高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-上冊(cè)第2版）課件：定積分的應(yīng)用

定積分的應(yīng)用定積分的元素法一、元素法二、小結(jié)

比如求曲邊梯形面積A時(shí)，將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，對(duì)應(yīng)得到n個(gè)小曲邊梯形，在每個(gè)小區(qū)間上作近似，然后再對(duì)這個(gè)近似值求和取極限，便得到定積分，

在研究曲邊梯形的面積計(jì)算、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和價(jià)格變化時(shí)的收益問題時(shí)，我們都采用：分割、近似、求和、取極限的方法解決.回顧：

它就是曲邊梯形的面積.一、元素法

可以看出，實(shí)際問題中所求量(面積A)與區(qū)間[a,b]有關(guān).當(dāng)把區(qū)間[a,b]分成若干小區(qū)間后，在[a,b]上的所求量(面積A)等于各個(gè)子區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的部分量

之和.此時(shí)，稱所求量(面積A)對(duì)區(qū)間[a,b]具有可加性.近似代替部分量四步中關(guān)鍵的一步是“近似”：在每一個(gè)小區(qū)間上用常量代替變量，以對(duì)它求和再取極限，即得到一個(gè)定積分.在實(shí)際應(yīng)用中，為了討論簡(jiǎn)便，對(duì)上述步驟簡(jiǎn)化.省略下標(biāo)i,任一小區(qū)間[x,x+dx]上小曲邊梯形的面積記為則取小區(qū)間[x,x+dx]中左端點(diǎn)x處函數(shù)值f(x)為高，以dx為底的的矩形的面積f(x)dx作為的近似值，記為dA，即稱為面積元素（微元），于是因此這種方法稱為元素法(微元法).把A在[x,x+dx]上相應(yīng)的dA稱為A的元素或微元.利用元素法將所求量Q表示為定積分，具體的步驟如下：(1)確定所求量Q可看作是哪個(gè)變量的函數(shù)，如記為x,確定x的取值區(qū)間[a,b]，即為定積分的積分區(qū)間；(3)以所求量Q的元素dQ作為被積表達(dá)式，在區(qū)間[a,b]上作定積分，即為所求量Q的定積分表達(dá)式.(2)在區(qū)間[a,b]上任取一點(diǎn)x，在區(qū)間上求出相應(yīng)于這個(gè)區(qū)間的部分量

的近似值，作為所求量Q的元素，記為得到二、小結(jié)理解元素法的提出、思想、步驟和本質(zhì).定積分的應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用一、平面圖形的面積二、平行截面面積已知的立體的體積三、旋轉(zhuǎn)體的體積四、小結(jié)一、平面圖形的面積若f(x)是區(qū)間[a,b]上連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，則曲線f(x)，x=a,x=b及x軸所圍圖形的面積為1、直角坐標(biāo)情形若連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有正有負(fù)，則所圍面積為若f(x)和g(x)是區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)，且曲線f(x),

g(x)x=a,x=b及x軸所圍圖形的面積可由元素法計(jì)算.則

任取小區(qū)間[x,x+dx]，小區(qū)間所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)條面積近似等于高為f(x)-g(x)，寬為dx的小矩形的面積，即為面積元素選取x為變量，變化區(qū)間為[a,b].把面積表示為定積分可寫為

在實(shí)際計(jì)算中，如果不能準(zhǔn)確判定出f(x)和g(x)的大小，面積可表示為特點(diǎn)：上減下.若選擇y為積分變量，計(jì)算方法與公式與上述類似.設(shè)平面區(qū)域是由連續(xù)曲線

