湖南省邵陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)競(jìng)賽（初賽）數(shù)學(xué)試題 含解析

2023年拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽（初賽）（數(shù)學(xué)）試題卷溫馨提示:1.時(shí)量100分鐘，滿分150分。2.請(qǐng)你將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等相關(guān)信息按要求填涂在答題卡上。3.請(qǐng)你在答題卡上作答，答在本卷上無(wú)效。一．單選題（每小題5分，共40分）1.已知一元二次方程有一個(gè)根為零，則（）A.1 B. C.1或 D.或4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)有，即可求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，可得.故選：B2.如果將一組數(shù)據(jù)5、4、6、5、4、13、5依次重復(fù)寫10次，會(huì)得到70個(gè)數(shù)組成的一組新數(shù)據(jù)，關(guān)于這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.中位數(shù)和眾數(shù)都是5 B.眾數(shù)是10C.中位數(shù)是4 D.中位數(shù)、平均數(shù)都是5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為4，4，5，5，5，6，13，處于中間位置的那個(gè)數(shù)是5，每個(gè)數(shù)字重復(fù)寫10次，5依然處于中間位置，由中位數(shù)的定義可知，這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，這組新數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是5，出現(xiàn)了30次，所以眾數(shù)為5，故A正確，BC錯(cuò)誤．平均數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：A3.已知函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，，，則不等式的解為（）A.或 B.或或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的圖象，即可結(jié)合圖象求解.【詳解】作出與的大致圖象如下：由圖象可知：不等式的解集實(shí)際上就是當(dāng)拋物線的圖象位于值反比例函數(shù)的圖象上方時(shí)，所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，根據(jù)圖象可以得到：在第一象限，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，在第三象限，有兩部分，即當(dāng)或時(shí)，二次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，故選：B．4.已知實(shí)數(shù)滿足且，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意整理可得，代入運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，即，可得，可得或，即或，且，可得，所?故選：A.5.圓內(nèi)切于正三角形，半徑為R，圓與圓及，均相切，圓的半徑為r，則等于（）A.4 B.2 C.3 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)分析求解.【詳解】設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，則圓的半徑，設(shè)圓與圓切于點(diǎn)，過點(diǎn)作∥，因?yàn)?，則，可知圓為正三角形的內(nèi)切圓，且為的中點(diǎn)，則，所以.故選：C.6.割圓術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉微創(chuàng)造的一種求周長(zhǎng)和面積的算法：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，它的周長(zhǎng)和面積越來(lái)越接近圓周長(zhǎng)和圓面積，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”．這一思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用．例如：求值．則可以設(shè)，根據(jù)上述思想方法有，解方程得；試用這個(gè)方法解決問題：（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由，設(shè)，則，由此能求出結(jié)果．【詳解】可設(shè)，則，解得：．故選：B．7.如圖，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，直到它們都到達(dá)點(diǎn)為止．若的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則與的函數(shù)圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可得，然后分兩段：當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，分別求出函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】∵，，，∴，根據(jù)題意得：點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的時(shí)間是，到達(dá)點(diǎn)的時(shí)間為，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)邊上時(shí)（不含端點(diǎn)），，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴，∴，∴，解得：，，∴，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，，，如圖，∴，，∴，即,綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為，∴函數(shù)圖象第一段為過原點(diǎn)的開口向上的拋物線的一部分，第二段為自左向右逐漸下降的拋物線的一部分．