2025年高考數(shù)學(xué)重難點突破訓(xùn)練：立體幾何中的截面、交線問題【七大題型】（含答案及解析）

重難點19立體幾何中的截面、交線問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1截面作圖】...........................................................................2

【題型2截面圖形的形狀判斷】................................................................4

【題型3截面圖形的周長或面積問題】..........................................................5

【題型4球的截面問題】.......................................................................6

【題型5截面切割幾何體的體積、表面積問題】..................................................6

【題型6交線長度、軌跡問題】.................................................................7

【題型7截面的范圍與最值問題】..............................................................8

?命題規(guī)律

1、立體幾何中的截面、交線問題

“截面、交線”問題是高考立體幾何問題中最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些動態(tài)的線、面等元素,

給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、周長、扇形弧長、面

積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標運算求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1立體幾何中的截面問題】

1.作截面的幾種方法

(1)直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找

交線的過程.

(2)延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點.

(3)平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直

線的平行線找到幾何體與截面的交線.

2.球的截面

(1)球的截面形狀

①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：d=.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為尺，以。，為圓心的截面的半徑

為r,。。'=4則在必△00C中，^OC2=O'C2+OO'2,^R2=r2+d2.

【知識點2立體幾何中的截面、交線問題的解題策略】

1.立體幾何截面問題的求解方法

(1)坐標法：所謂坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，進行求解.

(2)幾何法：從幾何視角人手，借助立體幾何中的線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，找到該截面與相關(guān)

線、面的交點位置、依次連接這些點，從而得到過三點的完整截面，再進行求解.

2.截面、交線問題的解題策略

(1)作截面應(yīng)遵循的三個原則：

①在同一平面上的兩點可引直線；

②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；

③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

(2)作交線的方法有如下兩種：

①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

?舉一反三

【題型1截面作圖】

【例1】(2024?河南新鄉(xiāng)三模)在如圖所示的幾何體中，DE\\AC,2C1平面BCD,AC=2DE=4,

BC=2,DC=1,/.BCD=60°.

(2)過點。作一平行于平面ABE的截面，畫出該截面，說明理由，并求夾在該截面與平面&BE之間的幾何

體的體積.

【變式1-1］（2024高一下?廣東佛山?競賽）如圖，在正方體/BCD-4$iCi必中，鼻尸分別為棱/8、51的

中點.

（1）請在正方體的表面完整作出過點E、F、Di的截面.（只需寫出作圖過程，不用證明）

（2）請求出截面分正方體上下兩部分的體積之比.

【變式1-2］（2023?貴州?模擬預(yù)測）矩形N8C。中，4B==1（如圖1）,將△口4c沿NC折到△小

2C的位置，點在平面N8C上的射影E在48邊上，連結(jié)（如圖2）.

（1）證明：4D11BC；

（2）過的平面與8c平行，作出該平面截三棱錐D1-4BC所得截面（不要求寫作法）.記截面分三棱錐所得

兩部分的體積分別為ViM2Ml＜匕，求費.

【變式1-3］（23-24高一下?河北廊坊?階段練習(xí)）如圖正方體力BCD-a/iCiDi的棱長為2,E是線段4公的

中點，平面a過點。1、C、E.

（1）畫出平面a截正方體所得的截面，并簡要敘述理由或作圖步驟；

⑵求（1）中截面多邊形的面積；

（3）平面a截正方體，把正方體分為兩部分，求較小的部分與較大的部分的體積的比值.

