吉林省敦化縣2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

吉林省敦化縣2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（）A． B． C． D．2．的展開式中，項的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．633．已知實數(shù)滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且，若，則（）A．0 B．1 C．673 D．6745．如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．6．設(shè)直線過點，且與圓：相切于點，那么（）A． B．3 C． D．17．復(fù)數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知是過拋物線焦點的弦，是原點，則（）A．－2 B．－4 C．3 D．－39．為虛數(shù)單位,則的虛部為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有（）①繞著軸上一點旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.A．①③ B．③④ C．②③ D．②④11．以下三個命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大；其中真命題的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．012．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，，，則，，滿足（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是________．14．已知，則_____.15．已知向量，，若滿足，且方向相同，則__________．16．已知三棱錐，，是邊長為4的正三角形，，分別是、的中點，為棱上一動點（點除外），，若異面直線與所成的角為，且，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)，且曲線在處的切線方程為.（1）求的極值點與極值.（2）當(dāng)，時，證明：.20．（12分）三棱柱中，平面平面，，點為棱的中點，點為線段上的動點.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求二面角的正切值.21．（12分）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若在R上單調(diào)遞增，求正數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；（3）當(dāng)時，證明：對于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點（注：當(dāng)時，直線與曲線的交點在y軸兩側(cè)）.22．（10分）已知橢圓：（），與軸負半軸交于，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點，連接，并延長交直線于，兩點，已知，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先求出集合N的補集，再求出集合M與的交集，即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由，，可得或，又所以.故選：D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補集的運算，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)二項式展開式的通項公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出，則出，該項為：；②出，則出，該項為：；③出，則出，該項為：；綜上所述：合并后的項的系數(shù)為17.故選：B【點睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識，考查理解能力，計算能力，分類討論和應(yīng)用意識.3、B【解析】

作出約束條件的可行域，在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值，作，平移直線即可求解.【詳解】作出實數(shù)滿足不等式組的可行域，如圖（陰影部分）令，則，作出，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，截距最小，故，即的最小值為.故選：B【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由題知為奇函數(shù)，且可得函數(shù)的周期為3，分別求出知函數(shù)在一個周期內(nèi)的和是0，利用函數(shù)周期性對所求式子進行化簡可得.【詳解】因為為奇函數(shù)，故；因為，故，可知函數(shù)的周期為3；在中，令，故，故函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和為0，故.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．5、B【解析】

根據(jù)已知證明平面，只要設(shè)，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值．【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形.又因為平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，，設(shè)，則，所以，所以.又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以.故選：B．【點睛】本題考查求棱錐體積的最大值．解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長為，用建立體積與邊長的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值．6、B【解析】

過點的直線與圓：相切于點，可得.因此，即可得出.【詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點的直線與圓：相切于點，∴；∴；故選：B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】所對應(yīng)的點為（-1，-2）位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.8、D【解析】

設(shè)，，設(shè)：，聯(lián)立方程得到，計算得到答案.【詳解】設(shè)，，故.易知直線斜率不為，設(shè)：，聯(lián)立方程，得到，故，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積，設(shè)直線為可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.9、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯題.10、D【解析】

計算得到，，故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對稱圖形，故②④正確，根據(jù)圖像知①③錯誤，得到答案.【詳解】，，，當(dāng)沿軸正方向平移個單位時，重合，故②正確；，，故，函數(shù)關(guān)于對稱，故④正確；根據(jù)圖像知：①③不正確；故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像的綜合應(yīng)用.11、C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷③．【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；②兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；兩個隨機變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0；故②為真命題；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關(guān)系”的把握程度越小，故③為假命題．故選：．【點睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，再由，即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減，所以在上增，，，，∴.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

函數(shù)恰有4個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可知：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.14、【解析】

對原方程兩邊求導(dǎo)，然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導(dǎo)，得，令，則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.15、【解析】

由向量平行坐標(biāo)表示計算．注意驗證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時，滿足題意，時，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．【點睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運算，解題時要注意驗證方向相同這個條件，否則會出錯．16、【解析】

取的中點，連接，，取的中點，連接，，，直線與所成的角為，計算，，根據(jù)余弦定理計算得到答案?！驹斀狻咳〉闹悬c，連接，，依題意可得，，所以平面，所以，因為，分別、的中點，所以，因為，所以，所以平面，故，故，故兩兩垂直。取的中點，連接，，，因為，所以直線與所成的角為，設(shè)，則，，所以，化簡得，解得，即.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性以及極值，從而得出的圖象，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，由圖，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，∴切線斜率，又切點∴切線方程為，即.（2），記，令得；∴的情況如下表：2+0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時，取極大值又時，；時，若沒有零點，即的圖像與直線無公共點，由圖像知的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，屬于中檔題.18、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)平面，四邊形是矩形，由為中點，且，利用平面幾何知識，可得，又平面，所以，根據(jù)線面垂直的判定定理可有平面，從而得證.（2）分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，，，分別求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.【詳解】（1）證明：∵平面，∴四邊形是矩形，∵為中點，且，∴，∵，，，∴.∴，∵，∴與相似，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴平面，∵平面，∴，∴平面，∴.（2）如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，，解得：，同理，平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，則.即二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）極小值點為，極小值為，無極大值；（2）證明見解析【解析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求，結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點及極值；令，問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求．【詳解】（1）由題得函數(shù)的定義域為.，由已知得，解得∴，令，得令，得，∴在上單調(diào)遞增.令，得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點為，極小值為，無極大值.（2）證明：由（1）知，∴，令，即∵，，∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又，∴在上恒成立∴在上恒成立∴，即∴【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題．20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）可證面，從而可得.（2）可證點為線段的三等分點，再過作于，過作，垂足為，則為二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.【詳解】證明：（1）因為為中點，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，故，又因為，所以，則，又，故面，又面，所以.（2）由（1）可得：面在面內(nèi)的射影為，則為直線與平面所成的角，即.因為，所以，所以，所以，即點為線段的三等分點.解法一：過作于，則平面，所以，過作，垂足為，則為二面角的平面角,因為，，，則在中，有，所以二面角的平面角的正切值為.解法二：以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點，由得：，即，，，點，平面的一個法向量，又，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則平面的一個法向量為.設(shè)二面角的平面角為，則，即，所以二面角的正切值為.【點睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為得到，而線面垂直又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算.21、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）需滿足恒成立，只需即可；（2）根據(jù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)，并令，根據(jù)的單調(diào)性即可得證；（3）將問題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實數(shù)解，對求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合題目條件與不等式的放縮，即可得證．【詳解】；令，則恒成立；，；的取值范圍是；（2）證明：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；；令，；則；令，則；；；（3）證明：，，要證明有唯一實數(shù)解；當(dāng)時，；當(dāng)時，；即對于任意實數(shù)，一定有解；；當(dāng)時