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2025屆云南省綠春縣高級(jí)中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為()A. B. C. D.2.陀螺是中國(guó)民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個(gè)名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,粗線畫出的是一個(gè)陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為()A. B.C. D.3.三棱柱中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.4.已知集合,則等于()A. B. C. D.5.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則等于()A.3 B.C.2 D.6.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.67.設(shè)復(fù)數(shù)z=,則|z|=()A. B. C. D.8.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.9.已知分別為圓與的直徑,則的取值范圍為()A. B. C. D.10.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣8511.已知函數(shù),若對(duì)任意,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.tan570°=()A. B.- C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?,則區(qū)域的外接圓的面積為______.14.從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為__________.15.成都市某次高三統(tǒng)考,成績(jī)X經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析,近似服從正態(tài)分布,且,若該市有人參考,則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績(jī)大于分的人數(shù)為_____.16.已知實(shí)數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為,已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:.18.(12分)已知數(shù)列中,a1=1,其前n項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,若數(shù)列為遞增數(shù)列,求λ的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù),不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)若,,,求證:.20.(12分)[選修4-5:不等式選講]:已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)設(shè),,且的最小值為.若,求的最小值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線與曲線的普通方程,并求出直線的傾斜角;(2)記直線與軸的交點(diǎn)為是曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)的最大距離.22.(10分)如圖,三棱錐中,,,,,.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐,且是有三條棱互相垂直的三棱錐,根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積.【詳解】解:分析題意可知,如下圖所示,該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐,最大面的表面邊長(zhǎng)為的等邊三角形,故其面積為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體,從而解決問題.2、C【解析】
根據(jù)三視圖可知,該幾何體是由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成,由此計(jì)算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長(zhǎng)為,底面周長(zhǎng)為,側(cè)面積為,下面圓錐的母線長(zhǎng)為,底面周長(zhǎng)為,側(cè)面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為,故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
設(shè),,,根據(jù)向量線性運(yùn)算法則可表示出和;分別求解出和,,根據(jù)向量夾角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為1,,,由題意得:,,,又即異面直線與所成角的余弦值為:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解,關(guān)鍵是能夠通過向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的求解問題.4、C【解析】
先化簡(jiǎn)集合A,再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)?,,所?故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),從而求得,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】,所以,,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題目.6、C【解析】
根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào).
答案:C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,“1”的應(yīng)用,利用基本不等式求最值時(shí),一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。蝗嗟仁亲詈笠欢ㄒ?yàn)證等號(hào)能否成立,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn),然后用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng).【詳解】解:z====﹣﹣,則|z|====.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意得圓心為,的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,,又,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,化簡(jiǎn)整理得,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,建立方程組,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
由題先畫出基本圖形,結(jié)合向量加法和點(diǎn)乘運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,結(jié)合的范圍即可求解【詳解】如圖,其中,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題10、D【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過解該方程求得它們的值,求首項(xiàng)和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
先將所求問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點(diǎn)作函數(shù)的切線,設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.12、A【解析】
直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先作可行域,根據(jù)解三角形得外接圓半徑,最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【詳解】由題意作出區(qū)域,如圖中陰影部分所示,易知,故,又,設(shè)的外接圓的半徑為,則由正弦定理得,即,故所求外接圓的面積為.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.14、【解析】
基本事件總數(shù),抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種,由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率.【詳解】從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,基本事件總數(shù),抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種,分別為:,,,,,,,,,,則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意辨別概率的模型.15、.【解析】
根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì),結(jié)合求得,即可得解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布,且,所以故該市有人參考,則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績(jī)大于分的人數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解辨析,根據(jù)曲線的對(duì)稱性求解概率,根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績(jī)大于114的人數(shù).16、2【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式:2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y,即x=328故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角換元求得答案.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)由已知可得,構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)時(shí),由,可求,時(shí),由,可證,驗(yàn)證時(shí),不等式也成立,即可得證.【詳解】(1)由可得,,即,所以,解得,(2)當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,綜上,由可得遞增,,時(shí);所以,綜上:故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式,利用放縮法證明不等式,涉及等比數(shù)列的求和公式,屬于難題.18、(1)(2)【解析】
(1)項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得,繼而得到,可得解;(2)代入可得,由數(shù)列為遞增數(shù)列可得,,令,可證明為遞增數(shù)列,即,即得解【詳解】(1)∵,∴,∴,即,∴,∴,∴.(2).=2·-λ(2n+1).∵數(shù)列為遞增數(shù)列,∴,即.令,即.∴為遞增數(shù)列,∴,即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列綜合問題,考查了項(xiàng)和轉(zhuǎn)換,數(shù)列的單調(diào)性,最值等知識(shí)點(diǎn),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.19、(1),.(2)見解析【解析】
(1)分三種情況討論即可(2)將,的值代入,然后利用均值定理即可.【詳解】解:(1)不等式可化為.即有或或.解得,或或.所以不等式的解集為,故,.(2)由(1)知,,即,由,得,,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號(hào)成立.故,即.【點(diǎn)睛】考查絕對(duì)值不等式的解法以及用均值定理證明不等式,中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,原不等式可化為,分類討論即可求得不等式的解集;(2)由題意得,的最小值為,所以,由,得,利用基本不等式即可求解其最小值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,原不等式可化為,①當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí),綜上,原不等式的解集為.(2)由題意得,,因?yàn)榈淖钚≈禐椋?,由,得,所以,?dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式問題,對(duì)于含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.21、(1),,直線的傾斜角為(2)【解析】
(1)由公式消去參數(shù)得普通方程,由公式可得直角坐標(biāo)方程后可得傾斜角;(2)求出直線與軸交點(diǎn),用參數(shù)表示點(diǎn)坐標(biāo),求出,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.【詳解】(1)由,消去得的普通方程是:由,得,將代入上式,化簡(jiǎn)得直線的傾斜角為(2)在曲線上任取一點(diǎn),直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,屬于基礎(chǔ)題.求兩點(diǎn)間距離的最值時(shí),用參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)可把問題轉(zhuǎn)化為三角函
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