故選：C8.如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)可得，進(jìn)而有在以為直徑的圓上，即圓心為中點(diǎn)，半徑為，即可求線段CP長(zhǎng)的最小值.【詳解】由題設(shè)，即，所以在以為直徑的圓上，即圓心為中點(diǎn)，半徑為，且在內(nèi)部，所以線段CP長(zhǎng)的最小值為.故選：D二．多選題（每小題5分，少選得2分，多選不得分，共20分）9.已知關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，且關(guān)于的不等式組的解集為，求滿足條件的整數(shù)的值可以為（）A.﹣4 B.﹣2 C.﹣1 D.1【答案】BD【解析】【分析】解不等式組結(jié)合不等式組的解集從而得到，逐項(xiàng)分析即可.【詳解】解不等式組得：.因?yàn)殛P(guān)于的不等式組的解集為，所以，即.因?yàn)殛P(guān)于的分式方程有整數(shù)解：，時(shí)，符合題意；時(shí)，由于分式方程分母為，所以不符合題意；時(shí)，，符合題意.所以或.故選：BD10.有依次排列的2個(gè)整式：，，對(duì)任意相鄰的兩個(gè)整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個(gè)整式之間，可以產(chǎn)生一個(gè)新整式串：，2，，這稱為第一次操作；將第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類推．通過實(shí)際操作，分別得出一個(gè)結(jié)論，以下四個(gè)結(jié)論正確的有（）．A.第二次操作后整式串為：，，2，，；B.第二次操作后，當(dāng)時(shí)，所有整式的積為非負(fù)數(shù)；C.第三次操作后整式串中共有8個(gè)整式；D.第2023次操作后，所有的整式的和為；【答案】ABD【解析】【分析】由第一次操作得到：，2，，重復(fù)操作可判斷A選項(xiàng)；將第二次操作后整式串為：，，2，，，相乘驗(yàn)證，即可判斷B選項(xiàng)；進(jìn)行第三次操作得到結(jié)果，即可判斷C選項(xiàng)；利用前三次操作，找到其整式和與次數(shù)之間滿足關(guān)系，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：由第一次操作得到：，2，，則第二次操作后整式串為：，，2，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：由第二次操作后整式串為：，，2，，，因?yàn)椋?，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：由第二次操作后整式串為：，，2，，，第三次操作后為：共有9個(gè)整式，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：由第一次操作得到：，2，，其和為；由第二次操作后整式串為：，，2，，，其和為；第三次操作后為：其和為；第2023次操作后，所有的整式的和為，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD.11.如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等．下列結(jié)論正確的有（）A.；B.正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，四邊形的面積隨的長(zhǎng)度變化而變化；C.△BEF周長(zhǎng)的最小值為；D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三角形全等的判斷可得，進(jìn)而可判斷A，根據(jù)等面積法即可判斷B，根據(jù)垂直時(shí)距離最小，即可求解C，由勾股定理即可判斷D.【詳解】A四邊形是正方形，，，，，，，，在和中，，故，，，，；故A正確；由A得，故B錯(cuò)誤；由A可知，，周長(zhǎng)，為定值，則最小時(shí),的周長(zhǎng)最小，當(dāng)時(shí)最小，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，故周長(zhǎng)的周長(zhǎng)最小值．故C正確，在中，，，又．，故D錯(cuò)誤．故選:AC．12.已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的對(duì)稱軸為，其圖像如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為C.關(guān)于的不等式的解為或D.若關(guān)于的函數(shù)與關(guān)于的函數(shù)有相同的最小值，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由開口方向，與軸交點(diǎn)，及對(duì)稱軸，求出的正負(fù)，得到A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)隨著的增大而減小，從而求出最大值；C選項(xiàng)，結(jié)合，化簡(jiǎn)不等式，求出解集；D選項(xiàng)，配方得到兩函數(shù)的最小值，從而得到，求出.【詳解】A選項(xiàng)，二次函數(shù)圖象開口向上，故，對(duì)稱軸，故，圖象與軸交點(diǎn)在軸正半軸，故，所以，故，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，故，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，所以時(shí)，取得最大值，最大值為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，故不等式變形為，因?yàn)?，，解得：或，故C正確；D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，所以，即，所以，即，故D正確.