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文檔簡介

可降階的二階微分方程

.9.5.1型微分方程

9.5.2型微分方程9.5.3型微分方程

9.5.1型微分方程

形如微分方程

的特點是方程右端僅含有自變量x．即兩端連續(xù)積分兩次，便得到方程的通解.兩端積分一次方程解法：方程可以看成的一階微分方程兩端再積分一次注：這種逐次積分的方法，也可以求解更高階的微分方程，兩端同時積分n次，即可得方程的通解.例9.5.1求方程的通解.解：對所給微分方程連續(xù)積分兩次,得上式即為所求通解.例9.5.2求方程的通解及滿足條件的特解.解：對所給微分方程連續(xù)積分三次得:將代入后可得出于是所求特解為

9.5.2型微分方程

形如微分方程方程特點是方程右端不顯含y，是自變量x和未知函數(shù)的函數(shù)．將原方程化為關(guān)于p的一階方程

，求出該方程通解為根據(jù)關(guān)系式，得到一個一階微分方程對它積分一次即可得出原方程的通解：方程解法：令，則例9.5.3求方程的通解.解：令，則.原方程化為一階方程分離變量得兩邊積分得:再積分一次即得原方程的通解為注:在解題過程中曾以作為除數(shù)，而由得到的解（任意常數(shù)）已包含在通解中（）.例9.5.4求解微分方程的初值問題.

解：將可得出于是所求初值問題的解為令代入方程并分離變量后有兩端積分得即兩端再積分得方程的通解：

9.5.3型微分方程

形如微分方程方程特點是方程右端不顯含x，是未知函數(shù)y和未知函數(shù)的函數(shù)．這樣就將原方程化為關(guān)于的一階方程求出該方程的通解為這是可分離變量的方程，對其積分即得到原方程的通解方程解法：把暫時看作自變量，并作變換，于是，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有，則例9.5.5求方程的通解.解：令，則.原方程化為分離變量得.兩邊積分得：再由，解得．

在分離變量時以除方程兩邊．若，或，得，它顯然是原方程的解，已包含在通解中（如果能?。?還要說明一點的是，上面用到的常數(shù)能取中的任何值，所以是任意常數(shù)．綜上所述，所求的通解為(為任意常數(shù)）.例9.5.6求解微分方程滿足初始條件的特解.

解：令，則代入方程并化簡得上式為可分離變量的一階微分方程，解得再分離變量,得由初始條件得出從而得再兩邊積分,得或由得出從而所求特解為*例9.5.7求方程的通解.

解：令，則代入方程并化簡得即或若，即，方程的通解為．對于，變形為這是一個非齊次線性微分

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