數(shù)學學案:例題與探究兩條直線的位置關系點到直線的距離_第1頁
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學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精典題精講例1(經(jīng)典回放)在△ABC中,BC邊的中點M(,),直線AC的方程為x+1=0,直線AB的方程為x+y—1=0,求直線BC的方程。思路分析:確定直線的方程需要兩個條件,本題已經(jīng)給出直線BC經(jīng)過M點,∴只要求得點B(或C)的坐標或直線BC的斜率就可以了.圖2-2—(3,4)—1解法一:利用兩點式,參看圖2—2—(3,4)—1。設B(a,1-a)、C(-1,b),則∴∴B(-4,5)、C(-1,-4).∴BC的方程為,即3x+y+7=0.解法二:利用點斜式.設直線BC的方程為y-=k(x+)(k存在).由得B點橫坐標xB=(k存在)。又點C橫坐標xC=-1,∴由中點坐標公式得—1=-5,解得k=-3?!嘀本€BC的方程為3x+y+7=0.解法三:利用兩點式.作MD∥AC交AB于D,則點D(—,)為邊AB的中點,∵A(—1,2),∴B(—4,5).∴由點M、B的坐標可得直線BC的方程為3x+y+7=0。綠色通道:靈活運用直線方程的各種形式,常常要和平面幾何的有關知識相結合.黑色陷阱:一定要注意直線方程各種形式的應用條件。變式訓練1l過點P(2,3),且與兩坐標軸的截距相等,求直線l的方程.解法一:利用點斜式(本題斜率存在且不為零).設直線l的方程為y-3=k(x-2).令x=0,得在y軸上的截距b=—2k+3;令y=0,得在x軸上的截距a=2(k≠0).由兩坐標軸上截距相等,得—2k+3=2,即k=-1或.∴l(xiāng)的方程為x+y-5=0或3x—2y=0。解法二:利用一般式.設直線l的方程為x+y+C=0或kx-y=0,由于點P(2,3)在l上,得2+3+C=0或2k-3=0,故C=—5或k=?!鄉(xiāng)的方程為x+y-5=0或3x-2y=0。例2已知直線l:3x-y-1=0,在l上求一點P,使得(1)P到點A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大;(2)P到點A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小。圖2-2—(3,4)—2思路分析:利用三角形的性質(兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊)以及對稱性質.解:(1)如圖2—2—(3,4)-2中,設點B關于l的對稱點為B′(a,b),則l是BB′的垂直平分線?!鄈BB′=.∴即點B′的坐標為(3,3).于是AB′的方程為,即2x+y—9=0。解方程組得即l與AB′的交點坐標為(2,5)。由平面幾何知識知,對l上的任意點P′,有||P′A|-|P′B||=||P′A|—|P′B′||≤||PA|-|PB′||=|B′A|。圖2-2—(3,4)—3當且僅當P′、B′、A共線時取等號。故可知所求P點坐標為(2,5)。(2)如圖2—2—(3,4)—3中,設C點關于l的對稱點為C′,可求出C′的坐標為(,).于是可得AC′所在直線的方程為19x+17y—93=0。由AC′和l的方程聯(lián)立,解得交點的坐標為P().綠色通道:許多解析幾何問題都需要結合平面幾何的相關知識來解決.求解解析幾何問題時常會碰到計算量大的問題,簡化運算量的技巧是學習解析幾何的一項基本技能.當直線滿足某一規(guī)律時,直線上的點也滿足這個規(guī)律,因此許多直線的問題是從分析直線上的某點入手的.變式訓練2已知A(4,-3)、B(2,—1)和直線l:4x+3y—2=0,求一點P,使|PA|=|PB|,且點P到直線l的距離等于2。解法一:設點P(x,y),|PA|=|PB|,∴。①點P到直線l的距離等于2,∴.②由①②得P(1,—4)或().解法二:設點P(x,y),|PA|=|PB|,∴點P在線段AB的垂直平分線上。AB的垂直平分線的方程是y=x—5,∴設點P(x,x-5).點P到直線l的距離等于2,∴由上式得到x=1或,∴P(1,—4)或(,).例3已知n條直線:x-y+C1=0(C1=),x-y+C2=0,x-y+C3=0,……x-y+Cn=0(其中C1<C2<C3<…<Cn).這n條平行線中,每相鄰兩條之間的距離順次為2,3,4,…,n。(1)求Cn;(2)求x—y+Cn=0與x軸、y軸圍成的圖形的面積;(3)求x-y+Cn-1=0與x-y+Cn=0及x軸、y軸圍成的圖形的面積.