熱點01 數(shù)與式（10大題型+滿分技巧+限時分層檢測）（解析版）

熱點01數(shù)與式中考數(shù)學中數(shù)與式部分主要考向分為四類：一、實數(shù)與特殊角的三角函數(shù)值（每年2~4道，9~16分）二、整式與因式分解（每年2~4道，7~10分）三、分式（每年1~3題，3~13分）四、二次根式（每年1~3題，3~12分）在數(shù)學中考中，數(shù)與式部分主要考察實數(shù)及其運算、數(shù)的開方與二次根式、整式與因式分解、分式及其運算；而這些考點中，對實數(shù)包含的各種概念的運用的考察占了大多數(shù)，但是試題難度設置的并不大，屬于中考中的基礎“送分題”，題目多以選擇題、填空題以及個別計算類簡單解答題的形式出現(xiàn)；但是，由于數(shù)學題目出題的多變性，雖然考點相同，并不表示出題方向也相同，所以在復習時，需要考生對這部分的知識點的原理及變形都達到熟悉掌握，才能在眾多的變形中，快速識別問題考點，拿下這部分基礎分。考向一：實數(shù)及其運算【題型1實數(shù)內的基本概念】滿分技巧實數(shù)內的基本概念包括：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、科學記數(shù)法；做這種概念類題目時記牢以下4點：①熟悉各概念的基本定義，特別注意各概念中0的特殊存在；②必須讀對題意，問的是什么就想對應的考點；③如果是選擇題，確保4個選項都要全看完，再說選哪個選項；④做到數(shù)軸、絕對值相關的問題，注意需不需要分類討論。1．（2023?岳陽）2023的相反數(shù)是A． B． C．2023 D．【分析】只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．【解答】解：2023的相反數(shù)是．故選：．2．（2023?泰安）的倒數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義直接進行解答即可．【解答】解：根據(jù)倒數(shù)的定義得：的倒數(shù)是；故選：．3．（2023?自貢）如圖，數(shù)軸上點表示的數(shù)是2023，，則點表示的數(shù)是A．2023 B． C． D．【分析】結合已知條件，根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的對應關系即可求得答案．【解答】解：，點表示的數(shù)是2023，，點在點左側，點表示的數(shù)為：，故選：．4．（2023?日照）芯片內部有數(shù)以億計的晶體管，為追求更高質量的芯片和更低的電力功耗，需要設計體積更小的晶體管．目前，某品牌手機自主研發(fā)了最新型號芯片，其晶體管柵極的寬度為0.000000014米，將數(shù)據(jù)0.000000014用科學記數(shù)法表示為A． B． C． D．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負整數(shù)．【解答】解：．故選：．5．（2023?淄博）的運算結果等于A．3 B． C． D．【分析】利用絕對值的性質可得出答案．【解答】解：，故選：．6．（2023?金昌）9的算術平方根是A． B． C．3 D．【分析】根據(jù)算術平方根的定義即可求出答案．【解答】解：9的算術平方根是3，故選：．7．（2023?巴中）下列各數(shù)為無理數(shù)的是A．0.618 B． C． D．【分析】明確無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)．【解答】解：，；；均為有理數(shù)，是無理數(shù)．故選：．8．（2023?天津）估計的值在A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【分析】一個正數(shù)越大，其算術平方根越大，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：，，即，那么在2和3之間，故選：．【題型2實數(shù)的比較大小】滿分技巧實數(shù)比較大小的常見方法：①法則法：正數(shù)＞0＞負數(shù)；②數(shù)軸法：數(shù)軸上的數(shù)，右邊的總比左邊的大；③絕對值法：兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。虎芷椒椒ǎ簝蓚€正數(shù)比較大小，誰的平方大，誰本身就大，兩個負數(shù)比較大小，誰的平方大，誰本身反而小；注意：個別實數(shù)的比較大小會結合其他基本概念或計算，這類問題要同時兼顧結合考點的性質再做比較1．（2023?徐州）如圖，數(shù)軸上點、、、分別對應實數(shù)、、、，下列各式的值最小的是A． B． C． D．