．

2024-2025學(xué)年廣東省河源市龍川縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題．（本大題10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列四組長度的線段中，是比例線段的是（）A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15【答案】C【分析】根據(jù)成比例線段的定義逐項(xiàng)判斷得到得到結(jié)論．【解答】解：A、∵4×7≠5×6，∴4，5，6，7不能成比例線段，故不符合題意；B、∵3×9≠4×6，∴3，4，6，9不能成比例線段，故不符合題意；C、∵2×8＝4×4，∴8，4，4，2成比例線段，故符合題意；D、∵5×15≠10×10，∴5，10，10，15不能成比例線段，故不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．2．（3分）若關(guān)于x的方程（a﹣2）x2﹣2x+3＝0是一元二次方程，則a的值為（）A．0 B．2 C．﹣2 D．不等于2的任意實(shí)數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到a﹣2≠0，則可得到a的值，從而可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)題意得a﹣2≠0，解得a≠2，即a取不等于2的任意實(shí)數(shù)．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的定義，正確理解一元二次方程的定義是解決問題的關(guān)鍵．3．（3分）已知4個完全相同的正方形的面積之和為100，則正方形的對角線長為（）A．2 B．5 C． D．10【答案】C【分析】設(shè)每個正方形的邊長為a，則面積為a2，對角線的長為，依題意得4a2＝100，由此解出a即可得出正方形的對角線長．【解答】解：設(shè)每個正方形的邊長為a，則面積為a2，對角線的長為，∵4個完全相同的正方形的面積之和為100，∴4a2＝100，解得：a＝5，∴正方形的對角線長為．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的面積公式，正方形的對角線與邊長的關(guān)式是解決問題的關(guān)鍵．4．（3分）方程x2+5x﹣4＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 D．有一個實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】求出判別式的值即可判斷．【解答】解：方程x2+5x﹣4＝0，∵Δ＝52﹣4×1×（﹣4）＝41＞0，∴方程有不相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是記?。阂辉畏匠蘟x2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．5．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，則DF的長是（）A．1.5 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理作答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝4，BC＝8，DE＝3，∴，∴EF＝6，∴DF＝DE+EF＝3+6＝9，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．6．（3分）若關(guān)于x的方程x2﹣kx﹣4＝0有一個根為﹣1，則k的值為（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【答案】C【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣kx﹣4＝0得1+k﹣4＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣kx﹣4＝0得1+k﹣4＝0，解得k＝3．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．7．（3分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)隨機(jī)組合，兩兩一組做游戲，則甲與乙恰好被分在同一組的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫樹狀圖，共有12個等可能的結(jié)果，甲、乙恰好在同一組的結(jié)果有4個，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12個等可能的結(jié)果，甲、乙恰好在同一組的結(jié)果有4個，∴甲、乙恰好在同一組的概率為＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查列表法與樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長為（）A．4 B．4.5 C．8 D．9【答案】B【分析】由菱形的性質(zhì)得出BD＝12，由菱形的面積得出AC＝9，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD＝AC×BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4.5，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是57，設(shè)每個支干長出x個分支，則x的值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】關(guān)鍵描述語是“主干、支干、小分支的總數(shù)是57”，等量關(guān)系為：主干1+支干數(shù)目+小分支數(shù)目＝57，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【解答】解：∵主干為1，每個支干長出x個小分支，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，∴小分支的個數(shù)為：x×x＝x2，∴可列方程為：1+x+x2＝57．解得：x1＝7，x2＝﹣8（舍去）．答：每個支干長出7個小分支．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用：列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程求解．10．（3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP、EF．給出下列結(jié)論：①PD＝EC；②四邊形PECF的周長為8；③AP＝EF；④EF的最小值為3，其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①證明△PDF是等腰直角三角形，則PD＝PF＝CE，即可判斷；②根據(jù)①可知四邊形PECF為矩形，則四邊形PECF的周長＝2BC＝8，即可判斷；③證明△ADP≌△CDP，則AP＝PC，根據(jù)矩形對角線相等得PC＝EF，即可判斷；④當(dāng)AP⊥BD時，即AP＝BD＝2時，EF的最小值等于2，即可判斷．