江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題 含解析

2024～2025學(xué)年第一學(xué)期高三期中調(diào)研試卷數(shù)學(xué)注意事項學(xué)生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求：1.本卷共6頁，包含單項選擇題（第1題～第8題）、多項選擇題（第9題～第11題）、填空題（第12題～第14題）、解答題（第15題～第19題）.本卷滿分150分，答題時間為120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卡交回.2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.3.請在答題卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效，作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整，筆跡清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，若是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與關(guān)于虛軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和幾何意義求解即可.【詳解】，復(fù)數(shù)與關(guān)于虛軸對稱，故.故選：C2.若對于任意的實(shí)數(shù)都有成立，則的值可能是（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】利用兩角和差公式和誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】，故，即，當(dāng)時，故選：A3.下列說法中不正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.命題“，”的否定是“，”C.“若，，，則且”是假命題D.設(shè)，，則“或”是“”的充要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分性和必要性的定義即可判斷選項AD；利用命題的否定即可判斷選項B；利用賦值法即可判斷選項C.【詳解】對于A,“”是“”的必要不充分條件,故A正確；對于B，命題“，”的否定是“，”，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，滿足，不滿足且，故“若，，，則且”是假命題，故C正確；對于D，“或”是“”的充要條件，故D正確.故選：B4.在數(shù)列中，，則數(shù)列前24項和的值為（）A.144 B.312 C.288 D.156【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，將前24項和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和問題.【詳解】因為，所以，故選：C.5.已知實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A.12 B.9 C.6 D.3【答案】B【解析】【分析】將看成一個整體，然后利用換元法結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)，，故，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：B6.在軸截面頂角為直角的圓錐內(nèi)，作一內(nèi)接圓柱，若圓柱的表面積等于圓錐的側(cè)面積，則圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑的比值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓柱和圓錐底面半徑分別為r，R，由圓柱表面積等于圓錐側(cè)面積建立方程，求半徑比.【詳解】設(shè)圓柱和圓錐底面半徑分別r，R，因為圓錐軸截面頂角為直角，所以圓錐母線長為，設(shè)圓柱高為h，則，，由題，，得.故選：D.7.已知，若存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的解析式，得和都是偶函數(shù)，然后根據(jù)偶函數(shù)的定義分析求解．【詳解】由，得是偶函數(shù)，因為不可能是奇函數(shù)，所以和都是偶函數(shù)，為偶函數(shù)，則，即，為偶函數(shù)，則，，，，只有時，，故選：A8.已知函數(shù)，若，則最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的零點(diǎn)相同，然后利用，構(gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】，因為，且函數(shù)和都是增函數(shù)，故若恒成立，則函數(shù)和的零點(diǎn)相同，即.故，設(shè)則故在，，單調(diào)遞增；在，，單調(diào)遞減.故故最大值為.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，則下列說法中正確的是（）A.若，則或1 B.若，則或-3C.若，則或3 D.若，則向量，夾角的余弦值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)向量平行求參判斷A選項，根據(jù)向量垂直求參判斷B選項，應(yīng)用模長相等計算判斷C選項，根據(jù)向量坐標(biāo)的模長公式先求模長再根據(jù)夾角余弦公式計算判斷D選項.