【分析】結合數(shù)軸得出，，，四個數(shù)的絕對值大小進行判斷即可．【解答】解：由數(shù)軸可得點離原點距離最遠，其次是點，再次是點，點離原點距離最近，則，其中值最小的是，故選：．2．（2023?揚州）已知，，，則、、的大小關系是A． B． C． D．【分析】一個正數(shù)越大，其算術平方根越大，據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：，，即，則，故選：．3．（2023?南京）整數(shù)滿足，則的值為A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)夾逼法估算無理數(shù)的大小即可求出的值．【解答】解：，即，整數(shù)，故選：．4．（2023?甘孜州）比較大小：2．（填“”或“”【分析】先把2寫成，然后根據(jù)被開方數(shù)大的算術平方根也大即可得出比較結果．【解答】解：，又，，故答案為：．5．（2023?自貢）請寫出一個比小的整數(shù)4（答案不唯一）．【分析】根據(jù)算術平方根的定義估算無理數(shù)的大小即可．【解答】解：，，而，，比小的整數(shù)有4（答案不唯一），故答案為：4（答案不唯一）．6．（2023?德州）實數(shù)，在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，比較大小：0．（填“”“”或“”【分析】由數(shù)軸可得，則，，從而求得答案．【解答】解：由數(shù)軸可得，則，，那么，故答案為：．7．（2023?湖州）已知，是兩個連續(xù)整數(shù)，，則的值是9．【分析】與為整數(shù)，且，故可以得到與的值．【解答】解：由題可知，，，，故．故答案為：9．【題型3實數(shù)的運算】滿分技巧實數(shù)的運算是實數(shù)內各種概念法則運算的結合，一般以簡答題為主，個別會出填空題，這也就決定了實數(shù)的運算需要我們注意的三個方面：①實數(shù)的運算必須熟悉的幾個法則：零指數(shù)冪運算、負指數(shù)冪運算、絕對值的化簡、根式的化簡計算、特殊角的三角函數(shù)值計算等；②實數(shù)的運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的；③實數(shù)的運算，先確定化簡的正負，再進行合并計算。1．（2023?天津）的值等于A．1 B． C． D．2【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值及二次根式的加法法則計算即可．【解答】解：原式，故選：．2．（2023?安徽）計算：3．【分析】直接利用立方根的性質化簡，進而得出答案．【解答】解：原式．故答案為：3．3．（2023?菏澤）計算：1．【分析】首先計算零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【解答】解：．故答案為：1．4．（2023?西藏）計算：．【分析】利用負整數(shù)指數(shù)冪，特殊銳角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，立方根的定義進行計算即可．【解答】解：原式．5．（2023?濟南）計算：．【分析】先根據(jù)絕對值、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值對原式進行化簡，然后再合并即可．【解答】解：．考向二：整式與因式分解【題型4代數(shù)式求值】滿分技巧代數(shù)式求值類問題解題步驟：①根據(jù)已知條件轉化含字母的整體部分的值；②轉化待求式，得上一步整體表達式的倍數(shù)的表達式；③將整體部分的值代入計算。1．（2023?南通）若，則的值為A．24 B．20 C．18 D．16【分析】由已知條件可得，然后將變形后代入數(shù)值計算即可．【解答】解：，，，故選：．2．（2023?巴中）若滿足，則代數(shù)式的值為A．5 B．7 C．10 D．【分析】首先將已知條件轉化為，再利用提取公因式將轉化為，然后整體代入即可得出答案．【解答】解：，，．故選：．3．（2023?淮安）若，則的值是3．【分析】將代數(shù)式適當變形后，利用整體代入的方法解答即可．【解答】解：，，原式．故答案為：3．【題型5整式的計算與化簡求值】滿分技巧完全拿下這部分分數(shù)，首先需要我們完全熟悉整式中的所有計算公式，特別是完全平方公式與平方差公式，變形也得掌握；其次要掌握整式的混合運算的順序；最后，整式的化簡求值，必須先化簡，再帶入數(shù)據(jù)求值。