高等數(shù)學（經(jīng)濟類-上冊第2版）課件：導數(shù)在經(jīng)濟中的應(yīng)用

導數(shù)、微分1導數(shù)在經(jīng)濟中的應(yīng)用三、彈性四、經(jīng)濟學中常見的彈性函數(shù)五、小結(jié)2一、邊際二、經(jīng)濟學中常見的邊際函數(shù)一、邊際33定義1設(shè)經(jīng)濟函數(shù)在點處可導，則稱導數(shù)稱為在點的為的邊際函數(shù)，簡稱邊際，邊際函數(shù)值.則對于經(jīng)濟函數(shù)，通常是一個比較大的量，相對地，就可以看作是一個較小的量，由函數(shù)可微的性質(zhì)，（當很小時）上式說明在點處，因變量近似改變個單位當自變量再產(chǎn)生一個單位的改變時，邊際的經(jīng)濟學意義當時，再改變（增加或減少）一個4利用導數(shù)研究經(jīng)濟變量的邊際變化的方法，即為邊際分析法例1設(shè)函數(shù)，試求在時的邊際函數(shù)值.解：由于，故即在時的邊際函數(shù)值為.該值表明，單位，改變（增加或減少）27個單位.近似注

在應(yīng)用問題中解釋邊際函數(shù)值的具體意義時往往略去“近似”二字．當生產(chǎn)件產(chǎn)品時，再生產(chǎn)一件產(chǎn)品所增加的總成本.5二、經(jīng)濟學中常見的邊際函數(shù)1、邊際成本總成本函數(shù)的導數(shù)稱為邊際成本，經(jīng)濟學意義：記為若邊際成本小于平均成本，則應(yīng)考慮增加產(chǎn)量以降低單件產(chǎn)品的成本；若邊際成本大于平均成本，則應(yīng)考慮減少產(chǎn)量以降低單件產(chǎn)品的成本.設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為，求6例2(3)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟意義.(2)生產(chǎn)1000件到1100件時的總成本的平均變化率；(1)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時的總成本和平均成本；解：（1）生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時的總成本為平均成本為(2)生產(chǎn)1000件到1100件時的總成本的平均變化率7設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為，求例2(3)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟意義.(2)生產(chǎn)1000件到1100件時的總成本的平均變化率；(1)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時的總成本和平均成本；解：(3)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品的邊際成本為它表示生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時，再增產(chǎn)(或減產(chǎn))一件,需增加（或減少）成本4000個單位.本題中邊際成本大于平均成本，故可以減少產(chǎn)量以降低單件產(chǎn)品的成本.設(shè)為價格，且為銷售量的函數(shù)，82、邊際收益當銷售件產(chǎn)品時，再銷售一件產(chǎn)品所增加的總收益.總收益函數(shù)的導數(shù)稱為邊際收益，經(jīng)濟學意義：記為從而，邊際收益為那么，即其中為價格，設(shè)某產(chǎn)品需求函數(shù)為9例3為銷售量.并求銷售量從10件增加到16件時收益的平均變化率.求銷量為10件時的總收益、平均收益與邊際收益.解：平均收益銷量為10件時的總收益總收益10當銷售量從10件增加到16件時，收益的平均變化率為其中為價格，為銷售量.設(shè)某產(chǎn)品需求函數(shù)為例3并求銷售量從10件增加到16件時收益的平均變化率.求銷量為10件時的總收益、平均收益與邊際收益.解：邊際收益113、邊際利潤當生產(chǎn)件產(chǎn)品時，再生產(chǎn)一件產(chǎn)品所增加的總利潤.總利潤函數(shù)的導數(shù)稱為邊際收益，經(jīng)濟學意義：記為由總利潤、總成本、總收益的關(guān)系當時，可得邊際利潤為這表明當生產(chǎn)了件產(chǎn)品時，再生產(chǎn)一件產(chǎn)品，增加的收益大于增加的成本，即12當時，這表明當生產(chǎn)了件產(chǎn)品時，再生產(chǎn)一件產(chǎn)品，增加的收益小于增加的成本，即例4設(shè)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總利潤與產(chǎn)量的關(guān)系為試確定工廠的最佳產(chǎn)量，并給出經(jīng)濟學解釋.