2024-2025學年新教材高中數(shù)學第一章直線與圓2圓與圓的方程1.2.3直線與圓的位置關(guān)系課后素養(yǎng)落實含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(九)直線與圓的位置關(guān)系(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得的弦的長度為4，則實數(shù)a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8B[將圓的方程化為標準方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圓心為(－1，1)，半徑r＝eq\r(2－a)，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4．]2．已知集合A＝{(x，y)|x，y為實數(shù)，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實數(shù)，且x＋y＝1}，則A∩B的元素個數(shù)為()A．4B．3C．2D．1C[圓x2＋y2＝1的圓心(0，0)到直線x＋y＝1的距離d＝eq\f(|－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)<1，所以直線x＋y＝1與圓x2＋y2＝1相交．故選C．]3．設(shè)圓C：x2＋y2＝3，直線l：x＋3y－6＝0，點P(x0，y0)∈l，若存在點Q∈圓C，使∠OPQ＝60°(O為坐標原點)，則x0的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) B．[0，1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(6,5))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))C[由題意知，直線PQ與圓O有公共點，所以eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))≤eq\r(3)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))≤2．又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))＝eq\r(x\o\al(2,0)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x0,3)))\s\up12(2))，所以eq\r(x\o\al(2,0)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x0,3)))\s\up12(2))≤2，解得0≤x0≤eq\f(6,5)．]4．已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓eq(x－1)2＋eq(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a＝()A．±eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(1,3)C．1或7 D．4±eq\r(15)D[因為△ABC為等邊三角形且邊長為2，所以C到AB的距離為eq\r(3)，由圓方程可得Ceq(1，a)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋a－2)),\r(a2＋1))＝eq\r(3)，解得a＝4±eq\r(15)．]5．若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由點(a，b)向圓所作的切線長的最小值是()A．2B．3C．4D．6C[因為過圓外一點的圓的切線長l、半徑r和這點到圓心的距離d是一個直角三角形的三邊，其中半徑r是斜邊，所以l2＝d2－r2，所以切線長最短時，該點到圓心的距離最小．由題意知，圓心C(－1，2)，半徑長r＝eq\r(2)，點(a，b)在直線y＝x－3上，所以點(a，b)與圓心的距離的最小值，即圓心到直線y＝x－3的距離d，易求d＝eq\f(|－1－2－3|,\r(2))＝3eq\r(2)，所以切線長的最小值為eq\r(d2－r2)＝eq\r(3\r(2)2－2)＝4．]二、填空題6．圓心在y軸上，經(jīng)過點(3，1)且與x軸相切的圓的方程是________．x2＋y2－10y＝0[由題意，設(shè)圓的方程為x2＋(y＋a)2＝a2，因為圓經(jīng)過點(3，1)，所以把點(3，1)代入圓的方程，得32＋(1＋a)2＝a2，整理得2a＝－10，∴a＝－5，所以圓的方程為x2＋(y－5)2＝(－5)2，即x2＋y2－10y＝0．]7．過圓x2＋y2＝4外一點P(4，2)作圓的兩條切線，切點A、B，則△ABP的外接圓的方程是________．(x－2)2＋(y－1)2＝5[∵圓心為O(0，0)，又∵△ABP的外接圓就是四邊形OAPB的外接圓．其直徑d＝|OP|＝2eq\r(5)，∴半徑r＝eq\r(5)．而圓心C為(2，1)，∴外接圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5．]8．已知AC，BD為圓O：x2＋y2＝4的兩條相互垂直的弦，其中垂足為M(1，eq\r(2))，則四邊形ABCD的面積的最大值為________．5[如圖所示，設(shè)弦AC，BD的中點分別為P，Q，依據(jù)弦的中點的性質(zhì)，則OP⊥AC，OQ⊥BD．又AC⊥BD，故四邊形OPMQ為矩形，設(shè)圓心O與AC、BD的距離分別為d1、d2，則deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝OM2＝3．又AC＝2eq\r(4－d\o\al(2,1))，BD＝2eq\r(4－d\o\al(2,2))，則四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝2eq\r(4－d\o\al(2,1)4－d\o\al(2,2))＝2eq\r(4＋d1d22)≤2eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d\o\al(2,1)＋d\o\al(2,2),2)))\s\up12(2))＝2eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝5，等號當且僅當d1＝d2＝eq\f(\r(6),2)時成立，即四邊形ABCD的面積的最大值為5．