1、常見必會計算公式：①am?an＝am+n（m，n是正整數(shù)）②（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）③（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）④am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）⑤（a±b）2＝a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b22、完全平方公式的常見變形：3、其他技巧：整式的化簡計算，其實就是去括號法則與合并同類項法則的聯(lián)合應用，所以兩個法則的注意事項也是整式化簡的注意事項。1．（2023?張家界）下列運算正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)完全平方公式，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方以及合并同類項法則，逐項分析判斷即可求解．【解答】解：．，故該選項不符合題意；．，故該選項不符合題意；．，故該選項符合題意；．，故該選項不符合題意；故選：．2．下列運算中，結果正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)整式的運算法則將各項計算后進行判斷即可．【解答】解：，則不符合題意；，則不符合題意；，則符合題意；，則不符合題意；故選：．3．（2023?涼山州）已知是完全平方式，則的值是．【分析】利用完全平方式的意義解答即可．【解答】解：是完全平方式，，，或，．故答案為：．4．（2023?南充）先化簡，再求值：，其中．【分析】原式第一項利用平方差公式就是，第二項利用完全平方公式展開，去括號合并得到最簡結果，將的值代入計算即可求出值．【解答】解：，當時，原式．5．（2023?內蒙古）先化簡，再求值：，其中，．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、單項式乘多項式的運算法則以及合并同類項法則把原式化簡，把、的值代入計算即可．【解答】解：原式，當，時，原式．【題型6因式分解】滿分技巧因式分解的步驟：一提（公因式），二套（乘法公式），三十字（十字相乘法）；注意：第一步就要提徹底。1．（2023?濟寧）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是A． B． C． D．【分析】本題考查因式分解十字相乘，提公因式等相關知識．【解答】解：是完全平方公式，不是因式分解的形式，故選項錯誤，，故選項錯誤，，故選項正確，，故選項錯誤．故答案為：．2．（2023?杭州）分解因式：A． B． C． D．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：．故選：．3．（2023?東營）因式分解：．【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：，故答案為：．考向三：二次根式【題型7二次根式有意義的條件】滿分技巧二次根式有意義的條件：被開方數(shù)整體≥0注意：和分式結合的二次根式，不僅要滿足被開方數(shù)整體≥0，還要同時滿足分母≠01．（2023?無錫）若二次根式有意義，則的取值范圍為A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．【解答】解：由題意得：，解得：．故選：．2．（2023?綏化）若式子有意義，則的取值范圍是且．【分析】根據(jù)分式的分母不為0和二次根式的被開平方數(shù)大于等于0進行求解．【解答】解：由題意得且，解得且，故答案為：且．【題型8二次根式的運算】滿分技巧①二次根式的加減，先根據(jù)二次根式的性質公式化簡，再合并同類二次根式；②二次根式的乘除，按照二次根式的運算公式直接計算；③二次根式混合運算順序同實數(shù)混合運算順序一樣；④二次根式的運算結果必須化簡成最簡二次根式。1．（2023?西寧）下列運算正確的是A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的混合運算法則分別計算，進而判斷得出答案．【解答】解：．無法合并，故此選項不合題意；．，故此選項不合題意；．，故此選項符合題意；．，故此選項不合題意．故選：．2．（2023?泰州）計算等于A． B．2 C．4 D．【分析】直接利用二次根式的性質化簡得出答案．【解答】解：．故選：．3．（2023?內蒙古）實數(shù)在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡：．【分析】根據(jù)二次根式的非負性進行化簡去絕對值即可．【解答】解：由數(shù)軸可知：，，．故答案為：．4．（2023?陜西）計算：．【分析】利用有理數(shù)的乘法法則，二次根式的運算法則，零指數(shù)冪進行計算即可．【解答】解：原式．考向四：分式及其運算【題型9分式有意義與分式值為零】滿分技巧分式有意義：分母≠0；分式值為零：分子=0且分母≠01．（2023?