所圍.x=c,x=d及y軸則其面積元素為小矩形的面積，即把面積表示為定積分為特點(diǎn)：右減左.例1求由拋物線所圍成平面圖形的面積.解：先求兩條拋物線的交點(diǎn)，解方程組得交點(diǎn)：選取x為積分變量，變化區(qū)間為[-1,1],面積元素為則所圍圖形面積為例2求由直線拋物線所圍圖形的面積.解：直線和拋物線的交點(diǎn)為選取y為積分變量，變化區(qū)間為[-2,1],面積元素為則所圍圖形面積為例2求由直線拋物線所圍圖形的面積.解：若選取x為積分變量，變化區(qū)間為[-1,3],需要用直線x=0將圖形分成兩部分.在區(qū)間[-1,0]和[0,3]上的面積元素分別為則所圍圖形面積為在計(jì)算中要選擇合適的變量，避免復(fù)雜！例3求擺線的一擺與軸所圍圖形的面積.解：由面積計(jì)算公式，顯然有所圍圖形的面積為應(yīng)用定積分的換元法，令則并且當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，所以2、極坐標(biāo)系下面積的計(jì)算極坐標(biāo)系下的連續(xù)曲線與兩條射線所圍成的圖形稱為曲邊扇形，求曲邊扇形的面積.取極角為積分變量，變化區(qū)間為任取小區(qū)間極角為的小曲邊扇形的面積近似等于半徑為中心角為的扇形的面積，從而得曲邊扇形的面積元素為曲邊扇形的面積表示為定積分為例4計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解：圖形關(guān)于極軸對(duì)稱,我們只需在

上考慮.的變化區(qū)間為任取一小區(qū)間面積元素為從而面積為二、平行截面面積已知的立體的體積

設(shè)有一立體過點(diǎn)x=a,x=b且垂直于x軸的兩個(gè)平面之間，A(x)為區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x所做的垂直于x軸的平面截立體所得截面的面積，求該立體的體積.選取x為變量，變化區(qū)間為[a,b],任取小區(qū)間對(duì)應(yīng)小薄片的體積近似等于底面積為A(x)，高為dx的小圓柱體的體積，即體積元素為因此立體體積為例5一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交

成角

，計(jì)算這平面截圓柱體所得的體積.解：建立坐標(biāo)系如圖所示.底圓方程為選取x為變量，變化區(qū)間為[-R,R],任取小區(qū)間[x,x+dx]，過x點(diǎn)處做x軸的垂面，與立體的截面為直角三角形.直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為y和因而截面面積為立體體積則為三、旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．

常見的圓錐體、圓臺(tái)、圓柱體、球、橢球等都可以看成是由平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而得.

設(shè)有一旋轉(zhuǎn)體是由曲線直線x=a,x=b

及x軸所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，求旋轉(zhuǎn)體的體積.選取x為變量，變化區(qū)間為[a,b],任取小區(qū)間[x,x+dx]，過x點(diǎn)作垂直于x軸的平面截旋轉(zhuǎn)體，截面是一個(gè)以x為中心，x點(diǎn)處函數(shù)值f(x)(f(x)>0)為半徑的一個(gè)圓，截面面積為體積元素為旋轉(zhuǎn)體的體積為若有一旋轉(zhuǎn)體是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成，求旋轉(zhuǎn)體的體積.選取y為變量，變化區(qū)間為[c,d],與繞x軸時(shí)類似，旋轉(zhuǎn)體體積為與前面類似，我們也可以得到下面兩種情況下旋轉(zhuǎn)體的體積.y=f(x)和y=g(x)及x=a,x=b繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

x=a,x=b繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積及x軸所圍的三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周例6求直線構(gòu)成的圓錐體的體積.解：選取x為變量，變化區(qū)間為[0,h],任取小區(qū)間[x,x+dx]，對(duì)應(yīng)的小薄片的體積近似等于小圓柱體的體積，體積元素為則圓錐體體積為例7求由曲線直線所圍圖形繞(1)x軸；(2)y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：(1)直接利用體積公式，有例7求由曲線直線所圍圖形繞(1)x軸；(2)y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：利用旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算公式，有(2)將曲線分成兩段:當(dāng)當(dāng)例7求由曲線直線所圍圖形繞(1)x軸；(2)y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：利用旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算公式，有當(dāng)當(dāng)其中故有(2)將曲線分成兩段:例8計(jì)算由橢圓所圍成圖形繞(1)x軸；(2)y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：(1)上半橢圓方程為由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，有例8計(jì)算由橢圓所圍成圖形繞(1)x軸；(2)y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：(2)右半橢圓方程為由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，有例9設(shè)直線與直線x=0,x=1及y=0所圍梯形面積等于S，試求a,b使得此梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解：由面積計(jì)算公式有

