數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究兩條直線的位置關(guān)系點(diǎn)到直線的距離

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1（經(jīng)典回放)在△ABC中，BC邊的中點(diǎn)M(，），直線AC的方程為x+1=0，直線AB的方程為x+y—1=0,求直線BC的方程。思路分析：確定直線的方程需要兩個(gè)條件，本題已經(jīng)給出直線BC經(jīng)過M點(diǎn)，∴只要求得點(diǎn)B(或C)的坐標(biāo)或直線BC的斜率就可以了.圖2-2—(3,4)—1解法一：利用兩點(diǎn)式,參看圖2—2—（3，4)—1。設(shè)B（a,1-a）、C(-1,b）,則∴∴B(-4，5)、C(-1，-4）.∴BC的方程為，即3x+y+7=0.解法二:利用點(diǎn)斜式.設(shè)直線BC的方程為y-=k（x+)(k存在).由得B點(diǎn)橫坐標(biāo)xB=(k存在）。又點(diǎn)C橫坐標(biāo)xC=-1，∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得—1=-5,解得k=-3?！嘀本€BC的方程為3x+y+7=0.解法三：利用兩點(diǎn)式.作MD∥AC交AB于D，則點(diǎn)D(—，）為邊AB的中點(diǎn)，∵A（—1，2)，∴B(—4,5).∴由點(diǎn)M、B的坐標(biāo)可得直線BC的方程為3x+y+7=0。綠色通道：靈活運(yùn)用直線方程的各種形式,常常要和平面幾何的有關(guān)知識(shí)相結(jié)合.黑色陷阱：一定要注意直線方程各種形式的應(yīng)用條件。變式訓(xùn)練1l過點(diǎn)P（2,3),且與兩坐標(biāo)軸的截距相等,求直線l的方程.解法一：利用點(diǎn)斜式(本題斜率存在且不為零）.設(shè)直線l的方程為y-3=k(x-2）.令x=0，得在y軸上的截距b=—2k+3;令y=0，得在x軸上的截距a=2(k≠0）.由兩坐標(biāo)軸上截距相等，得—2k+3=2，即k=-1或.∴l(xiāng)的方程為x+y-5=0或3x—2y=0。解法二:利用一般式.設(shè)直線l的方程為x+y+C=0或kx-y=0,由于點(diǎn)P(2,3)在l上,得2+3+C=0或2k-3=0，故C=—5或k=。∴l(xiāng)的方程為x+y-5=0或3x-2y=0。例2已知直線l:3x-y-1=0,在l上求一點(diǎn)P,使得（1）P到點(diǎn)A(4，1）和B（0，4）的距離之差最大；（2）P到點(diǎn)A(4，1)和C(3,4）的距離之和最小。圖2-2—(3,4)—2思路分析:利用三角形的性質(zhì)(兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）以及對(duì)稱性質(zhì).解：（1)如圖2—2—（3,4）-2中,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B′（a，b）,則l是BB′的垂直平分線?！鄈BB′=.∴即點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(3,3）.于是AB′的方程為,即2x+y—9=0。解方程組得即l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，5）。由平面幾何知識(shí)知,對(duì)l上的任意點(diǎn)P′，有｜|P′A|-|P′B||=｜|P′A|—|P′B′|｜≤||PA｜-|PB′｜｜=｜B′A|。圖2-2—(3，4)—3當(dāng)且僅當(dāng)P′、B′、A共線時(shí)取等號(hào)。故可知所求P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，5)。（2）如圖2—2—(3，4）—3中,設(shè)C點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，可求出C′的坐標(biāo)為（，).于是可得AC′所在直線的方程為19x+17y—93=0。由AC′和l的方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為P().綠色通道：許多解析幾何問題都需要結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)來解決.求解解析幾何問題時(shí)常會(huì)碰到計(jì)算量大的問題，簡化運(yùn)算量的技巧是學(xué)習(xí)解析幾何的一項(xiàng)基本技能.當(dāng)直線滿足某一規(guī)律時(shí)，直線上的點(diǎn)也滿足這個(gè)規(guī)律,因此許多直線的問題是從分析直線上的某點(diǎn)入手的.變式訓(xùn)練2已知A（4,-3）、B（2,—1)和直線l：4x+3y—2=0，求一點(diǎn)P，使|PA｜=｜PB｜，且點(diǎn)P到直線l的距離等于2。解法一:設(shè)點(diǎn)P(x，y)，|PA|=|PB|，∴。①點(diǎn)P到直線l的距離等于2，∴.②由①②得P（1，—4）或(）.解法二:設(shè)點(diǎn)P(x，y），|PA|=｜PB|，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。AB的垂直平分線的方程是y=x—5,∴設(shè)點(diǎn)P(x,x-5）.點(diǎn)P到直線l的距離等于2，∴由上式得到x=1或,∴P（1，—4）或（,）.例3已知n條直線:x-y+C1=0（C1=）,x-y+C2=0，x-y+C3=0,……x-y+Cn=0(其中C1＜C2＜C3＜…＜Cn).這n條平行線中，每相鄰兩條之間的距離順次為2，3，4，…，n。