北京）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】根據(jù)分式的分母不為零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：，解得：，故答案為：．2．（2023?涼山州）分式的值為0，則的值是A．0 B． C．1 D．0或1【分析】根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列式計算．【解答】解：分式的值為0，且，解得：，故選：．3．（2023?衡陽）已知，則代數(shù)式的值為．【分析】根據(jù)分式的減法法則把原式化簡，把的值代入計算即可．【解答】解：原式，當時，原式，故答案為：．【題型10分式的計算與化簡求值】滿分技巧①分式的混合運算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的，能約分的先約分②分式的化簡求值問題中，一般先化簡，再求值，且化簡結果應為整式或最簡分式。技巧總結：分式的化簡求值問題中，加減通分，乘除約分，結果最簡，喜歡的數(shù)適當?shù)拇?，適合的數(shù)排除分母。1．（2023?綏化）化簡：．【分析】先通分計算括號里的分式加減，再計算除法．【解答】解：，故答案為：．2．（2023?江西）化簡．下面是甲、乙兩同學的部分運算過程：（1）甲同學解法的依據(jù)是②，乙同學解法的依據(jù)是；（填序號）①等式的基本性質；②分式的基本性質；③乘法分配律；④乘法交換律．（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．【分析】（1）甲同學的解法兩個分式先通分依據(jù)是分式的基本性質，乙同學根據(jù)乘法分配律先算乘法，后算加法，這樣簡化運算，更簡便了．（2）選擇乙同學的解法，先因式分解，再約分，最后進行加法運算即可．【解答】解：（1）甲同學的解法是：先把括號內兩個分式通分后相加，再進行乘法運算，通分的依據(jù)是分式的基本性質，故答案為：②．乙同學的解法是：根據(jù)乘法的分配律，去掉括號后，先算分式的乘法，再算加法，故答案為：③．（2）選擇乙同學的解法．．3．（2023?武漢）已知，計算的值是A．1 B． C．2 D．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再由已知等式得出，繼而可得答案．【解答】解：原式，，，原式．故選：．4．（2023?眉山）先化簡：，再從，，1，2中選擇一個合適的數(shù)作為的值代入求值．【分析】先把括號里進行通分，再計算除法，最后代入求解．【解答】解：，且，當時，原式．（建議用時：15分鐘）1．（2023?湘西州）的相反數(shù)是A． B． C． D．2023【分析】只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．【解答】解：的相反數(shù)為2023．故選：．2．（2023?金華）某一天，哈爾濱、北京、杭州、金華四個城市的最低氣溫分別是，，，，其中最低氣溫是A． B． C． D．【分析】明確在實數(shù)中負數(shù)小于0小于正數(shù)，且負數(shù)之間比較大小絕對值越大負數(shù)越小．【解答】解：由題可知：，所以最低氣溫是．故選：．3．（2023?長春）下列運算正確的是A． B． C． D．【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運算法則以及冪的乘方運算法則、合并同類項法則分別判斷得出答案．【解答】解：．，無法合并，故此選項不合題意；．，故此選項符合題意；．，故此選項不合題意；．，故此選項不合題意．故選：．4．（2023?婁底）2023的倒數(shù)是A．2023 B． C． D．【分析】乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，由此即可得到答案．【解答】解：2023的倒數(shù)是．故選：．5．（2023?濟寧）下列各式運算正確的是A． B． C． D．【分析】本題考查整式的乘法，同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方，積的乘方和完全平方公式等知識．【解答】解：，故選項錯誤，，故選項錯誤，，故選項錯誤，．故選：．6．（2023?攀枝花）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數(shù)恒等式：其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數(shù)恒等式的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】觀察各個圖形及相應的代數(shù)恒等式即可得到答案．【解答】解：圖形的面積關系能正確解釋相應的代數(shù)恒等式的有①②③④，故選：．