【解答】解：連接PC，如圖，∵BD是正方形的對角線，則∠PDF＝45°，而PF⊥CD，則△PDF為等腰直角三角形，∴PD＝PF，∵PE⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，∴四邊形PECF是矩形，∴CE＝PF，∴PD＝CE；故①正確；∵四邊形PECF為矩形，∴四邊形PECF的周長＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8；故②正確；∵四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF；故③正確；由EF＝PC＝AP，∴當(dāng)AP最小時，EF最小，則當(dāng)AP⊥BD時，即AP＝BD＝2時，EF的最小值等于2；故④不正確；綜上，①②③正確，結(jié)論正確的個數(shù)為3個，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題．（每題3分，共18分）11．（3分）若＝，則＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)＝可設(shè)a＝2k，b＝3k，再將a，b代入計(jì)算可求解．【解答】解：設(shè)a＝2k，b＝3k，∴＝，故答案為．【點(diǎn)評】本題主要考查比例的性質(zhì)，靈活運(yùn)用比例的性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．（3分）小薇為了了解自家草莓的質(zhì)量，隨機(jī)從種植園中抽取適量草莓進(jìn)行檢測，發(fā)現(xiàn)在多次重復(fù)的抽取檢測中，“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.8．若小薇家今年草莓的總產(chǎn)量約為1000kg，據(jù)此估計(jì)小薇家今年“優(yōu)質(zhì)草莓”的產(chǎn)量約為800kg．【答案】800．【分析】由題意可得“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的概率等于0.8，再乘以1000即可得出答案．【解答】解：因?yàn)樵诙啻沃貜?fù)的抽取檢測中，“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.8，所以“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的概率等于0.8，所以估計(jì)小薇家今年的“優(yōu)質(zhì)草莓”的產(chǎn)量約為1000×0.8＝800（kg）．故答案為：800．【點(diǎn)評】本題考查了用頻率估計(jì)概率，熟練掌握概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∠BDC＝60°，AC＝6，則BC的長是3．【答案】3．【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得：BD＝CD＝3，從而可得△BDC是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得BC＝CD＝3，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，AC＝6，∴BD＝CD＝AC＝3，∵∠BDC＝60°，∴△BDC是等邊三角形，∴BC＝CD＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．14．（3分）若直角三角形三邊長分別是n，n+3，n+6，則該三角形的面積是54．【答案】54．【分析】根據(jù)勾股定理列出一元二次方程，解方程，即可解決問題．【解答】解：由題意可知，n，n+3是直角邊長，n+6是斜邊長，由勾股定理得：n2+（n+3）2＝（n+6）2，整理得：n2﹣6n﹣27＝0，解得：n1＝9，n2＝﹣3（不符合題意，舍去），∴n+3＝12，∴該三角形的面積＝×9×12＝54，故答案為：54．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理以及三角形面積等知識，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．15．（3分）定義新運(yùn)算：a?b＝（a+b）（a﹣2b），例如：2?3＝（2+3）（2﹣2×3）＝﹣20．若（x﹣1）?（2x+1）＝0，則x的值為0或﹣1．【答案】0或﹣1．【分析】根據(jù)題意列得方程并解方程即可．【解答】解：由題意得（x﹣1+2x+1）[x﹣1﹣2（2x+1）]＝0，整理得：3x（﹣3x﹣3）＝0，即x（x+1）＝0，解得：x＝0或x＝﹣1，故答案為：0或﹣1．【點(diǎn)評】本題考查解一元二次方程，結(jié)合已知條件列得正確的方程是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．若AB＝，AG＝1，則EB＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先連接BD交AC于O，由四邊形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，然后利用SAS即可證得△EAB≌△GAD，則可得EB＝GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的長，繼而可得EB的長．【解答】解：連接BD交AC于O，∵四邊形ABCD、AGFE是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，∴∠EAB＝∠GAD，在△AEB和△AGD中，，∴△EAB≌△GAD（SAS），∴EB＝GD，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝，∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝2，∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝1，∵AG＝1，∴OG＝OA+AG＝2，∴GD＝＝，∴EB＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．三.解答題.（本大題9個小題，共72分）17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣4，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，x＝，x1＝2+2，x2＝2﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．18．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．求證：無論k取何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根．【答案】證明見解答過程．【分析】求出Δ≥0，即可得一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0總有兩個實(shí)數(shù)根．【解答】證明：在x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0中，Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣2）＝k2+2k+1﹣8k+8＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，∴一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0總有兩個實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握Δ≥0時，對應(yīng)的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根．19．（6分）如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，AF＝CE，求證：四邊形BFDE是矩形．【答案】見解析．