高等數(shù)學(xué)（第2版）課件：微分方程簡(jiǎn)介

微分方程簡(jiǎn)介二微分方程的基本概念一一階微分方程基本信息微分方程的基本概念一定義含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.微分方程中所含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù).微分方程微分方程的階二引例著名科學(xué)家伽利略當(dāng)年研究落體運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果自由落體在t時(shí)刻下落的距離為x,則加速度x’’(t)是一個(gè)常數(shù)，即有方程則微分方程的解微分方程的通解代入方程使方程成為恒等式.微分方程的解中所含任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù).初始條件用來(lái)確定微分方程通解中的任意常數(shù)的條件.微分方程的特解微分方程的滿足初始條件的解.基本信息一階微分方程1方程形式2方程類型可分離變量的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程對(duì)稱形式基本信息一階微分方程6.2.1可分離變量的微分方程1定義2計(jì)算方法如果一個(gè)方程可以化為方程分離變量后,兩邊同時(shí)積分.復(fù)習(xí)判斷：是否基本信息一階微分方程例1

解:

分離變量得兩端積分得則令得顯然也是方程的解,因此方程的通解為(C為任意常數(shù))

基本信息一階微分方程例2

解:

合并dx及dy的各項(xiàng)得分離變量得兩端積分得則令則方程的通解為(C為正常數(shù))

基本信息一階微分方程例3

解:

分離變量得即兩端積分得整理得通解為即則方程的特解為(C為正常數(shù))

基本信息一階微分方程解：分離變量得兩端積分得練習(xí)1

(C為任意常數(shù))

基本信息一階微分方程解：分離變量得兩端積分得則令方程的通解為練習(xí)2

(C為任意常數(shù))

基本信息一階微分方程6.2.2齊次微分方程1定義形如的微分方程如基本信息一階微分方程令則代入方程得分離變量得兩邊積分得回代得解.2計(jì)算方法變量代換,化為可分離變量方程.基本信息一階微分方程例1

解:

令則方程化為即整理得分離變量得即基本信息一階微分方程積分得令則將回代,得方程的解(C為任意常數(shù))

基本信息一階微分方程解：令則方程化為分離變量得兩邊積分

得回代得方程通解即練習(xí)1

(C為任意常數(shù))

基本信息一階微分方程6.2.3一階線性微分方程1定義形如的微分方程當(dāng)方程變?yōu)橐浑A齊次線性微分方程一階非齊次線性微分方程基本信息2計(jì)算方法(1)一階齊次線性微分方程分離變量積分得解(C為任意常數(shù))

一階微分方程(2)一階非齊次線性微分方程設(shè)為待定函數(shù).則代入得積分得則通解為基本信息一階微分方程齊次線性方程的通解非齊次線性方程的特解注：1非齊次方程解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程的通解=+2非齊次方程解的計(jì)算(1)公式法：需要把方程化為形式(2)常數(shù)變易法：先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，再將常數(shù)變函數(shù).基本信息一階微分方程例1

解:

由公式得(一)基本信息一階微分方程解：(二)對(duì)應(yīng)齊次方程為即分離變量得積分得即令為原方程的解，則代入原方程得即原方程的通解為基本信息一階微分方程例2

移項(xiàng)得解:

非一階線性方程將x看成y的函數(shù)，方程化為其中則基本信息一階微分方程解：由公式得整理得練習(xí)1基本信息一階微分方程解：整理得因此需要把x看做函數(shù)即由公式得練習(xí)2基本信息一階微分方程6.2.4微分方程應(yīng)用舉例例1

(商品存儲(chǔ)過程中的基本衰減模型)設(shè)在冷庫(kù)中存儲(chǔ)的某蔬菜有A

(噸)，已發(fā)現(xiàn)其中有些開始腐敗，其腐敗率為未腐敗的倍設(shè)腐敗的數(shù)量為x(噸)，則顯然它是時(shí)間t的函數(shù)，試求此函數(shù).由題意得解:

分離變量得積分得令則且將初始條件代入得則基本信息一階微分方程例2(價(jià)格調(diào)整模型)商品的價(jià)格變化主要服從市場(chǎng)供求關(guān)系.一般地,商品供求量S是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù)，商品需求量D是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù)，設(shè)函數(shù)的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為其中均為常數(shù)，且一般地,當(dāng)S<D時(shí)，商品價(jià)格要漲；當(dāng)S>D時(shí)，商品價(jià)格要落.假設(shè)t時(shí)刻的價(jià)格P(t)的變化率與超額需求量D-S成正比，即其中假設(shè)初始價(jià)格(1)求供需平衡時(shí)的價(jià)格.(2)求價(jià)格P(t)的表達(dá)式.(3)分析價(jià)格P(t)隨時(shí)間的變化情況.基本信息一階微分方程解：(1)由題意得S(P)=D(P)，即得(2)