2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)59古典概型訓(xùn)練含解析新人教B版

五十九古典概型(建議用時：45分鐘)A組全考點鞏固練1．(2024·河北高三聯(lián)考)某校開設(shè)a，b，c，d共4門選修課，一個同學(xué)從中隨機選取2門，則a與b未同時被選中的概率為(D)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)2．(2024·河源模擬)將一個骰子連續(xù)擲3次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為(B)A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,18)3．(2024·宜昌聯(lián)考)設(shè)m，n∈{0,1,2,3,4}，向量a＝(－1，－2)，b＝(m，n)，則a∥b的概率為(B)A.eq\f(2,25) B.eq\f(3,25)C.eq\f(3,20) D.eq\f(1,5)4．(2024·聊城高三三模)某部隊在演習(xí)過程中，用懸掛的彩旗來表達行動信號，每個信號都由從左到右排列的4面彩旗組成，有紅、黃、藍三種顏色的彩旗．若從全部表達的信號中任選一種，則這種信號中恰有2面紅色旗子的概率為(A)A.eq\f(8,27) B.eq\f(2,27)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,3)5．(2024·長郡中學(xué)高三一模)2024年成都世界警察與消防員運動會期間，需支配甲、乙、丙、丁四名志愿者去A，B，C三個場館參加服務(wù)工作，要求每個場館至少一人，則甲、乙被支配到同一個場館的概率為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,4)C解析：將甲、乙看成一個整體，滿意要求的支配方式有m＝Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，總的支配方式有n＝Ceq\o\al(2,4)×Aeq\o\al(3,3)＝36(種)，所以甲、乙被支配到同一個場館的概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(1,6).故選C.6．(2024·紅河州高三檢測)整數(shù)集就像一片浩瀚無邊的海洋，充溢了無盡的奇妙．古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯發(fā)覺220和284具有如下性質(zhì)：220的全部真因數(shù)(不包括本身的因數(shù))之和恰好等于284，同時284的全部真因數(shù)之和也等于220，他把具有這種性質(zhì)的兩個整數(shù)叫做一對“親和數(shù)”，“親和數(shù)”的發(fā)覺吸引了多數(shù)數(shù)學(xué)愛好者的探討熱潮．已知220和284,1184和1210,2924和2620是3對“親和數(shù)”，把這六個數(shù)隨機分成兩組，一組2個數(shù)，另一組4個數(shù)，則220和284在同一組的概率為()A.eq\f(1,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(7,15) D.eq\f(1,5)C解析：由題意可得一共有Ceq\o\al(2,6)種基本結(jié)果，滿意220和284在同一組，分兩種狀況探討，①220和284在2個數(shù)這一組中有Ceq\o\al(2,2)種，②220和284在4個數(shù)這一組中有Ceq\o\al(2,4)種．故概率p＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(7,15).故選C.7．(2024·湖南高三模擬)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．eq\f(7,12)解析：將一顆骰子先后投擲兩次可得n＝6×6＝36(種)結(jié)果．由直線與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點可得eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，所以a≤b，故滿意a≤b的結(jié)果有m＝6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(種)．由古典概型的計算公式，得直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).B組新高考培優(yōu)練8．(2024·萍鄉(xiāng)高三模擬)算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位檔撥上一顆上珠和一顆下珠，個位檔撥上一顆上珠，則表示數(shù)字65.若在個、十、百、千位檔中隨機選擇一檔撥一顆上珠，再隨機選擇兩個檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于200的概率為()A.eq\f(3,8) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)D解析：依題意得所撥數(shù)字共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＝24(種)可能的結(jié)果．要使所撥數(shù)字大于200，則若上珠撥的是千位檔或百位檔，則所撥數(shù)字肯定大于200，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(種)；若上珠撥的是個位檔或十位檔，則下珠肯定要撥千位，再從個、十、百里選一個下珠，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝6(種)．所以所撥數(shù)字大于200的概率為eq\f(12＋6,24)＝eq\f(3,4).故選D.9．某人有4把鑰匙，其中2把能打開門．現(xiàn)隨機地取1把鑰匙試著開門，不能開門的就扔掉，問其次次才能打開門的概率是________．假如試過的鑰匙不扔掉，這個概率是________．eq\f(1,3)eq\f(1,4)解析：其次次打開門，說明第一次沒有打開門，故其次次打開的概率為eq\f(2×2,4×3)＝eq\f(1,3)；假如試過的鑰匙不扔掉，這個概率為eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4).10．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球和1個紅球的概率為________．eq\f(10,21)解析：從袋中任取2個球共有Ceq\o\al(2,15)＝105(種)取法，其中恰有1個白球和1個紅球共有Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,5)＝50(種)取法，所以所取的球恰有1個白球和1個紅球的概率為eq\f(50,105)＝eq\f(10,21).11．(2024·成都高三二模)某企業(yè)為了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時間，對每個工人組裝一個該產(chǎn)品的用時作了記錄，得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了9個數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖(單位：分)．若用時不超過40分鐘，則稱這個工人為優(yōu)秀員工．(1)求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；(2)從樣本數(shù)據(jù)用時不超過50分鐘的工人中隨機抽取2個，求至少有一個工人是優(yōu)秀員工的概率．解：(1)由莖葉圖得中位數(shù)為43，眾數(shù)為47.(2)設(shè)不超過50的工人為a，b，c，d，e，f，g，其中a，b，c為優(yōu)秀員工，從這7名工人中隨機抽取2人的基本領(lǐng)件有Ceq\o\al(2,7)＝21(個)，其中至少有一名工人是優(yōu)秀員工的基本領(lǐng)件有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3)＝15(個)，所以至少有一個工人是優(yōu)秀員工的概率p＝eq\f(15,21)＝eq\f(5,7).12．一個袋中裝有四個形態(tài)、大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n＜m＋2的概率．解：(1)從袋中隨機取兩個球，樣本空間為{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6個樣本點．從袋中取出的球的編號之和不大于4的事務(wù)＝{(1,2)，(1,3)}，共2個樣本點．因此所求事務(wù)的概率p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機取一個球，登記編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，登記編號為n，則一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個樣本點．又滿意條件n≥m＋2的事務(wù)有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個樣本點．所以滿意條件n≥m＋2的事務(wù)的概率p1＝eq\f(3,16).故滿意條件n＜m＋2的事務(wù)的概率為1－p1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).13．某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．依據(jù)歷年的種植閱歷，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．(1)完成下表，并求所種作物的年均收獲量；Y51484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．解：(1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株，列表如下：Y51484542頻