河北省衡水市武強(qiáng)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案及解析

武強(qiáng)中學(xué)2024—2025學(xué)年度上學(xué)期期中測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，直線，則點(diǎn)A到直線l的距離為（）A.1 B.2 C. D.2.設(shè)，，向量，，，且，，則（）A. B. C. D.3.已知直線與直線，若，則（）A. B.2 C.2或 D.54.如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值是A. B. C. D.5.直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.1 C. D.26.三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于()A.－2 B.2 C. D.7.橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上的點(diǎn)滿足：，且，則（）A.1 B.C. D.28.直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列敘述正確的是（）A.直線傾斜角的取值范圍是B.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角和斜率C.若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D.與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或10.如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為AC，，AB的中點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（）A與EF相交 B.平面DEFC.EF與所成的角為 D.點(diǎn)到平面DEF的距離為11.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A離心率B.面積最大值為C.以線段為直徑的圓與直線相切D.的最小值為0三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，且，那么___________13.已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，已知=120°，且，則橢圓的離心率為___________.14.已知圓的圓心為，直線（為參數(shù)）與該圓相交于、兩點(diǎn)，則ΔABC的面積為___________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知直線.（1）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.16.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），與直線x+y＝2相切，且圓心C在直線2x+y﹣1＝0上.（1）求圓C的方程；（2）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，1），并且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程.17.已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．18.如圖，三棱錐中，平面，，．分別為線段上的點(diǎn)，且．(1)證明：平面；(2)求二面角余弦值．19.出租車幾何或曼哈頓距離（ManhattanDistance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在空間（平面）直角坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和.例如：在平面直角坐標(biāo)系中，若，，兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離.（1）已知點(diǎn)，，求的值；（2）記為點(diǎn)B與直線上一點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值.已知點(diǎn)，直線：，求；（3）已知三維空間內(nèi)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P圍成的幾何體的表面積.武強(qiáng)中學(xué)2024—2025學(xué)年度上學(xué)期期中測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，直線，則點(diǎn)A到直線l距離為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】解：點(diǎn)，直線，則點(diǎn)A到直線l的距離,故選：C.【點(diǎn)睛】點(diǎn)到直線的距離.2.設(shè)，，向量，，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)和，可分別求出的值，再根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以即，解得x=0，因?yàn)椋?，解得y=?1，所以，，所以.故選：B.3.已知直線與直線，若，則（）A. B.2 C.2或 D.5【答案】A【解析】【分析】解方程，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】解：若，則，所以或．當(dāng)時(shí)，重合，不符合題意，所以舍去；當(dāng)時(shí)，符合題意．故選：A4.如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】（法一）連接，則即為異面直線與所成的角，解三角形即可；（法二）分別以、、為軸、軸和軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，可得、、、各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出、的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式算出、的夾角余弦之值，即可得到異面直線與所成的角的余弦值．【詳解】解：（法一）連接，由題意，，則即為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，則，在中，；（法二）分別以、、為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，得，2，，，0，，，2，，，2，，，，，，0，，因此，得到，，且，，異面直線與所成的角是銳角或直角，面直線與所成的角的余弦值是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題．5.直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得，再由垂徑定理及弦長(zhǎng)關(guān)系即可求得所截弦長(zhǎng).【詳解】圓，所以圓心，半徑，由點(diǎn)到直線距離公式可得圓心到直線的距離為，所以直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交的弦長(zhǎng)求法，垂徑定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于()A.－2 B.2 C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算7.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上的點(diǎn)滿足：，且，則（）A.1 B.C. D.2【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)和余弦定理，列方程求解即可【詳解】設(shè)，，則，又（1），（2），（1）式平方減去（2）式得：，得：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出兩點(diǎn)坐標(biāo)得到，再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離的范圍，由三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榫€分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，所以，所以，由，可得圓的圓心為，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離為，故到直線的距離的范圍為，則.故選：A.二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列敘述正確的是（）A.直線傾斜角的取值范圍是B.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角和斜率C.若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D.與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的定義逐一判斷即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，由直線傾斜角的定義可知，傾斜角的取值范圍是，則正確；對(duì)于選項(xiàng)，由直線斜率的定義可知（為直線的傾斜角），當(dāng)時(shí)斜率不存在，則錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由直線斜率的定義可知選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)直線的傾斜角為，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)直線的傾斜角為，則正確；故選：ACD.10.