解：邊際利潤為當時，這表明若產(chǎn)量在個單位以上時，總利潤不會增加，反而會減少，因此，產(chǎn)量不要超過個單位.并非產(chǎn)量越高，利潤越高13三、彈性絕對改變量和絕對變化率邊際——相對改變量和相對變化率定義2設(shè)經(jīng)濟函數(shù)在點處可導，當自變量分別為自變量的相對改變量和函數(shù)值的相對改變量.的增量為時函數(shù)值的增量為，稱與而稱為函數(shù)從到兩點間的平均相對變化率.兩點間彈性弧彈性彈性——14稱為在點的瞬間相對變化率，亦稱為在點的點彈性.記作或或即若對區(qū)間上的任何點都存在點彈性，的一個函數(shù)則確定了這一區(qū)間上——彈性函數(shù)，簡稱彈性，記作或15即在經(jīng)濟分析中，會經(jīng)常用到彈性分析法，彈性反映了經(jīng)濟自變量改變時函函數(shù)對自變量的變化反應(yīng)的強烈程度或靈敏度，與變量所取得的單位無關(guān)，其經(jīng)濟學意義為當自變量改變了時，函數(shù)值（近似地）改變了.例5求冪函數(shù)（為常數(shù)）的彈性函數(shù).解：冪函數(shù)的彈性為常數(shù)，稱為不變彈性函數(shù).值變化幅度的大小，即16四、經(jīng)濟學中常見的彈性函數(shù)1、需求彈性需求函數(shù)的彈性函數(shù)稱為需求彈性，即由于需求函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，為了討論的方便，經(jīng)常取其絕對值，故與異號，根據(jù)極限保號性，可知需求彈性為負.并記為，仍稱之為需求彈性，即17按照彈性值的大小，需求彈性的經(jīng)濟學意義為當價格上漲（下跌）1%，需求量將減少（增加）.當時，表明商品需求量變動的百分比等于價格變動的百分比，稱為單位彈性；當時，表明商品需求量變動的百分比低于價格變動的百分比，稱為低彈性，當時，表明商品需求量變動的百分比高于價格變動的百分比，稱為高彈性，價格變動對需求量影響小；價格變動對需求量影響大.需求量的變動與價格的變動按相同的百分比進行.18設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為例6其中為價格，為需求量.討論價格變化時，商品需求量變化的情況.解：即，價格上漲（下跌）1%，需求量將減少（增加）1%，當，也就是時，說明需求量減少（增加）的百分比低于價格上漲（下跌）的百分比.即，價格上漲（下跌）1%，需求量將減少（增加），當，也就是時，19設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為例6其中為價格，為需求量.討論價格變化時，商品需求量變化的情況.即，價格上漲（下跌）1%，需求量將減少（增加），當，也就是時，解：需求量減少（增加）的百分比高于價格上漲（下跌）的百分比.2、收益彈性假設(shè)需求函數(shù)為其中為價格，為銷售量.總收益為從而20收益函數(shù)的彈性函數(shù)——收益彈性，即為收益彈性與需求彈性的關(guān)系這說明低彈時提價會使總收益增加，價格上漲（下跌）1%，總收益將增加（減少）.當時，降價會使總收益減少.當時，這說明提價或降價對總收益的影響不大.當時，則.令，21這說明高彈時降價會使總收益增加價格上漲（下跌）1%，總收益將減少（增加）.使總收益減少.（即薄利多銷），提價會設(shè)某商品的需求函數(shù)為例7其中為價格，為需求量.請你通過分析其需求彈性,從收益角度對該商品進行定價.解：需求彈性為當時，即在這一范圍內(nèi)該商品為低彈性，由需求彈性與收益彈性的關(guān)系，價格上漲（下跌）1%，總收益將減少（增價格上漲（下跌）1%，總收益將增加（減22少）.經(jīng)濟學意義：可以提價使總收益增加.當時，即在這一范圍內(nèi)該商品為高彈性，由需求彈性與收益彈性的關(guān)系，加）.經(jīng)濟學意義：可以降價使總收益增加.由上述分析，可知為最優(yōu)價格.故與233、供給彈性供給函數(shù)的彈性函數(shù)稱為供給彈性，根據(jù)經(jīng)濟學理論，供給函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，也稱為供給的價格彈性，即同號.可知供給彈性為正.再由極限保號性，24設(shè)某產(chǎn)品的供給函數(shù)為例8其中為價格，求供給的價格彈性及當時的供給彈性，并給出經(jīng)濟學意義.解：供給的價格彈性這表明，