7．（2023?淮安）若在實數(shù)范圍內有意義，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：，解得：，故答案為：．8．（2023?南京）計算的結果是．【分析】先計算二次根式的乘法，再算加減，即可解答．【解答】解：，故答案為：．9．（2023?常州）9的算術平方根是3．【分析】根據(jù)算術平方根的定義計算即可．【解答】解：，的算術平方根是3，故答案為：3．10．（2023?樂山）若、滿足，則16．【分析】直接利用冪的乘方運算法則將原式變形，進而計算得出答案．【解答】解：，，．故答案為：16．11．（2023?福建）已知，且，則的值為1．【分析】根據(jù)，可得，再代入即可求出答案．【解答】解：，，，．故答案為：1．12．（2023?金華）計算：．【分析】先計算零次冪、化簡二次根式，再代入特殊值的函數(shù)值算乘法并化簡絕對值，最后算加減得結論．【解答】解：．13．（2023?無錫）計算：（1）；（2）．【分析】（1）先算開方，負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，再算加減即可；（2）先算括號里的運算，再把除法轉為乘法，最后約分即可．【解答】解：（1）；（2）．14．（2023?長沙）先化簡，再求值：，其中．【分析】先去括號，再合并同類項，然后把的值代入化簡后的式子，進行計算即可解答．【解答】解：，當時，原式．15．（2023?北京）已知，求代數(shù)式的值．【分析】根據(jù)已知可得，然后利用分式的基本性質化簡分式，再把代入化簡后的式子進行計算即可解答．【解答】解：，，，的值為2．16．（2023?浙江）觀察下面的等式：，，，，（1）寫出的結果；（2）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論（用含的等式表示，為正整數(shù)）；（3）請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以寫出的結果；（2）根據(jù)題目中給出的式子，可以得到；（3）將（2）中等號左邊的式子利用平方差公式計算即可．【解答】解：（1），；（2）由題意可得，；（3），正確．（建議用時：20分鐘）1．（2023秋?黃岡期末）下列四個數(shù)中，絕對值最大的是A．2 B． C．0 D．【分析】分別計算出四個選項的絕對值，然后再進行比較，找出絕對值最大的選項．【解答】解：、；、；、；、；，四個數(shù)中絕對值最大的是．故選：．2．（2024?雁塔區(qū)校級一模）的倒數(shù)是A． B．2024 C． D．【分析】根據(jù)題意利用倒數(shù)定義即可得出本題答案．【解答】解：，故選：．3．（2023?湘西州）的相反數(shù)是A． B． C． D．2023【分析】只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．【解答】解：的相反數(shù)為2023．故選：．4．（2023?李滄區(qū)三模）刻蝕機是芯片制造和微觀加工最核心的設備之一，中國自主研發(fā)的6納米刻蝕機已獲成功，6納米就是0.000000006米．數(shù)據(jù)0.000000006用科學記數(shù)法表示為A． B． C． D．【分析】將一個數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：，故選：．5．（2024?周至縣一模）計算的結果是A． B． C． D．【分析】根據(jù)單項式乘單項式的法則計算即可．【解答】解：，故選：．6．（2023秋?涼山州期末）已知，則的值是A．6 B． C． D．8【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法求解即可．【解答】解：，，，故選：．7．（2023秋?海淀區(qū)期末）下列運算中，正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)冪的乘方法則，積的乘方法則，同底數(shù)冪的乘法和除法法則逐項計算，即可判斷．【解答】解：，故計算錯誤，不符合題意；，故計算錯誤，不符合題意；，故計算正確，符合題意；，故計算錯誤，不符合題意．故選：．8．（2024?大渡口區(qū)模擬）估算的結果A．在7和8之間 B．在8和9之間 C．在9和10之間 D．在10和11之間【分析】先根據(jù)二次根式乘除法的計算方法將原式化簡后，再根據(jù)算術平方根的定義估算無理數(shù)的大小即可．【解答】解：原式，，，即，故選：．9．（2024?碑林區(qū)校級一模）比較大?。?（填“”、“”或“”．【分析】根據(jù)，所以即可．【解答】解：，，．故答案為：．10．（2023秋?邗江區(qū)期末）4的算術平方根是2．【分析】根據(jù)算術平方根的定義進行計算即可．