（1）求Cn;（2）求x—y+Cn=0與x軸、y軸圍成的圖形的面積;(3)求x-y+Cn-1=0與x-y+Cn=0及x軸、y軸圍成的圖形的面積.思路分析：(1）由兩條平行線間的距離公式，依次寫出C2，C3,…,Cn,然后找出它們的共同的規(guī)律,利用逐項(xiàng)相加的方法把中間項(xiàng)C2，C3,…，Cn—1消去,即可得到Cn。在解決了第(1）問后,后面的兩問便容易解決了。解:(1)對(duì)任意的兩條相鄰的平行線Ci、Ci+1間的距離記為di（i=1，2，…,n-1),根據(jù)兩平行線間的距離公式有di=,i=1,2，…,n-1。此即di=Ci+1—Ci,i=1，2,…,n-1.分別令i=1,2，…,n—1,再把所得的各式相加,得（d1+d2+…+dn)=Cn-C1,即(2+3+…+n）=Cn—C1.把C1=代入此式得Cn=(1+2+3+…+n)=.（2）直線x-y+Cn=0在坐標(biāo)軸上所截的線段長皆為｜Cn｜,∴截得三角形的面積為｜Cn|2=n2(n+1)2。圖2—2—（3，4）-4(3)直線x—y+Cn—1=0與x—y+Cn=0及x軸、y軸圍成圖形的面積就是直線x-y+Cn=0在坐標(biāo)軸上截得的三角形的面積與直線x-y+Cn—1=0在坐標(biāo)軸上所截得的三角形的面積之差，如圖2—2—（3，4）—4所示的陰影部分面積?！嘁蟮年幱安糠值拿娣e為n2（n+1）2—n2（n—1)2=n3。綠色通道：一般說來,數(shù)學(xué)題有多問時(shí),后面的問題依賴于前面問題的解決,在高考中尤其如此，所以做第一問是關(guān)鍵。許多解析幾何問題都需要結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)來解決。黑色陷阱:如果對(duì)第(3)問不能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積之差,將導(dǎo)致解題困難.變式訓(xùn)練3（2006上海高考，文2）已知兩條直線l1：ax+3y—3=0,l2:4x+6y-1=0。若l1∥l2,則a=______________。思路解析：由于兩條直線的斜率都存在,所以根據(jù)兩條直線平行，斜率相等，可以將題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程進(jìn)行求解.根據(jù)題意，得6a=12，解得a=2。答案：2變式訓(xùn)練4(2006福建高考,文1)已知兩條直線y=ax-2和y=（a+2)x+1互相垂直，則a等于（)A.2B。1C.0思路解析:由于兩條直線的斜率都存在,所以根據(jù)兩條直線垂直,斜率互為倒數(shù)，可以將題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程進(jìn)行求解。根據(jù)題意,得a(a+2）+1=0,解得a=-1。因此選D.答案：D問題探究問題1方程組的系數(shù)滿足什么條件時(shí)，直線l1：A1x+B1y+C1=0和直線l2:A2x+B2y+C2=0相交、平行、重合呢？導(dǎo)思：（1）如果這兩條直線相交，由于交點(diǎn)同時(shí)在這兩條直線上，交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是兩個(gè)方程的唯一公共解；反過來，如果這兩個(gè)二元一次方程只有一個(gè)公共解，那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必定是直線l1和l2的交點(diǎn)。因此兩直線l1、l2相交方程組有唯一解.（2）如果兩條直線不相交，那么在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩種情況：一是平行，一是重合.當(dāng)兩直線平行時(shí)，它們沒有公共點(diǎn)，也就是說，同時(shí)滿足這兩個(gè)方程的解不存在，即方程組無解,即l1、l2平行方程組無實(shí)數(shù)解。（3）如果兩條直線重合，那么它們就有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn),也就是說，同時(shí)滿足這兩個(gè)方程的解有無數(shù)個(gè)，即方程組有無窮多個(gè)解，即l1、l2重合方程組有無窮多個(gè)解.探究：我們解方程組①×B2—②×B1，得（A1B2—A2B1）x+B2C1-B1C當(dāng)A1B2—A2B1≠0時(shí),得x=.再由①×A2—②×A1,當(dāng)A1B2—A2B1≠0時(shí)，可得y=.因此當(dāng)A1B2—A2B1≠0時(shí)，方程組有唯一一組解，這時(shí)兩直線相交.當(dāng)A1B2—A2B1=0，而B1C2—B2C1≠0(或A2C1—A如果A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2(其中λ≠0),即這兩個(gè)方程中未知數(shù)的對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例,直線l1的方程變?yōu)棣耍ˋ2x+B2y+C2）=0,兩個(gè)方程解集相同,則兩個(gè)方程表示同一條直線，即l1、l2重合。通過上述討論知道兩直線間“形”的關(guān)系可化歸為方程組的解即“數(shù)”的關(guān)系來研究，即以“數(shù)”解“形",同時(shí)以“形”助“數(shù)"。問題2過兩條相交直線交點(diǎn)的直線應(yīng)該滿足什么樣的形式?已知直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0為兩條相交直線，那么方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0能表示直線嗎？若能，所表示的直線l與l1、l2間又有何關(guān)系？導(dǎo)思：l1與l2相交≠A1B2≠A2B1.探