故有

得由旋轉(zhuǎn)體計(jì)算公式有令得a=0,則b=S.又點(diǎn)，故當(dāng)a=0,則b=S時(shí)，旋轉(zhuǎn)體體積V取最小值.因此a=0為極小值例10證明：由平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為證明：將旋轉(zhuǎn)體分成很多很薄的柱殼，利用定積分將這些柱殼累加起來，即可得到旋轉(zhuǎn)體的體積.選x為變量，變化區(qū)間[a,b]任取小區(qū)間[x,x+dx]，對(duì)應(yīng)的窄曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體為一層柱殼，體積為即為體積元素故有旋轉(zhuǎn)體體積公式，有忽略了高階無窮小.注：(1)平面圖形是繞y軸旋轉(zhuǎn)，但體積公式是以x為積分變量，這樣做有時(shí)會(huì)給計(jì)算帶來極大的便利；(2)在計(jì)算中，將旋轉(zhuǎn)體的體積看成是柱殼體積的累加，體積元素為任一層柱殼的體積，此方法稱為柱殼法.若利用柱殼法計(jì)算很方便：如例7中求由曲線直線所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.四、小結(jié)1.平面圖形的面積2.平行截面面積已知的立體的體積3.旋轉(zhuǎn)體的體積定積分的應(yīng)用定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用一、由邊際函數(shù)求經(jīng)濟(jì)函數(shù)二、資金流的現(xiàn)值和將來值問題三、小結(jié)一、由邊際函數(shù)求經(jīng)濟(jì)函數(shù)以上經(jīng)濟(jì)函數(shù)可由邊際函數(shù)的積分表示，有成本函數(shù)C(Q)收益函數(shù)R(Q)利潤(rùn)函數(shù)函數(shù)L(Q)=R(Q)-C(Q)邊際成本函數(shù)邊際收益函數(shù)邊際利潤(rùn)函數(shù)Q為產(chǎn)量或銷量.收益函數(shù):利潤(rùn)函數(shù):成本函數(shù):為固定成本例1設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為200，當(dāng)產(chǎn)量為Q時(shí)的邊際成本為求總成本函數(shù).解：總成本函數(shù)為例2已知邊際收益為求收益函數(shù)R(x).解：例3已知某商品的固定成本為10，邊際成本函數(shù)和邊際收益函數(shù)本別為試確定銷量為多少時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解：利用定積分計(jì)算可得利潤(rùn)函數(shù)為例3已知某商品的固定成本為10，邊際成本函數(shù)和邊際收益函數(shù)本別為試確定銷量為多少時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解：所以當(dāng)Q=10時(shí)取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為令即得當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)取極大值，而二、資金流的現(xiàn)值和將來值問題資金流：就是資金的流進(jìn)流出不斷地發(fā)生，是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù).現(xiàn)值：是指資金的現(xiàn)在價(jià)值，即將來某一時(shí)點(diǎn)的一定資金折合成現(xiàn)在的價(jià)值。將來值：是指資金未來的價(jià)值，即一定量的資金在將來某一時(shí)點(diǎn)的價(jià)值，表現(xiàn)為本利和.資金流的現(xiàn)值和將來值等概念，都是經(jīng)濟(jì)學(xué)中重要的內(nèi)容.在前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)利和連續(xù)復(fù)利.若以連續(xù)復(fù)利r計(jì)息，單筆P元人民幣從現(xiàn)在起存入銀行，t年末的價(jià)值(將來值)為反過來，若t年末得到B元人民幣，則現(xiàn)在需要存入銀行的金額(現(xiàn)值)為在實(shí)際中，資金流是變化的.我們將資金流看作是連續(xù)的.假設(shè)在t時(shí)刻資金流的變化率為f(t).顯然，資金流不能直接用變化率乘以時(shí)間.解決思路：利用分割、近似、求和、取極限(元素法)，任取小時(shí)間區(qū)間，把小區(qū)間里的資金流變化率近似看成定值.資金流近似等于f(t)dt，這一金額是從現(xiàn)在(t=0)到t年后所得，在時(shí)間段[0,T]上，任取一小區(qū)間[t,t+dt]，在此小區(qū)間上的當(dāng)利率為r時(shí)，資金流的現(xiàn)值為所以在時(shí)間段[0,T]上，資金流總和的現(xiàn)值為