【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB＝CD，然后結(jié)合AF＝CE得到FB＝ED，證明出四邊形BFDE是平行四邊形，然后結(jié)合BE⊥CD即可證明出四邊形BFDE是矩形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵AF＝CE，∴AB﹣AF＝CD﹣CE，∴FB＝ED．∴四邊形BFDE是平行四邊形．∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°．∴四邊形BFDE是矩形．【點(diǎn)評】此題考查了菱形的性質(zhì)和矩形的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．20．（6分）在△ABC和△A'B'C'中，，且△ABC的周長為10cm．求△A'B'C'的周長．【答案】15cm．【分析】直接運(yùn)用三邊對應(yīng)成比例來判斷兩三角形相似，進(jìn)而利用性質(zhì)來求解．【解答】解：∵＝＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′，設(shè)△ABC與△A′B′C′的周長分別為xcm，ycm；∵△ABC∽△A′B′C，且相似比為，∴＝，∵x＝10cm，∴y＝15cm，即△A′B′C′的周長為15cm．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)，熟記相似三角形的判定及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（8分）下面是小剛在作業(yè)本中做的一道題，老師說小剛的方法有問題，可是小剛不明白，你能幫幫他嗎？解一元二次方程：（2x﹣1）2＝4x﹣2．解：原方程變形為（2x﹣1）2＝2（2x﹣1）…①兩邊同時除以（2x﹣1），得2x﹣1＝2…②移項(xiàng)，合并得2x＝3…③系數(shù)化為1，得…④上述解法中，該解法第一步采用的是提公因式法解方程；第二步的依據(jù)是等式的性質(zhì)，你認(rèn)為第二步有問題，問題在于2x﹣1可以為0．請你將該方法正確的過程寫出來．【答案】（1）提公因式，等式的性質(zhì)，二，2x﹣1可以為0；（2）見解答．【分析】2x﹣1可以為0，所以方程兩邊除以（2x﹣1）不符合方程的同解原理；先移項(xiàng)得到（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）該解法第一步采用的是提公因式法解方程；第二步的依據(jù)是等式的性質(zhì)，你認(rèn)為第二步有問題，問題在于2x﹣1可以為0．故答案為：提公因式，等式的性質(zhì)，二，2x﹣1可以為0；（2）正確解法為：（2x﹣1）2＝4x﹣2，（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（2x﹣1﹣2）＝0，2x﹣1＝0或2x﹣1﹣2＝0，所以x1＝，x2＝．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．22．（10分）有五個封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個紙箱內(nèi)各裝有一個西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．現(xiàn)將這五個紙箱隨機(jī)擺放．（1）若從這五個紙箱中隨機(jī)選1個，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是；（2）若從這五個紙箱中隨機(jī)選2個，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）若從這五個紙箱中隨機(jī)選1個，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結(jié)果，其中所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的結(jié)果有4種，∴所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率為＝．【點(diǎn)評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．23．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF∥BC交DC于點(diǎn)F，＝．（1）若BD＝20，求BG的長；（2）求的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1））由GF∥BC推出＝即可解決問題；（2）由AB∥CD，AB＝CD，推出＝，＝，可得＝解決問題；【解答】解：（1）∵GF∥BC，∴＝，∵BD＝20，＝∴BG＝8．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．24．（12分）某商場以每件280元的價格購進(jìn)一批商品，當(dāng)每件商品售價為360元時，每月可售出60件．為了擴(kuò)大銷售，商場決定采取適當(dāng)降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價1元，那么商場每月就可以多售出5件．（1）降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？（2）要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價多少元？（3）該商場1月份銷售量為60件，2月和3月的月平均增長率為x，若前三個月的總銷量為285件，求該季度的總利潤．【答案】（1）4800元；（2）60元；（3）20235元．【分析】（1）利用總利潤＝每件的銷售利潤×月銷售量，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每件商品降價m元，則每件的銷售利潤為（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，利用總利潤＝每件的銷售利潤×月銷售量，可列出關(guān)于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再結(jié)合要有利于減少庫存，即可確定結(jié)論；（3）根據(jù)前三個月的總銷量為285件，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，將其符合題意的值代入60（1+x），60（1+x）2中，可得出2月份、三月份的銷售量，再利用該季度的總利潤＝（該商品1月份的售價﹣該商品的進(jìn)價）×1月份的銷售量+（該商品2月份的售價﹣該商品的進(jìn)價）×2月份的銷售量+（該商品3月份的售價﹣該商品的進(jìn)價）×3月份的銷售量，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（360﹣280）×60＝80×60＝4800（元）．答：降價前商場每月銷售該商品的利潤是4800元；（2）設(shè)每件商品降價m元，則每件的銷售利潤為（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，根據(jù)題意得：（360﹣m﹣280）（60+5m）＝7200，整理得：m2﹣68m+480＝0，解得：m1＝8，m2＝60，又∵要有利于減少庫存，∴m＝60．答：每件商品應(yīng)降價60元；（3）根據(jù)題意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝285，整理得：4x2+12x﹣7＝0，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（不符合題意，舍去），∴60（1+x）＝60×（1+50%）＝90（件），60（1+x）2＝60×（1+50%）2＝135（件），∴2月份這種商品的售價為360﹣＝354