【題型2截面圖形的形狀判斷】

【例2】（2024?四川達州?二模）如圖，在正方體48CD-48心。1中，E為4B中點，P為線段的以上一動點,

過O,E,P的平面截正方體的截面圖形不可能是（）

A.三角形B.矩形C.梯形D.菱形

【變式2-1］（2024?河南?模擬預(yù)測）在正方體48CD-4避1的￡）1中，M,N分別為的小的中點，過

M,N,%三點的平面截正方體48CD-所得的截面形狀為（）

A.六邊形B,五邊形C.四邊形D.三角形

【變式2-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底

面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（）

(1)(2)(3)(4)(5)

A.(2)(5)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(1)(5)

【變式2-3］（2024?江西?模擬預(yù)測）已知在長方體ABCD-Ai/CiDi中，AB=BB］=2BC,點、P,Q,T分

別在棱BBi，CCi和2B上，且&P=3BP,CQ=3C1Q,BT=3AT,則平面PQT截長方體所得的截面形狀為

（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【題型3截面圖形的周長或面積問題】

【例3】（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測）正方體A8CD-&當?shù)男⊥饨忧虻捏w積為4例，E、F、G分別為棱4公

、4/1、的中點，則平面EFG截球的截面面積為（）

A.YB.yC.yD.J

【變式3-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體4BCD-41B1C1D1中，￡為棱8c的中點，

用過點公,E,G的平面截正方體，則截面周長為（）

C.2V2+2V5D.3V2+2V3

【變式3-2］（2024?江蘇南通?二模）在棱長為2的正方體48CD-4道1的。1中，P,Q,R分別為棱BC,CD,

CM的中點，平面PQR截正方體4BCD-外接球所得的截面面積為（）

A.（TTB.|lTC.yTTD.空Tt

【變式3-3］（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）己知正方體48。。-4/1（7山1的棱長為4,“為棱OC的中點，N為

側(cè)面8Q的中心，過點M的平面a垂直于DN,則平面a截正方體4的所得的截面面積為（）

A.4(V5+V2)B.2V3

C.5V3D.4>/6

【題型4球的截面問題】

【例4】（2024?四川資陽?二模）已知球。的體積為饕，點N到球心。的距離為3,則過點/的平面a被

球。所截的截面面積的最小值是（）

A.9ITB.12nC.16irD.20n

【變式4-1］（2024?四川自貢?三模）已知球O半徑為4,圓。1與圓。2為球體的兩個截面圓，它們的公共弦

長為4若|。。1|=3,|。。2|=遍，則兩截面圓的圓心距|。1。2|=（）

A.V3B.竽C.3+V3D.2V3

【變式4-2］（2024?陜西榆林?一模）已知H是球。的直徑48上一點，AH-.HB=1-.2,1平面a,H為垂足,

a截球。所得截面的面積為n,M為a上的一點，且=斗，過點M作球。的截面，則所得的截面面積最小的

圓的半徑為（）

孚軍半年

2442

【變式4-3］（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）如圖所示，某同學(xué)制作了一個工藝品.該工藝品可以看成是一個球

被一個棱長為8的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一截面圓的周長

為4it,則球的體積為（）

AB80西71c160V^TID200v

*3333

【題型5截面切割幾何體的體積、表面積問題】

【例5】（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）如圖所示，圓臺的上、下底面半徑分別為4cm和6cm,AAltB以為圓

臺的兩條母線，截面48811與下底面所成的夾角大小為60。，且。01劣弧力1瓦的弧長為等cm,則三棱臺

4B。-&B1O1的體積為（）

A.ycm3B.10V3cm3C.19cm3D.20V3cm3

【變式5?1】（2024?上海普陀?二模）若一個圓錐的體積為雪，用通過該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到

的截面三角形的頂角為9則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.V2TTB.2TTC.2V2irD.4伍

【變式5-2］（2024?河南開封?二模）已知經(jīng)過圓錐S。的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐

SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是

)

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【變式5-3］（2024?江西贛州?一模）在棱長為1的正方體力BCD-4再停1。1中，E為棱4D的中點，過比且

平行于平面4BE的平面截正方體所得截面面積為（）

A.乎B.|C.V6D.2V6

【題型6交線長度、軌跡問題】

【例6】（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測）在正六棱柱4BCDEF-公當?shù)男‰娨抑?，AAi=2AB=6,。為棱4必

的中點，以。為球心，6為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（）

A.（3+V3）nB.（6+V3）nC.（3+2遮）nD.（6+2何rt

【變式6-1］（2023?河南?模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐4-8CD中，AB/C/D兩兩垂直，且

