數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究空間中的平行關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1已知α∥β,aα,B∈β，則在β內(nèi)過點(diǎn)B的所有直線中（)A。不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D。存在唯一一條與a平行的直線思路解析:本題圍繞著面面平行與線線平行的關(guān)系來考慮，由面面平行的性質(zhì)得到線線平行，由此得出結(jié)論.由于α∥β，aα，B∈β，所以由直線a與點(diǎn)B確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面分別相交,并且這兩條交線平行，選D。答案:D變式訓(xùn)練1(2006石家莊一模)下列條件中,能推出兩個(gè)平面α與β平行的是（)A。兩個(gè)全等△ABC、△A1B1C1分別在平面α與平面β內(nèi)，且AA1∥BB1∥CCB。一條直線與平面α、平面β所成的角相等C。直線a∥α，a∥βD.平面α、平面β分別與兩條異面直線a、b都平行思路解析:本題充分利用面面平行的判定定理即可,并且注意結(jié)合實(shí)際模型來幫助考慮問題，否則容易得到錯(cuò)誤的結(jié)論.對(duì)于D，由于直線a、b平行于平面α，所以在平面α內(nèi)必存在直線a1、b1分別與a、b平行，并且直線a1、b1必相交;同理，在平面β必存在直線a2、b2分別與a、b平行,并且直線a2、b2必相交,于是根據(jù)面面平行的判定定理知平面α與β平行.對(duì)于A、B、C三個(gè)選項(xiàng)都可以找出相應(yīng)的反例，選D。答案：D例2如圖1—2-2圖1—2—2-1（1）判斷四邊形MNA′C′的形狀；（2）求四邊形MNA′C′的面積。思路分析：可由MN∥AC，AC∥A′C′，得出MN∥A′C′,這是求解問題的關(guān)鍵所在．要注意挖掘長方體的隱含條件。解:（1）連結(jié)AC．因?yàn)镸、N分別是CD和AD的中點(diǎn)，所以MNAC。因?yàn)锳BCD-A′B′C′D′為長方體。所以ACC′A′為矩形。所以A′C′AC，所以MNA′C′，所以四邊形MNA′C′是梯形．在△A′AN和△C′CM中,因?yàn)椤螦′AN=∠C′CM=90°,A′A=C′C=2a,AN=CM=a，所以△A′AN≌△C′CM。所以A′N=C′M．所以四邊形MNA′C′是等腰梯形．（2）由A′C′=a，MN=a,A′N=C′M=，得梯形高h(yuǎn)=，所以S=．綠色通道：抓住圖形特征，將問題轉(zhuǎn)化為具體的線面關(guān)系，把線面平行變?yōu)榫€線平行是處理空間幾何問題常用的思想方法．變式訓(xùn)練2圖1—2—2—2是一塊長方體形狀的工件，現(xiàn)在要過BC和上表面內(nèi)的一點(diǎn)P將工件切開，應(yīng)怎樣畫線？所畫的線與工件的下底面是什么位置關(guān)系？圖1-2—2-2思路分析：經(jīng)過工件上表面內(nèi)的點(diǎn)P和BC將工件切開，實(shí)際上是過BC和點(diǎn)P作截面，所畫的線就是切面與長方體工件表面的交線.解：在面A1B1C1D1內(nèi)過點(diǎn)P作直線EF∥B1C1交A1B1和C1D問題探究問題證明線線平行、線面平行、面面平行分別有哪些方法可以使用？導(dǎo)思:線面平行是立體幾何的重要內(nèi)容，而線線平行又是證明線面平行的基礎(chǔ),一般證明線面平行都轉(zhuǎn)化為線線平行,反過來由線面平行也可以得到線線平行的性質(zhì)。所以，可以根據(jù)線面平行來證明線線平行。面面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線平行，這也是立體幾何研究問題的基本思路.反過來由面面平行也可以轉(zhuǎn)化為線面平行，從而轉(zhuǎn)化為線線平行，要理解立體問題與平面問題之間的關(guān)系和等價(jià)轉(zhuǎn)化的基本思想.探究：1。證明兩條直線平行的方法(1）利用空間平行線的傳遞性尋找第三條直線分別與前兩條直線平行，這是判斷兩條直線平行的重要方法.（2)利用線面平行的性質(zhì)把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行.(3)利用兩個(gè)平面平行的性質(zhì)把面與面的平行轉(zhuǎn)化為線線平行.2.證明線面平行的方法（1）利用定義:證明線面無公共點(diǎn)；(2)利用線面平行的判定定理:線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行，即要證明平面外一條直線和這個(gè)平面平行，只要在這個(gè)平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了。3.證明兩個(gè)平面平行的方法（1）用面面平行的定義：兩個(gè)平面