故選：ACD三．填空題（每小題5分，共20分）13.一個(gè)不透明口袋中有4個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，現(xiàn)隨機(jī)取一個(gè)小球然后放回，再隨機(jī)取出一個(gè)小球，則第一次取出的小球標(biāo)號(hào)大于第二次取出的小球標(biāo)號(hào)的概率為______．【答案】【解析】【分析】畫出樹狀圖,借助古典概型計(jì)算即可.【詳解】畫出樹狀圖:由樹狀圖可知：基本事件的總數(shù)共有16種，其中第一次取出的小球標(biāo)號(hào)大于第二次取出的小球標(biāo)號(hào)有6種，所以第一次取出的小球標(biāo)號(hào)大于第二次取出的小球標(biāo)號(hào)的概率為.故答案為：.14.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍______．【答案】且．【解析】【分析】由根式性質(zhì)及一元二次方程根的個(gè)數(shù)有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，可得，即k的取值范圍為且.故答案為：且15.如圖，在菱形ABCD中，已知，以為直徑的⊙O與菱形相交，則圖中陰影部分的面積為____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可利用三角形面積以及扇形面積公式求解.【詳解】在菱形中，已知，，以為直徑的與菱形相交，，，，，陰影部分的面積為：，故答案為：16.閱讀理解：高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計(jì)算“從1到100這100個(gè)正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起來(lái)非常煩瑣，且易出錯(cuò)．聰明的小高斯經(jīng)過探索后，給出了下面漂亮的解答過程．解：設(shè)①，則②，①+②，得．（兩式左右兩端分別相加，左端等于2S，右端等于100個(gè)101的和）所以，③，所以．后來(lái)人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”計(jì)算：=_____．【答案】885【解析】【分析】根據(jù)“倒序相加法”的定義依次求出目標(biāo)式中各個(gè)片段的和，即可得結(jié)果.【詳解】令，則，有，令，則，有，令，則，有，令，則，有，所以目標(biāo)式，同理可得，故目標(biāo)式的值為.故答案為：四．解答題（七小題，共70分）17.（1）計(jì)算：（2）已知，，求的值．【答案】（1）1；（2）11【解析】【分析】（1）由指數(shù)冪的運(yùn)算法則及特殊角的正弦函數(shù)值計(jì)算即可得；（2）借助因式分解計(jì)算即可得【詳解】（1）原式；（2）由、，則，故.18.已知等式（1）若均為正整數(shù)，求的值；（2）設(shè)，分別是分式中的?。?gt;>2）時(shí)所對(duì)應(yīng)的值，試比較的大小，說(shuō)明理由．【答案】（1）或者（2），理由見解析【解析】【分析】（1）由等式可得，結(jié)合均為正整數(shù)即可求解，（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法即可比較.【小問1詳解】①由得：，即，②∵為正整數(shù)，，∴可知y只能為1或者2，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即的值為：或者；【小問2詳解】，理由如下：根據(jù)題條件可知，，∵，∴，設(shè)，，∵，∴，∴，∵，，∴，，即，則有：，即，∵，∴，∴，∴，∴，結(jié)論得證．19.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B.（1）若點(diǎn)C為直線AB上第二象限的點(diǎn)，且，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，直線AB上是否存在點(diǎn)Q，使得OAQ與BOC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CDy軸交x軸于D，然后根據(jù)相似關(guān)系求解出，則點(diǎn)坐標(biāo)可知；（2）根據(jù)條件結(jié)合角度大小先判斷出點(diǎn)位置，然后采用分類討論的方法并根據(jù)相似對(duì)應(yīng)的線段比例關(guān)系求解出點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】如圖，過點(diǎn)C作CDy軸交x軸于D，∴AOBADC，∴，∵直線AB的解析式為，令，則，∴，，令，則，∴，∴，，∵，∴，∴，∵點(diǎn)C為直線AB上第二象限的點(diǎn)，∴；【小問2詳解】直線AB上存在點(diǎn)Q，使得OAQ與BOC相似；如圖，由（1）知，，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)Q在射線AB上時(shí)，，∴BOC與AOQ不可能相似，當(dāng)點(diǎn)Q在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)，∵，∴，由（1）知，，，∴，∵OAQ與BOC相似，當(dāng)BOCAOQ，則，，∴，∴；當(dāng)，則，，∴，∴，綜上所述，存在或滿足條件.20.某家電銷售商城電冰箱的銷售價(jià)為每臺(tái)2100元，空調(diào)的銷售價(jià)為每臺(tái)1750元，每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)多400元，商城用80000元購(gòu)進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用64000元購(gòu)進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等．