AB=AC=AD=3,以4為球心，逐為半徑作球，則球面與底面BCD的交線長度的和為（）

D

B

A.2V3nB.V3nC.學(xué)D.亨

【變式6-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正四棱錐P-4BCD的體積為殍，底面4BCD的四個頂點在經(jīng)過球

心的截面圓上，頂點P在球。的球面上，點E為底面4BCD上一動點，PE與P。所成角為也則點E的軌跡長度

為（）

A.V2nB.4伍C.亨D.孚it

【變式6-3］（2024?河南?二模）已知四面體力BCD的各個面均為全等的等腰三角形，且C4=CB=248=4.

設(shè)E為空間內(nèi)一點，且4B,C,D,E五點在同一個球面上，若45=2K，則點E的軌跡長度為（）

A.HB.2irC.3KD.4n

【題型7截面的范圍與最值問題】

【例7】（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測）已知SOi=2,底面半徑。遇=4的圓錐內(nèi)接于球。，則經(jīng)過S和?！ㄖ?/p>

點的平面截球。所得截面面積的最小值為（）

A.為25B.2引5C.2為5D.5ir

ZJ4

【變式7-1］（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測）在三棱錐P—ABC中，AC=BC=PC=2,且2C，BC,PC1平面

ABC,過點P作截面分別交力C,BC于點E,F,且二面角P-EF-C的平面角為60。，則所得截面PEF的面積最小值

為（）

A.-B.-C.-D.1

【變式7-2］（2024?四川?模擬預(yù)測）設(shè)正方體4BCD-&B1C1D1的棱長為1,與直線4C垂直的平面a截該

正方體所得的截面多邊形為M,則M的面積的最大值為（）

A.1V3B.|V3C.亨D.V3

【變式7-3］（2024?四川?一模）設(shè)正方體2BCD-4/停1。1的棱長為1,與直線4傳垂直的平面a截該正方

體所得的截面多邊形為則下列結(jié)論正確的是（）.

A.“必為三角形B.“可以是四邊形

C.M的周長沒有最大值D."的面積存在最大值

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?河北?模擬預(yù)測）過圓錐P。高的中點。作平行于底面的截面，則截面分圓錐P。上部分圓錐與下部

分圓臺體積比為（）

A.-B.-c.gD.-

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正方體ABC。-Ai/CiDi中，點E是線段上靠近/的三等分點，點F是線

段。1G上靠近"的三等分點，則平面/￡?截正方體力BCD-&B1C1D1形成的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

3.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測）已知正三棱錐A-BCD的外接球是球0,正三棱錐底邊BC=3,側(cè)棱4B=2

四，點E在線段BD上，且BE=DE,過點E作球。的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）

97T

A.2nB.TC.3TTD.4n

4.（2024?廣東江門?模擬預(yù)測）沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置.沙漏由兩個完全一樣的圓錐和一

個狹窄的連接管道組成，通過充滿了沙子的玻璃圓錐從上面穿過狹窄的管道流入底部玻璃圓錐所需要的時

間來對時間進行測量西方發(fā)現(xiàn)最早的沙漏大約在公元1100年，比我國的沙漏出現(xiàn)要晚.時鐘問世之后，沙

漏完成了它的歷史使命.現(xiàn)代沙漏可以用來助眠.經(jīng)科學(xué)認證，人類的健康入睡時間是15分鐘，沙漏式伴睡

燈便是一個15分鐘的計時器.它將古老的計時沙漏與現(xiàn)代夜燈巧妙結(jié)合，隨著沙粒從縫隙中滑下，下部的

燈光逐漸被沙子掩埋，直到15分鐘后沙粒全部流光，柔和的燈光完全覆蓋.就這樣，寧靜的夜晚，聽著沙

粒窸窸窣窣的聲音，仿佛一首緩緩流動的安眠曲如圖，一件沙漏工藝品，上下兩部分可近似看成完全一樣

的圓錐，測得圓錐底面圓的直徑為10cm,沙漏的高（下底面圓心的距離）為8cm,通過圓錐的頂點作沙漏

截面，則截面面積最大為（）

A.40cm2B.41cm2C.42cm2D.43cm2

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，在正方體48CD—4止停1。1中，E,尸分別為棱4B/D的中點，過