【詳解】A選項，若，有，解得或，A選項正確；B選項，若，有，解得或3，B選項錯誤，；C選項，若，有，解得或，C選項正確；D選項，當(dāng)時，，，，，，向量，夾角的余弦值為，D選項錯誤．故選：AC.10.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，下列四個命題中正確的是（）A.若為銳角三角形，則B.若，，則是直角三角形C.若，則是等腰三角形D.若為鈍角三角形，且，，，則的面積為【答案】AC【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式即可判斷A選項；利用余弦定理即可判斷B選項；利用正弦定理邊化角即可判斷C選項；利用余弦定理求出或，再進(jìn)行分類討論即可判斷D選項.【詳解】對于A,若為銳角三角形，則即，故，故A正確；對于B，若，，則，即，故，且，故是等邊三角形，故B錯誤；對于C，若，則即即故，是等腰三角形.故C正確；對于D，，解得或，且，當(dāng)時，，鈍角，故，當(dāng)時，，B為鈍角，故，故D錯誤.故選：AC11.已知，是函數(shù)，兩個不同的零點(diǎn)，且，，是函數(shù)兩個極值點(diǎn)，則（）A. B.或C.值可能為11 D.使得的的值有且只有1個【答案】ACD【解析】【分析】由是的零點(diǎn)且得，展開后與已知比較可得，可判斷A，由有兩個不等實(shí)解，得的范圍，可判斷B，直接解方程可判斷C，由韋達(dá)定理得出，代入，化為關(guān)于的方程，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)范圍，結(jié)合B中范圍可判斷D．【詳解】由已知有兩個零點(diǎn)，，又，是函數(shù)兩個不同的零點(diǎn)且，所以，即所以，，即，A正確；，解得或，，，由已知有兩個不等實(shí)根，所以，解得或，所以或，B錯；，解得或，滿足或，C正確；由，得，，，由整理得，設(shè)，則，或時，，時，，在在和上遞增，在上遞減，又，，，所以在，，上各有一個零點(diǎn)，又或，因此只在上在一個解，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，極值，對計算要求較高，對多項式函數(shù)，如果是它的一個零點(diǎn)，則，因此本題中在已知有兩個乘積為1的零點(diǎn)時，結(jié)合常數(shù)項可設(shè)，展開后得出與的關(guān)系，從而使得問題可解．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，且，則的值為______.【答案】【解析】【分析】利用整體代入法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求解即可.【詳解】，故，因為在區(qū)間0,1上的值域為，且，故必有，如圖所示，則故故答案為：13.如圖，邊長為1的正，是以為圓心，以為半徑的圓弧上除點(diǎn)以外的任一點(diǎn)，記外接圓圓心為，則______.【答案】##【解析】【分析】利用三角形外心的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為即可.【詳解】取的中點(diǎn)，因為為正三角形，故為的中垂線，則外接圓圓心一定在上，如圖所示，，故.故答案為：14.若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足恒成立，則稱直線為和的“媒介直線”.已知函數(shù)，，若和之間存在“媒介直線”，則實(shí)數(shù)的范圍是______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像，利用臨界情況，同時與和均相切求解即可.【詳解】恒成立，即的圖像一直在和之間，，當(dāng)同時與和均相切時，方程和方程均只有一個解，即和均只有一個解，故或，解得或，結(jié)合圖像可知，“媒介直線”的截距.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)新定義，注意理解新定義，然后數(shù)形結(jié)合，利用臨界情況求解即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，若數(shù)列前項和為，并滿足，.（1）求數(shù)列，的通項公式.（2）若，求數(shù)列前項的和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量可求出；利用和的關(guān)系，構(gòu)造出即可求出；（2）利用錯位相減法求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，且，，成等比數(shù)列知：，整理得：，即或者，因為公差大于1，故.且，故.數(shù)列前項和為，并滿足①，且，解得，故當(dāng)時，②，①式減②式得：，即，故是公比為2的等邊數(shù)列，則，故【小問2詳解】，故則故故則16.已知向量，，.（1）求函數(shù)解析式，寫出函數(shù)的最小正周期、對稱軸方程和對稱中心坐標(biāo).（2）試用五點(diǎn)作圖法作出函數(shù)在一個周期上簡圖（要求列表，描點(diǎn)，連線畫圖）.（3）根據(jù)（2）中的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、最小值及取得最小值時相應(yīng)值的集合.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和三角恒等變換求出，然后利用整體代入法求解即可；（2）利用五點(diǎn)作圖法求解即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖像求解即可.【小問1詳解】向量，，則，，故的最小正周期，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的對稱軸方程為，對稱中心為.