思路分析:(1)由兩條平行線間的距離公式,依次寫出C2,C3,…,Cn,然后找出它們的共同的規(guī)律,利用逐項相加的方法把中間項C2,C3,…,Cn—1消去,即可得到Cn。在解決了第(1)問后,后面的兩問便容易解決了。解:(1)對任意的兩條相鄰的平行線Ci、Ci+1間的距離記為di(i=1,2,…,n-1),根據(jù)兩平行線間的距離公式有di=,i=1,2,…,n-1。此即di=Ci+1—Ci,i=1,2,…,n-1.分別令i=1,2,…,n—1,再把所得的各式相加,得(d1+d2+…+dn)=Cn-C1,即(2+3+…+n)=Cn—C1.把C1=代入此式得Cn=(1+2+3+…+n)=.(2)直線x-y+Cn=0在坐標軸上所截的線段長皆為|Cn|,∴截得三角形的面積為|Cn|2=n2(n+1)2。圖2—2—(3,4)-4(3)直線x—y+Cn—1=0與x—y+Cn=0及x軸、y軸圍成圖形的面積就是直線x-y+Cn=0在坐標軸上截得的三角形的面積與直線x-y+Cn—1=0在坐標軸上所截得的三角形的面積之差,如圖2—2—(3,4)—4所示的陰影部分面積?!嘁蟮年幱安糠值拿娣e為n2(n+1)2—n2(n—1)2=n3。綠色通道:一般說來,數(shù)學題有多問時,后面的問題依賴于前面問題的解決,在高考中尤其如此,所以做第一問是關鍵。許多解析幾何問題都需要結合平面幾何的相關知識來解決。黑色陷阱:如果對第(3)問不能轉化為兩個三角形的面積之差,將導致解題困難.變式訓練3(2006上海高考,文2)已知兩條直線l1:ax+3y—3=0,l2:4x+6y-1=0。若l1∥l2,則a=______________。思路解析:由于兩條直線的斜率都存在,所以根據(jù)兩條直線平行,斜率相等,可以將題意轉化為關于a的方程進行求解.根據(jù)題意,得6a=12,解得a=2。答案:2變式訓練4(2006福建高考,文1)已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于()A.2B。1C.0思路解析:由于兩條直線的斜率都存在,所以根據(jù)兩條直線垂直,斜率互為倒數(shù),可以將題意轉化為關于a的方程進行求解。根據(jù)題意,得a(a+2)+1=0,解得a=-1。因此選D.答案:D問題探究問題1方程組的系數(shù)滿足什么條件時,直線l1:A1x+B1y+C1=0和直線l2:A2x+B2y+C2=0相交、平行、重合呢?導思:(1)如果這兩條直線相交,由于交點同時在這兩條直線上,交點的坐標一定是兩個方程的唯一公共解;反過來,如果這兩個二元一次方程只有一個公共解,那么以這個解為坐標的點必定是直線l1和l2的交點。因此兩直線l1、l2相交方程組有唯一解.(2)如果兩條直線不相交,那么在平面直角坐標系內(nèi)有兩種情況:一是平行,一是重合.當兩直線平行時,它們沒有公共點,也就是說,同時滿足這兩個方程的解不存在,即方程組無解,即l1、l2平行方程組無實數(shù)解。(3)如果兩條直線重合,那么它們就有無數(shù)個公共點,也就是說,同時滿足這兩個方程的解有無數(shù)個,即方程組有無窮多個解,即l1、l2重合方程組有無窮多個解.探究:我們解方程組①×B2—②×B1,得(A1B2—A2B1)x+B2C1-B1C當A1B2—A2B1≠0時,得x=.再由①×A2—②×A1,當A1B2—A2B1≠0時,可得y=.因此當A1B2—A2B1≠0時,方程組有唯一一組解,這時兩直線相交.當A1B2—A2B1=0,而B1C2—B2C1≠0(或A2C1—A如果A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(其中λ≠0),即這兩個方程中未知數(shù)的對應系數(shù)成比例,直線l1的方程變?yōu)棣耍ˋ2x+B2y+C2)=0,兩個方程解集相同,則兩個方程表示同一條直線,即l1、l2重合。通過上述討論知道兩直線間“形”的關系可化歸為方程組的解即“數(shù)”的關系來研究,即以“數(shù)”解“形",同時以“形”助“數(shù)"。問題2過兩條相交直線交點的直線應該滿足什么樣的形式?已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0為兩條相交直線,那么方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0能表示直線嗎?若能,所表示的直線l與l1、l2間又有何關系?導思:l1與l2相交≠A1B2≠A2B1.探

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