三點作該正方體的截面，則（）

A.該截面是四邊形

B.&C_L平面QEF

C.平面4當。1〃平面CiEF

D.該截面與棱BBi的交點是棱BBi的一個三等分點

6.（2024?河南?模擬預(yù)測）如圖，已知直三棱柱48。一4再停1的體積為4,ACVBC,AC=BC=CJ,D為

當C1的中點，￡為線段NC上的動點（含端點），則平面截直三棱柱4BC-4道I。所得的截面面積的

C（4目D?罔

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）在正方體4BCD-4iBiCiDi中，E,廠分別為棱力1巳，。小的中點，過直線所

的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為s,最大值為S,貝哈=（）

A.苧B.|C.等D.1

8.（2024?山東棗莊?一模）在側(cè)棱長為2的正三棱錐2-BCD中，點E為線段BC上一點，RAD1AE,貝I」以4

為球心，魚為半徑的球面與該三棱錐三個側(cè)面交線長的和為（）

A.9B.V2itC.嘩1D.3伍

42

二、多選題

9.（2024?全國?模擬預(yù)測）在三棱錐P-4BC中，△4BC與△PAC是全等的等腰直角三角形，平面P4C，平

面4BC/C=2,D為線段4C的中點.過點。作平面截該三棱錐的外接球所得的截面面積可能是（）

A.nB.2irC.4nD.5ir

10.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）已知正四面體P-2BC,過點P的平面將四面體的體積平分，則下列命題正

確的是（）

A.截面一定是銳角三角形B.截面可以是等邊三角形

C.截面可能為直角三角形D.截面為等腰三角形的有6個

11.（2024?湖北荊州?三模）如圖，正八面體E-4BCD-尸棱長為2.下列說法正確的是（）

A.BE〃平面ADF

B.當尸為棱EC的中點時，正八面體表面從尸點到尸點的最短距離為V7

C.若點尸為棱口上的動點，則三棱錐F-4DP的體積為定值9

D.以正八面體中心為球心，1為半徑作球，球被正八面體各個面所截得的交線總長度為竺爭

三、填空題

12.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正四面體4BCD中，M,N分別為棱力D,BC的中點，。

為線段MN的中點，球。的表面與線段4。相切于點M,則球。被正四面體A8CD表面截得的截面周長為.

C

13.（2024?山東日照?一模）已知正四棱錐S—4BCD的所有棱長都為2；點E在側(cè)棱SC上，過點E且垂直

于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形"，則”的邊數(shù)至多為,"的面積的最大值為.

s

E

//---------\一一一

/八\7

Z/zz\/\/

AB

14.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體4BCD-4iBiCiDi中，過面對角線在外的平面記為a,

以下四個命題：

①存在平面a,使BiCla;

②若平面a與平面BBiQC的交線為Z,則存在直線1,使1〃8。；

③若平面a截正方體所得的截面為三角形，則該截面三角形面積的最大值為乎;

4

④若平面a過點Bi，點P在線段BQ上運動，則點P到平面ADiBi的距離為日.

其中真命題的序號為.

四、解答題

15.（2024?陜西榆林?三模）如圖是一個半圓柱，DC/B分別是上、下底面圓的直徑，。為4B的中點，且

4B=4D=2,E是半圓而上任一點（不與重合）.

（1）證明：平面DEAJ.平面CEB,并在圖中畫出平面。瓦4與平面CEB的交線（不用證明）；

（2）若點E滿足。￡=孚眄空間中一點P滿足5?=2而，求三棱錐。—EOP的體積.

16.(2024?廣西河池?模擬預(yù)測)已知四棱錐P—48C。中，底面A8CD為直角梯形，平面48CD,AD\\

BC,ABLAD,PA=AD^4,BA=BC=2,M為P4中點，過C,D,"的平面截四棱錐P—28CD所得的截

面為a.