【小問2詳解】列表：00200描點(diǎn)，連線，畫圖得：【小問3詳解】由圖可知，的單調(diào)增區(qū)間為；最小值為；取最小值時相應(yīng)值的集合為：.17.如圖①，在平面四邊形中，，，為對角線中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，，.（1）求的長.（2）從下面（i）與（ii）中選一個作答，如果兩個都作答，則只按第一個解答計分（i）在平面四邊形中，以為軸將向上折起，如圖②，當(dāng)面面時，求異面直線與所成角的余弦值.（ii）在平面四邊形中，以為軸將向上折起，如圖③，當(dāng)時，求三棱錐的體積.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理和正弦定理結(jié)合三角函數(shù)求解即可；（2）若選（i），利用空間向量求解即可；若選（ii），利用等體積法求解即可.【小問1詳解】因為，為對角線中點(diǎn)，故,因為,故，即，解得,故,則，,因為，，則，,所以,所以,，且,故,則在等腰中，由正弦定理得：，即，則.【小問2詳解】若選（i）：當(dāng)面面時，因為,面面,面,故面，又，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)做的平行線為軸，可以建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，,故為中點(diǎn)，則易得則設(shè)異面直線與所成角為，則.若選（ii）：由（1）知，,故為中點(diǎn)，故,當(dāng)時，，因為，,故，且，,故面,因為為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，故,則三棱錐的體積:.18.已知函數(shù)，.（1）如果函數(shù)在處的切線，也是的切線，求實(shí)數(shù)的值.（2）若在存在極小值，試求的范圍.（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有3個零點(diǎn)，若存在，求出所有實(shí)數(shù)的取值集合，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用極值點(diǎn)的定義，得出，然后構(gòu)造函數(shù)求出的范圍即可；（3）根據(jù)的單調(diào)性對進(jìn)行分類討論，注意，然后轉(zhuǎn)化為在上有唯一零點(diǎn)求解即可.【小問1詳解】，，故在處的切線為，也是的切線，故方程只有一個解，即只有一個解，，解得.【小問2詳解】，，當(dāng)時，，無極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；故的極小值點(diǎn)，則，故，設(shè)，，則，此時，設(shè)，則，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；，故,即【小問3詳解】，，，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，不存在3個零點(diǎn)；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，不存在3個零點(diǎn)；當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，設(shè)，則在上也是單調(diào)遞增，且，當(dāng)，，故存在唯一一個，使，即在，，，單調(diào)遞減；在，，，單調(diào)遞增；且，故，且，故在有唯一零點(diǎn)，，故，當(dāng)時，，因為在有唯一零點(diǎn)，故在也有唯一零點(diǎn)，故當(dāng)，有3個零點(diǎn);綜上所述，所有實(shí)數(shù)的取值集合為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題過程中，需通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，并將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的討論，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．在解題時，要特別注意導(dǎo)數(shù)符號的變化對函數(shù)單調(diào)性的影響，確保分類討論的全面性和嚴(yán)謹(jǐn)性．19.對于任意，向量列滿足.（1）若，，求的最小值及此時的.（2）若，，其中，，，，若對任意，，設(shè)函數(shù)，記，試判斷的符號并證明你的結(jié)論.（3）記，，，對于任意，記，若存在實(shí)數(shù)和2，使得等式成立，且有成立，試求的最大值.【答案】（1），此時或（2），證明見解析（3）30【解析】【分析】（1）利用累加法求出，進(jìn)而得到答案；（2）分別在各項均為0的常數(shù)列，非零常數(shù)列，公差不為0的數(shù)列，結(jié)合題意證明即可；（3）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等關(guān)系，進(jìn)行求解.【小問1詳解】因為對任意成立，所以有將上述各式相加得，又因為，,所以，所以有，又，當(dāng)或時，，此時或.【小問2詳解】可判定，（1）因為，所以數(shù)列不可能是各項均為0的常數(shù)列；（2）當(dāng)數(shù)列非零常數(shù)列時，任意，若，則，若，則，故當(dāng)數(shù)列為非零常數(shù)列時，.（3）當(dāng)數(shù)列為公差不為0的數(shù)列時，因，，若①，由等差數(shù)列性質(zhì)有，其中又為奇函數(shù)，且在R上單