故填5．]三、解答題9．假如一條直線經(jīng)過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))且被圓x2＋y2＝25所截得的弦長為8，求這條直線的方程．[解]圓x2＋y2＝25的半徑長r為5，直線被圓所截得的弦長l＝8，于是弦心距d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2))＝eq\r(52－42)＝3．因為圓心O(0，0)到直線x＝－3的距離恰為3，所以直線x＝－3是符合題意的一條直線．設(shè)直線y＋eq\f(3,2)＝k(x＋3)也符合題意，即圓心到直線kx－y＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2)))＝0的距離等于3，于是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq\f(3,4)．故直線的方程為3x＋4y＋15＝0．綜上可知，滿意題意的直線有兩條，對應的方程分別為x＝－3和3x＋4y＋15＝0．10．已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0．(1)m∈R時，證明：l與C總相交；(2)m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長．[解](1)證明：直線的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，由點斜式可知，直線過點P(4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交．(2)圓的方程可化為(x－3)2＋(y＋6)2＝25．如圖，當圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，線段AB的長度最短．此時PC⊥l，又kPC＝eq\f(－3－－6,4－3)＝3，所以直線l的斜率為－eq\f(1,3)，則2m＝－eq\f(1,3)，所以m＝－eq\f(1,6)．在Rt△APC中，|PC|＝eq\r(10)，|AC|＝r＝5．所以|AB|＝2eq\r(|AC|2－|PC|2)＝2eq\r(15)．故當m＝－eq\f(1,6)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為2eq\r(15)．11．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長為()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\f(\r(2),2)D．eq\r(2)D[圓心到直線的距離d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(2))，設(shè)弦長為l，圓的半徑為r，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋d2＝r2，即l＝2eq\r(r2－d2)＝eq\r(2)．]12．與圓C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y軸上的截距相等的直線共有()A．1條B．2條C．3條D．4條C[圓C的方程可化為(x－2)2＋y2＝2．可分為兩種狀況探討：(1)直線在x，y軸上的截距均為0，易知直線斜率必存在，設(shè)直線方程為y＝kx，則eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，解得k＝±1；(2)直線在x，y軸上的截距均不為0，則可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，則eq\f(|2－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4(a＝0舍去)．因此滿意條件的直線共有3條．]13．(多選題)設(shè)有一組圓：Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N＋)．下列結(jié)論正確的是()A．存在一條定直線與全部的圓均相切B．存在一條定直線與全部的圓均相交C．存在一條定直線與全部的圓均不相交D．全部的圓均不經(jīng)過原點BD[設(shè)直線為y＝ax＋b，則d＝eq\f(|ak－1－3k＋b|,\r(1＋a2))＝eq\f(|a－3k＋b－a|,\r(1＋a2))．∵d中無k的2次項，∴不存在實數(shù)a、b，使d＝eq\r(2)k2，也不存在實數(shù)a、b，使d>eq\r(2)k2，故AC錯誤，當a＝3，b＝3時，d＝0，恒小于eq\r(2)k2與圓相交，B正確．將(0，0)代入，方程不成立，D正確，選BD．]14．(一題兩空)直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B兩點，若弦AB的中點為C(－2，3)，則(1)a的取值范圍是________；(2)直線l的方程為________．a(chǎn)<3x－y＋5＝0[(1)依題意得，點C在圓內(nèi)，所以eq(－2)2＋32＋2×eq(－2)－4×3＋a<0，解得a<3．(2)由圓的一般方程可得圓心為M(－1，2)．由圓的性質(zhì)易知，M(－1，2)與C(－2，3)的連線與弦AB垂直，故有kAB＝－eq\f(1,kCM)＝1，故直線l的方程為y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0．]15．設(shè)直線系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，對于下列四個命題：①M中全部直線均經(jīng)過一個定點；②存在定點P不在M中的任一條直線上；③對于隨意整數(shù)n(n≥3)，存在正n邊形，其全部邊均在M中的直線上；④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．其中真