(1)若a與棱PB交于點3畫出截面a,保留作圖痕跡(不用說明理由)，并證明言=3.

⑵求多面體4BCDMF的體積.

17.(2024?江西萍鄉(xiāng)?三模)如圖，在直角梯形28CD中，AB〃CD,乙DAB=90°,AD=DC、1B=1.以48所

在直線為軸，將4BCD向上旋轉(zhuǎn)得到4BEF,使平面4BEF，平面4BCD

(1)證明：DF〃平面BCE；

(2)若P為線段48上一點，且BP=2AP,截面PEC將多面體EF-2BCD分成左右兩部分的體積分別為七〃2,

18.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模)已知正方體4BCD—棱長為2.

(1)求證：A1C1B1D1.

(2)若平面a//平面2當。1，且平面a與正方體的棱相交,當截面面積最大時，在所給圖形上畫出截面圖形(不

必說出畫法和理由)，并求出截面面積的最大值.

⑶已知平面a//平面43必，設(shè)平面a與正方體的棱力B、交于點E、F、G,當截面EFG的面積最

大時，求點尸到平面EGC的距離.

19.(23-24高三上?河北?期末)如圖①，在△28C中，BC=4/8=VlWcosB=等,分別為8C/C的中

點，以DE為折痕，將△DCE折起，使點C到達點心的位置，且8g=2,如圖②.

①②

(1)設(shè)平面4DC1C平面BEC1=2,證明：11平面4BC1；

(2)P是棱的。的中點，過P,B,E三點作該四棱錐的截面，與的4交于點Q,求余;

(3)P是棱CiD上一點(不含端點)，過P,B,E三點作該四棱錐的截面與平面BECi所成的銳二面角的正切值為

李，求該截面將四棱錐分成上、下兩部分的體積之比.

重難點19立體幾何中的截面、交線問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1截面作圖】...........................................................................2

【題型2截面圖形的形狀判斷】.................................................................7

【題型3截面圖形的周長或面積問題】.........................................................12

【題型4球的截面問題】......................................................................16

【題型5截面切割幾何體的體積、表面積問題】.................................................18

【題型6交線長度、軌跡問題】...............................................................21

【題型7截面的范圍與最值問題】.............................................................25

?命題規(guī)律

1、立體幾何中的截面、交線問題

“截面、交線”問題是高考立體幾何問題中最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些動態(tài)的線、面等元素,

給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、周長、扇形弧長、面

積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標運算求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1立體幾何中的截面問題】

1.作截面的幾種方法

(1)直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找

交線的過程.

(2)延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點.

(3)平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直

線的平行線找到幾何體與截面的交線.

2.球的截面

(1)球的截面形狀

①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：d=.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為尺，以。，為圓心的截面的半徑

為r,。。'=4則在必△00C中，^OC2=O'C2+OO'2,^R2=r2+d2.

【知識點2立體幾何中的截面、交線問題的解題策略】

1.立體幾何截面問題的求解方法

(1)坐標法：所謂坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，進行求解.

(2)幾何法：從幾何視角人手，借助立體幾何中的線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，找到該截面與相關(guān)

線、面的交點位置、依次連接這些點，從而得到過三點的完整截面，再進行求解.

2.截面、交線問題的解題策略

(1)作截面應(yīng)遵循的三個原則：

①在同一平面上的兩點可引直線；

②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；

③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

(2)作交線的方法有如下兩種：

①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

?舉一反三

【題型1截面作圖】

【例1】(2024?河南新鄉(xiāng)三模)在如圖所示的幾何體中，DE\\AC,2C1平面BCD,AC=2DE=4,

BC=2,DC=1,/.BCD=60°.

(2)過點。作一平行于平面ABE的截面，畫出該截面，說明理由，并求夾在該截面與平面2BE之間的幾何

體的體積.

