高等數(shù)學（第二版）下冊課件：空間解析幾何簡介

多元函數(shù)微分學§6.1空間解析幾何簡介§6.2多元函數(shù)的基本概念§6.3偏導(dǎo)數(shù)§6.4全微分及其應(yīng)用§6.5多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則§6.6二元函數(shù)的極值和最值§6.1空間解析幾何基礎(chǔ)6.1.1空間直角坐標系6.1.2空間兩點間的距離6.1.3空間曲面及其方程6.1.4一些常見的曲面及其方程6.1.1空間直角坐標系1.基本概念豎軸定點橫軸縱軸在空間中取定一點O，過O點作三條相互垂直各軸上再規(guī)定一個共同的長度單位，這就構(gòu)成了一個的數(shù)軸.空間直角坐標系.稱O為坐標原點，稱數(shù)軸為坐標軸，平面.稱由兩坐標軸確定的平面為坐標平面,簡稱三個坐標軸的正方向符合右手系.當右手的四個手指空間直角坐標系豎軸橫軸縱軸定點大拇指的指向就是

軸的正向.即以右手握住軸，度轉(zhuǎn)向軸正向時，從軸正向以角空間直角坐標系共有八個卦限為什么叫做卦限呢？源自《易經(jīng)》，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。面面ⅧⅦ面ⅣⅢⅤⅠⅡⅥ特殊點的表示坐標軸上的點坐標面上的點空間的點有序數(shù)組坐標面：面面面坐標軸：

軸

軸

軸6.1.2空間兩點間的距離設(shè)、為空間兩點,這兩點之間的距離在直角及直角中，使用勾股定理知又故空間兩點間距離公式為：該如何計算？(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得

，故所求的點為.例6.1.1在

軸上求與兩點和

分析因為所求的點在

軸上,所以設(shè)該點坐標為

利用已知條件建立方程求得

值.解設(shè)所求點的坐標為，依題意有,

即等距離的點.6.1.3空間曲面及其方程有如下關(guān)系:F(x,y,z)=0

Sxyzo方程;不滿足方程;定義6.1

空間直角坐標系中,

若曲面

與三元方程(1)曲面

上任一點的坐標都滿足(2)不在曲面

上的點的坐標都那么,方程叫做曲面

的方程,而曲面

就叫做方程

的圖形.所求方程為特殊地：球心在原點時方程為M0

R

M例6.1.2建立球心為點

、解：設(shè)是球面上任一點，半徑為

的球面方程.根據(jù)題意有，即解設(shè)是所求平面上任一點，根據(jù)題意化簡得所求方程有，即例6.1.3已知,求線段

的垂直平分面的方程.在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究,有下列兩個基本問題：(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,建立曲面的方程(討論旋轉(zhuǎn)曲面);(2)已知坐標和間的一個方程時,研究這方程所表示的曲面形狀(討論柱面、二次曲面)．1.平面的一般方程

空間任一個平面方程均可表示為平面通過坐標原點.6.1.4一些常見的曲面及其方程下面是幾種特殊的平面方程：其中

不全為零,上式為平面的一般方程。類似地可討論的情形．平面平行于坐標面;類似地可討論的情形．平面通過

軸平面平行于

軸例6.1.4設(shè)平面與三個坐標軸分別交于點、

、、(其中),求此平面方程．解設(shè)平面方程為,將三點坐標分別代入方程得解得將代入所設(shè)方程,得.注

稱為平面的截距式方程,oyxz其中，分別為

軸，軸，軸上的截距.2.旋轉(zhuǎn)曲面定義6.2以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周

所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.

設(shè)在平面上有一已知曲線,它的方程為.把這曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周,得到一個以軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.有,當曲線繞軸旋轉(zhuǎn)設(shè)為曲線上任一點,則時,點繞軸轉(zhuǎn)到另一點點的坐標滿足以下兩個條件：(1)(2)點到軸的距離將代入,得方程同理,曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為例6.1.5

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.(1)雙曲線分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)：繞軸旋轉(zhuǎn)得繞軸旋轉(zhuǎn)得繞軸旋轉(zhuǎn)得(3)拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)：繞軸旋轉(zhuǎn)得(2)橢圓繞軸和軸旋轉(zhuǎn)：繞軸旋轉(zhuǎn)得CL3.柱面定義6.3

平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面稱為柱面．這條定曲線C叫柱面的準線,動直線L叫柱面的母線．分析

從曲面上點的坐標的特點來分析.例6.1.6方程表示怎樣的曲面？解

在

平面上,

方程表示圓心在原點、半徑為

的圓.在空間直角坐標系中,方程不含豎坐標

,即不論空間中點的豎坐標

怎樣變化,只要和

能滿足方程,那么這些點就在這曲面上.圓柱面,如右圖所示.于是,過面內(nèi)圓上一點且平行于軸的直線一定在表示的曲面上.所以,方程表示的曲面上的圓移動而成的面是由平行于軸的直線沿準線為一般地,只含而缺的方程,在空間直角坐標系中表示面上的曲線.母線平行于軸的柱面,其準線是面叫做拋物柱面.方程

表示母線平行于例如，方程表示母線平行于

軸的柱面,它的準線是面上的拋物線

,該柱軸的橢圓柱面;

表示母線平行于軸的雙曲柱面.類似地,只含而缺的方程和只于軸和軸的柱面.含而缺的方程分別表示母線平行(1)橢球面橢球面的幾種特殊情況：4.二次曲面由橢圓

繞

軸旋轉(zhuǎn)而成．

時,為旋轉(zhuǎn)橢球面

時,為球面

.(2)拋物面