山西省范亭中學(xué)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

山西省范亭中學(xué)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．年某省將實(shí)行“”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒(méi)有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．25 B．32 C．35 D．403．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．4．的展開(kāi)式中的系數(shù)是-10，則實(shí)數(shù)()A．2 B．1 C．-1 D．-25．“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)7．如下的程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（）A．16 B．18 C．20 D．158．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．《周易》歷來(lái)被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬(wàn)事萬(wàn)物的深刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語(yǔ)解釋為：把陽(yáng)爻“-”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“--”當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類(lèi)推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)“”表示的十進(jìn)制數(shù)是（）A．18 B．17 C．16 D．1510．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．11．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則A． B．C． D．12．正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，設(shè)直線和分別與直線交于，兩點(diǎn)，若與的面積相等，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____.14．已知函數(shù)，在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則使得≥0的概率為．15．已知函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為_(kāi)_______.16．設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點(diǎn)，滿足，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.（1）求證：平面平面；（2）能否在線段上找到一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知，若，，，求的面積.20．（12分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，都垂直于平面，且，，是線段上一動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)平面，求的值；（2）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求四面體的體積.21．（12分）在中，、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，已知，，.（1）求；（2）設(shè)為中點(diǎn)，求的長(zhǎng).22．（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若函數(shù)最小值為，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B．2、C【解析】

設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程，求出通項(xiàng)公式，從而求得．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，∴，即有．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于容易題．3、D【解析】

根據(jù)，利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因?yàn)樵?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，4、C【解析】

利用通項(xiàng)公式找到的系數(shù)，令其等于-10即可.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，則，所以，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.5、B【解析】

先求出滿足的值，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ)．解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷．6、C【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為cm，得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，得到不等式，計(jì)算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為cm的正面體，易求正四面體相對(duì)棱的距離為cm，每裝兩個(gè)球稱(chēng)為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個(gè)球．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱和球的綜合問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.7、A【解析】

根據(jù)題意可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a，b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù)，按流程圖計(jì)算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16，故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.8、B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為，求出，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由題意可知“屯”卦符號(hào)“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001，將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.【詳解】由題意類(lèi)推，可知六十四卦中的“屯”卦符號(hào)“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×20+1×24=1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化，新定義知識(shí)的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、B【解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對(duì)取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.【詳解】對(duì)命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用，識(shí)記真值表，屬基礎(chǔ)題.11、B【解析】

因?yàn)?，所以，故選B．12、C【解析】

取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)幾何法求異面直線的夾角，考查計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形面積相等得出兩個(gè)三角形的邊之間的比例關(guān)系，這個(gè)比例關(guān)系又可用線段上點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，從而可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程得縱坐標(biāo)，然后可得．【詳解】如圖，設(shè)，，，由，得，由得，∴，解得，又在橢圓上，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相交問(wèn)題，解題時(shí)由三角形面積相等得出線段長(zhǎng)的比例關(guān)系，解題是由把線段長(zhǎng)的比例關(guān)系用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示．14、【解析】試題分析：可以得出，所以在區(qū)間上使的范圍為，所以使得≥0的概率為考點(diǎn)：本小題主要考查與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的概率計(jì)算.點(diǎn)評(píng)：幾何概型適用于解決一切均勻分布的問(wèn)題，包括“長(zhǎng)度”、“角度”、“面積”、“體積”等，但要注意求概率時(shí)做比的上下“測(cè)度”要一致.15、【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，即為所求斜率.【詳解】，，解得：，即在處的切線斜率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查切線斜率的求解問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

根據(jù)為定義在上的偶函數(shù)，得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）求解.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的值為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用含有一個(gè)絕對(duì)值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）對(duì)分成和兩類(lèi)，利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，將表示為分段函數(shù)的形式，求得的最小值，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由得由得解：，得∴當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式的解集為（2）①當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以，由題設(shè)得，解得.②當(dāng)時(shí)，同理求得.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有一個(gè)絕對(duì)值不等式的求法，考查利用零點(diǎn)分段法解含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式，屬于中檔題.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.【解析】

（1）在直角梯形中，根據(jù)，，得為等邊三角形，再由余弦定理求得，滿足，得到，再根據(jù)平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系：假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為，且，，求得平面的一個(gè)法向量，再利用線面角公式求解.【詳解】（1）證明：在直角梯形中，，，因此為等邊三角形，從而，又，由余弦定理得：，∴，即，且折疊后與位置關(guān)系不變，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，從而，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，則，假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為，且，，∵，∴，故，∴，又，該平面的法向量為，，令得，∴，解得或（舍），綜上可知，存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和向量法研究線面角問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由求得，由得出或，分兩種情況討論，結(jié)合余弦定理解三角形，進(jìn)行利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為，由得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由，得，或，或，，，又，，即.①當(dāng)時(shí)，即，則由，，得，則，此時(shí)，的面積為；②當(dāng)時(shí)，則，即，則由，解得，，.綜上，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解，同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算，涉及余弦定理解三角形的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）.（2）【解析】

（1）利用線面垂直的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，利用相似三角形的性質(zhì)，得出，從而得出的值；（2）利用線面垂直的判定定理得出平面，進(jìn)而得出四面體的體積，計(jì)算出，，即可得出四面體的體積.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以又因?yàn)?，都垂直于平面，所以又，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，且，所以.（2）因?yàn)?，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，所以又因?yàn)?，都垂直于平面，平面，所以因?yàn)槠矫?，所以平面所以，四面體的體積，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，結(jié)合正弦定理求出；（2）結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論以及余弦定理即可求解．【詳解】解：（1）∵，且，∴，