【解題思路】分析(1)由余弦定理結(jié)合勾股定理可證明BD1CD,利用線面垂直的性質(zhì)可證明AC1BD,由

線面垂直的判定定理可得BD1平面4CDE；(2)取4C的中點F,BC的中點M,連接。截面DFM

即為所求，由(1)可知，BD1平面4CDE,FCL平面CDM,由“分割法”利用棱錐的體積公式可得結(jié)果.

【解答過程】（1）證明：在ZBCD中，BD2=22+1-2x1x2cos60°=3.

所以BC2=B￡>2+DC2,所以/BCD為直角三角形，BD1CD.

又因為4C_L平面BCD,所以AC1BO.

而力CflCD=C,所以BD1平面4CDE.

（2）取AC的中點F,8c的中點M,連接平面DFM即為所求.

理由如下：

因為DE||aC,DE=AF,所以四邊形4EDF為平行四邊形，所以DFIIAE,從而DFII平面ABE,

同理可證FMII平面48E.

因為FMCDF=F,所以平面DFM||平面4BE.

由（1）可知，BD1平面4CDE,FC1平面CDM.

因為UB-ACDE=gx（2+：）1xV3=V3,

VF-CDM=|X（^y-sin600）x2=嗎

所以，所求幾何體的體積了=四-哼=般.

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【變式1-1］（2024高一下?廣東佛山?競賽）如圖，在正方體4BCD-&B1C1D1中，E、F分別為棱4B、Cg的

（1）請在正方體的表面完整作出過點E、F、Di的截面.（只需寫出作圖過程，不用證明）

（2）請求出截面分正方體上下兩部分的體積之比.

【解題思路】（1）根據(jù)截面定義作圖即可；

（2）利用圖形分割即可求出體積之比.

【解答過程】（1）連接小尸并延長交CD于/,連接/E并延長交BC于"，DA于J,連接/必交441于G,

(2)連接DE,￡?iE,EC,EF,如圖,

設(shè)正方體的棱長為1,

則？E-4DD1G=布UE-CDD#=F-EHC=去，于是，2=笳'

因此截面上下兩部分的體積之比為

【變式1-2］（2023?貴州?模擬預(yù)測）矩形中，=1（如圖1）,將△047沿/C折到△小

AC的位置，點在平面48c上的射影E在N8邊上，連結(jié)小B（如圖2）.

（1）證明：4D11BC；

（2）過0止的平面與8C平行，作出該平面截三棱錐外-力BC所得截面（不要求寫作法）.記截面分三棱錐所得

兩部分的體積分別為2Ml＜匕，求費.

【解題思路】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；

（2）根據(jù)三角形的等面積法求出DiE的長度，再根據(jù)勾股定理求出4E長度，進而確定AE=,即可確定

所求截面，利用錐體體積公式求解.

【解答過程】（1）因為平面4BC,BCu平面4BC,所以DiELBC,

且由翻折關(guān)系可知BC1AB,

且。亞C=EQiE/Bu平面

所以BC1平面小4B,

又因為u平面D14B,所以ZCilBC.

（2）由（1）可知，BC1平面D14B,

又因為叫u平面所以BDilBC.

且BC=4。=1,。傳=DC=AB=於,

所以。止=73-1=V2,

2

且014=1,AB=遍,所以4B2=DrA+DiB2,所以41%B,

所以x%E=扣Mx解得。止=。噓==苧，

所以4E=JD遇2一。1E2=孚,所以4E=/B,

所以取4c的三等分點為尸，且49=累配

連接EF,DiF,

則有BC||EF,BCC平面DiE凡EFu平面。止￡

所以8C||平面。所以所作截面為平面。亞￡

因為△力EF,△4BC的相似比為1:3,

所以#=3,所以守=5，

3&4BCS*、EFCBO

斫以匕.=巨也”=織好=工

展史FECBXDIESEFCB8'

【變式1-3](23-24高一下?河北廊坊?階段練習(xí))如圖正方體48CD-的棱長為2,E是線段的

中點，平面a過點。1、C、E.