（1）求每臺(tái)電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是多少；（2）現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購(gòu)進(jìn)這兩種家電共100臺(tái)，設(shè)購(gòu)進(jìn)電冰箱x臺(tái)，這100臺(tái)家電的銷售總利潤(rùn)為y元，要求購(gòu)進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤(rùn)不低于13200元，請(qǐng)分析合理的方案共有多少種，并確定獲利最大的方案以及最大利潤(rùn)；（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)電冰箱出廠價(jià)下調(diào)k（）元，若商店保持這兩種家電的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）問中條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)家電銷售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案．【答案】（1）每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為1600元，則每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)為2000元（2）3種方案；購(gòu)買電冰箱34臺(tái)，購(gòu)進(jìn)空調(diào)66臺(tái)，利潤(rùn)最大，為13300元（3）答案見解析【解析】【分析】（1）列方程求解原價(jià)即可.（2）合理列出不等式組，確定方案?jìng)€(gè)數(shù)，再求利潤(rùn)即可（3）分析一次函數(shù)單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】設(shè)每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為元，則每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)為元，由題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；∴；故每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為元，則每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)為元；【小問2詳解】設(shè)購(gòu)進(jìn)電冰箱x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)空調(diào)臺(tái)，由題意，得：，解得：，為整數(shù)，，共3種方案；，隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為元，即當(dāng)購(gòu)買電冰箱34臺(tái)時(shí)，購(gòu)進(jìn)空調(diào)臺(tái)，利潤(rùn)最大，為元．【小問3詳解】由題意得：，當(dāng)，即：，隨的增大而增大，∴當(dāng)購(gòu)買電冰箱36臺(tái)，購(gòu)進(jìn)空調(diào)臺(tái)，利潤(rùn)最大，當(dāng)，即：，隨的增大而減小，∴當(dāng)購(gòu)買電冰箱34臺(tái)，購(gòu)進(jìn)空調(diào)臺(tái)，利潤(rùn)最大，當(dāng)，即：，每種方案的總利潤(rùn)相同，均為元．21.如圖是體育公園步道示意圖．從A處測(cè)得點(diǎn)B在北偏東，測(cè)得點(diǎn)C在北偏東，在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)B在北偏西，米．（1）求步道的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）游客中心Q在點(diǎn)A的正東方向，步道與步道交于點(diǎn)P，測(cè)得，小明和爸爸分別從B處和A處同時(shí)出發(fā)去游客中心，小明跑步的速度是每分鐘米，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明爸爸的速度要達(dá)到每分鐘多少米，他倆可同時(shí)到達(dá)游客中心．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）米；（2）每分鐘25.1米【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)方位角得到、，由直角三角形中余弦函數(shù)定義求的長(zhǎng)度；（2）作交延長(zhǎng)線于，求得，進(jìn)而得到，結(jié)合已知求爸爸的速度.【小問1詳解】如圖從A處測(cè)得點(diǎn)B在北偏東，測(cè)得點(diǎn)C在北偏東，則，，又點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)B在北偏西，則，故，易知，又米，則米.【小問2詳解】作交延長(zhǎng)線于，由（1）知：，又，，由，則，故，，所以，故小明到達(dá)游客中心所需時(shí)間為分鐘，若要同時(shí)到達(dá)，則爸爸的速度要達(dá)到每分鐘米.22.如圖，以的兩邊分別向外作等邊和等邊，與交于點(diǎn)P，已知．（1）求證：；（2）求的度數(shù)及的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)Q、R分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點(diǎn)），連接，作出圖象，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)邊角邊即可求證三角形全等，（2）根據(jù)全等關(guān)系，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可求解，（3）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合相似即可求解.【小問1詳解】∵和都為等邊三角形，∴∴，即，∴【小問2詳解】∵；∴，設(shè)交于O，∵，∴；如圖①在上取點(diǎn)F，使，同（1）可得∴為等邊三角形，∴【小問3詳解】如圖②，過點(diǎn)Q作于G，設(shè)，∵點(diǎn)Q、R分別是等邊和等邊的重心，∴∵，，∴，∴，∴，∴23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意