如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為AC，，AB的中點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（）A.與EF相交 B.平面DEFC.EF與所成的角為 D.點(diǎn)到平面DEF的距離為【答案】BCD【解析】【分析】利用異面直線的位置關(guān)系，線面平行的判定方法，利用空間直角坐標(biāo)系異面直線所成角和點(diǎn)到面的距離，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷．【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，由圖知平面，平面，且由異面直線的定義可知與EF異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，在直三棱柱中，．，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，，．又平面DEF，平面DEF，平面故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，．，，．與所成的角為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)向量y，是平面DEF的一個(gè)法向量．0，，1，，由，即，得取，則，0，，設(shè)點(diǎn)到平面DEF的距離為d．又2，，，點(diǎn)到平面DEF的距離為，故D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的位置關(guān)系，線面平行的判定，異面直線所成角以及點(diǎn)到面的距離，還考查思維能力及綜合分析能力，屬難題．11.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.離心率B.面積的最大值為C.以線段為直徑的圓與直線相切D.的最小值為0【答案】CD【解析】【分析】求出離心率可判斷A；計(jì)算面積的最大值可判斷B；求出圓的方程，再判斷圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可判斷C；設(shè)進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).詳解】對(duì)于A：由橢圓可知，，，，所以左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上下頂點(diǎn)重合時(shí)，面積的最大，所以面積最大值為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：以線段為直徑的圓的圓心，半徑為1，由圓心到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：設(shè)，，，則的最小值為，故選項(xiàng)D正確；故選：CD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，且，那么___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到直線的方向向量與平面法向量互相垂直，結(jié)合向量的數(shù)量積列出方程，即可求解.【詳解】由直線的方向向量為，平面的法向量為，因?yàn)?，可得直線的方向向量與平面法向量互相垂直，所以，解得.故答案為：13.已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，已知=120°，且，則橢圓的離心率為___________.【答案】【解析】【詳解】設(shè)，由余弦定理知，所以，故填.14.已知圓的圓心為，直線（為參數(shù)）與該圓相交于、兩點(diǎn)，則ΔABC的面積為___________.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，最后求解三角形的面積即可.【詳解】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，直線的直角坐標(biāo)方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長(zhǎng)公式可得：，則.【點(diǎn)睛】處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知直線.（1）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為，可求得直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可寫出直線方程；（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設(shè)出直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出．【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，涉及兩直線垂直，平行關(guān)系的應(yīng)用，以及平行直線的距離公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），與直線x+y＝2相切，且圓心C在直線2x+y﹣1＝0上.（1）求圓C的方程；（2）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，1），并且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程.【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圓C的圓心經(jīng)過直線2x+y﹣1＝0上，可設(shè)圓心為C（a，1﹣2a）.由點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線x+y＝2的距離d，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出AC的長(zhǎng)度即為圓的半徑，然后根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可確定出圓心坐標(biāo)及半徑，然后根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可.（2）分類討論，利用圓心到直線的距離為1，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)閳A心C在直線2x+y﹣1＝0上，可設(shè)圓心為C（a，1﹣2a）.則點(diǎn)C到直線x+y＝2的距離d.據(jù)題意，d＝|AC|，則，解得a＝1.所以圓心為C（1，﹣1），半徑r＝d，則所求圓的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.【小問2詳解】k不存在時(shí)，x＝0符合題意；k存在時(shí)，設(shè)直線方程為kx﹣y+1＝0，圓心到直線的距離1，∴k，∴直線方程為3x+4y﹣4＝0.綜上所述，直線方程為x＝0或3x+4y﹣4＝0.17.已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義得到，求得，進(jìn)而求得，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由，求得，代入橢圓的方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】解：由橢圓的焦點(diǎn)為，可得，即，又由橢圓的定義，可得，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，可得，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，且，，則，因?yàn)椋傻?，解得，即，將代入橢圓，可得，即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.18.如圖，三棱錐中，平面，，．分別為線段上的點(diǎn)，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證線線垂直，題中由平面，可知，再分析已知由得，這樣與垂直的兩條直線都已找到，從而可得線面垂直；（2）求二面角的大小，可心根據(jù)定義作出二面角的平面角，求出這個(gè)平面角的大小，本題中，由于，平面，因此兩兩垂直，可以他們?yōu)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，寫出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)，由此可得結(jié)論．試題解析：（1）證明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE由CE＝２，CD=DE＝得ＣＤＥ為等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，故DE平面PCD（2）解：由（１）知，CDE為等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）圖，過點(diǎn)Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，故FB＝２．由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．以Ｃ為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方程為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），設(shè)平面的法向量，由，，得.由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取為,即.從而法向量，的夾角的余弦值為，故所求二面角A-PD-C的余弦值為.考點(diǎn)：考