(1)畫出平面a截正方體所得的截面，并簡要敘述理由或作圖步驟；

⑵求(1)中截面多邊形的面積；

(3)平面a截正方體，把正方體分為兩部分，求較小的部分與較大的部分的體積的比值.

【解題思路】(1)取2B的中點F,連接EF、4止、CF,利用平行線的傳遞性可證得EF〃％C,可知

E、F、C、以四點共面，再由于E、C、小三點不共線，可得出面EFCDi即為平面截正方體所得的截面；

(2)分析可知，四邊形C%EF為等腰梯形，求出該等腰梯形的高，利用梯形的面積公式可求得截面面積;

(3)利用臺體的體積公式可求得三棱臺AEF-DDiC的體積，并求出剩余部分幾何體的體積，由此可得結(jié)

果.

【解答過程】(1)如圖，取4B的中點尸，連接EF、々B、CF.

因為E是A41的中點，所以

在正方體4BCD-41B1C1D1中，A^DJ/BC,A1D1=BC,

所以四邊形&BC/是平行四邊形，所以AiB〃￡)iC,所以EF〃/C,

所以E、F、C、小四點共面.

因為E、C、久三點不共線，所以E、F、C、小四點共面于平面a,

所以面EFCDi即為平面a截正方體所得的截面.

(2)由(1)可知，截面EFCDi為梯形，EF=yjAE2+AF^=VTT1=V2,

CDi=y/CD2+DDl=V4T4=2vLDiE=密+4亞2=VITl=V5,

同理可得CF=V5,

如圖所示：

分別過點E、F在平面CDiEF內(nèi)作EMICDi，F(xiàn)NICD^垂足分別為點M、N,

貝!|D1E=CF,4EDiM=4FCN,乙EMD1=4FNC=90°,

所以△￡■〃/)產(chǎn)△?2(?,則DiM=CN,

因為EF〃CD1，EMiCDi，F(xiàn)N1C6,則四邊形EFNM為矩形，

所以，MN=EF=?則OIM=CN=^^=^^^=￥，

所以EM=JE*DI"2=J5G=平,

故梯形C%EF的面積為S=*EF+CD。.EM=Jx3魚x乎=:

22

(3)多面體AEF—DDiC為三棱臺，SAAEF=^AE-AF=^xl=j,SADD1C=^DD1-DC=1x2=2,

該棱臺的高為2,所以，該棱臺的體積為

W(S/VIEF+S^DDIC+<SAAEF,54皿。),AD=-Q+2+J]X2)X2=]

故剩余部分的體積為8-5=弓.

故較小的那部分與較大的那部分的體積的比值為5.

【題型2截面圖形的形狀判斷】

【例2】（2024?四川達州?二模）如圖，在正方體ABCD-2道1的。1中，E為4B中點，P為線段的以上一動點,

過O,E,P的平面截正方體的截面圖形不可能是（）

A.三角形B.矩形C.梯形D.菱形

【解題思路】根據(jù)點P在Ci、小以及Ci%三個特殊位置時，截面圖形的形狀，選出正確選項.

【解答過程】B選項，當點P與。1重合時，

取力道1中點H,因為E是AB中點，貝ijEH〃DDi，S.EH=DD1,

連接DE、EH、H%、DR則四邊形為平行四邊形，

又因為DD110E,所以平行四邊形EH小。為矩形，故排除B選項;

C選項，當點P與Ci重合時，

取8當中點G,因為E是2B的中點，所以EG〃DCi，

連接。E、EG、GJCi。，截面四邊形EGQD為梯形，故排除C選項;

D選項，當點P為中點時，

因為E是AB中點，所以PBJ/DE且PBi=DE,

連接PBi、B[E、ED、DP,則四邊形EBiPD是平行四邊形，

又因為BiP=VCiP2+BiCi2=J（竽丫+J萼+Bi《,B]E=JBE^+BB^=J償丫+BB：=

杵+B瑤,

因為是正方體，所以CiDi=8iCi=AB=BBi，所以8止=8亞，

所以平行四邊形EBiPD是菱形，故排除D選項；

不管點P在什么位置，都不可能是三角形.