【解答】解：，的算術平方根是，故答案為：2．11．（2023?越秀區(qū)一模）若在實數(shù)范圍內有意義，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)分式的分母不等于0即可得出答案．【解答】解：由題意，得，解得．故答案為：．12．（2023?南寧三模）因式分解：．【分析】先提公因式，分解成，而可利用平方差公式分解．【解答】解：．故答案為：．13．（2024?碑林區(qū)校級一模）寫出一個絕對值小于的負整數(shù)是（答案不唯一）（寫出符合條件的一個即可）【分析】運用算術平方根和絕對值的知識進行求解．【解答】解：，，是絕對值小于的負整數(shù)，故答案為：（答案不唯一）．14．（2024?浙江模擬）定義一種運算，計算．【分析】根據(jù)，用與的積減去2與的積，求出的值即可．【解答】解：，．故答案為：．15．（2022春?玄武區(qū)期末）比較大?。海ㄌ睿?，【分析】首先比較出和的平方的大小關系，然后根據(jù)：哪個數(shù)的平方大，則哪個數(shù)也大，判斷出它們的大小關系即可．【解答】解：，，，，，，故答案為：．16．（2023?興寧區(qū)二模）若最簡二次根式與是同類二次根式，則2．【分析】根據(jù)二次根式的性質把化簡，再根據(jù)同類二次根式的概念列式計算即可．【解答】解：，則，解得：，故答案為：2．17．（2023?武勝縣模擬）若，則代數(shù)式的值等于49．【分析】根據(jù)，得出，兩邊平方移項即可得出的值．【解答】解：，，，，故答案為：49．18．（2024?大渡口區(qū)模擬）如果一個四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個四位數(shù)為“差中數(shù)”．例如：四位數(shù)4129，，是“差中數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，，不是“差中數(shù)”．若一個“差中數(shù)”為，則這個數(shù)為5138；如果一個“差中數(shù)”能被11整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是．【分析】①根據(jù)定義列出方程即可求出；②先根據(jù)數(shù)的特征設千位為9，再根據(jù)“差中根據(jù)各數(shù)數(shù)”的特征求出位上的數(shù)字互不相等且均不為0，解不定方程的整數(shù)解求出各數(shù)，再判斷是否能被11整除即可．【解答】解：①為”差中數(shù)“，，，這個數(shù)為5138；②設滿足條件的四位自然數(shù)是，又是差中數(shù)，，即，故或，各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，，，，，，當時，這個”差中數(shù)“是9817，不能被11整除，當時，這個”差中數(shù)“是9725，不能被11整除，當時，這個”差中數(shù)“是9541，不能被11整除，當時，這個”差中數(shù)“是9358，不能被11整除，當時，這個”差中數(shù)“是9174，能被11整除，一個”差中數(shù)“能被11整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是9174，故答案為：5138，9174．19．（2024?福田區(qū)校級自主招生）計算：．【分析】根據(jù)化簡絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪進行計算即可求解．【解答】解：原式．20．（2024?長沙模擬）計算：．【分析】原式第一項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，第二項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算，第三項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，最后一項利用立方根定義計算即可得到結果．【解答】解：原式．21．（2023?南山區(qū)二模）計算：．【分析】原式第一項利用零指數(shù)冪法則計算，第二項利用乘方的意義計算，第三項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，最后一項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可得到結果．【解答】解：原式．22．（2023?東城區(qū)一模）已知，求代數(shù)式的值．【分析】利用多項式乘多項式、多項式乘單項式進行計算，然后再合并同類項，化簡后，再代入求值即可．【解答】解：原式，，，原式．23．（2023?長安區(qū)校級二模）