故選：A.

【變式2-1]（2024?河南?模擬預(yù)測）在正方體ABCD-AiBiCi%中,M,N分別為4D,的小的中點，過

M,N,%三點的平面截正方體48CD-4道停1。1所得的截面形狀為（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【解題思路】在上取點Q,且BQ=34Q,取CD中點為P,在。小上取點R,且=3DR通過

△QAMMPCB,可得乙4QM=Z_8PC,進而得出乙4BP=N4QM,QM||BP.通過證明&N||BP,得出名

NIIQM.同理得出NR||BiQ,即可得出正方體的截面圖形.

4Di

B1

R

D

【解答過程】

在28上取點Q,且BQ=34Q,取CD中點為P,連接QM,BP,NP,BiQ.

在DD1上取點R,且DiR=3DR,連結(jié)NR,MR.

因為券=翳=^^QAM=^PCB,

所以△QAM“Z\PCB,所以N4QM=NBPC.

5LAB||CD,所以N4BP=NBPC,所以〃BP=N4QM,

所以，QMIIBP.

因為MP分別為Ci%CD的中點,所以PNIICCi，且PN=eg.

根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知BBi||CCi，且BBi=CCi，

所以，PN||BBr，且PN=BBi，

所以，四邊形BPMBi是平行四邊形，

所以，Bj_N||BP,所以&NIIQM.

同理可得，NR||BiQ.

所以，五邊形QMRNBi即為所求正方體的截面.

故選：B.

【變式2-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底

面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（）

【解題思路】應(yīng)用空間想象，討論截面與軸截面的位置關(guān)系判斷截面圖形的形狀即可.

【解答過程】當截面4BCD如下圖為軸截面時，截面圖形如（1）所示；

B

D

當截面力BCD如下圖不為軸截面時，截面圖形如（5）所示，下側(cè)為拋物線的形狀;

故選：D.

【變式2-3](2024?江西?模擬預(yù)測)已知在長方體ABCD—2/iCiDi中，AB=BB]=2BC,點P,Q,T分

別在棱BBi，CCi和2B上，且B』=3BP,CQ=3C1Q,BT=3AT,則平面PQ7截長方體所得的截面形狀為

()

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【解題思路】連接QP并延長交CB的延長線于點E,連接ET并延長交4。于點S,

過點S作SR〃EQ交DDi于點R,連接RQ,即可得到截面圖形，從而得解.

【解答過程】如圖連接QP并延長交CB的延長線于點E,連接ET并延長交4。于點S,

過點S作SR〃EQ交￡?小于點R,連接RQ,

則五邊形PQRST即為平面PQT截該長方體所得的截面多邊形.

其中因為BiP=3BP,CQ=3CiQ,BT=3AT,

所以△EBPFECQ,則霧=胃=1所以

又△SATFEBT,所以尊=篇=5，所以S4=2EB=91D,

CDIDODO

則SD=|AD,

顯然S則崔=學(xué)，所以以=為。=得31=為。1.

ASDRAECQ,c.c<-<vyiziz

故選：c.

【題型3截面圖形的周長或面積問題】

【例3】（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測）正方體48CD-4當前小外接球的體積為4例，E、F、G分別為棱441

、4/1、4道1的中點，則平面EFG截球的截面面積為（）

A.yB.yC.yD.J

【解題思路】由已知，得到正方體ABCD-aiBiCi小外接球的半徑，進而得到正方體的棱長，再由勾股定理

計算出平面EFG截球的截面圓的半徑，即可得到截面面積.

設(shè)正方體4BCD-4/1C1D1外接球的半徑為R,棱長為a,

因為正方體48CD-4/1的。1外接球的體積為4南，

所以-4V玉T,貝|JR=V3,

由3a2=（2遮）,得a=2,

設(shè)球心0到平面EFG的距離為h,平面EFG截球的截面圓的半徑為r,

設(shè)力倒平面EFG的距離為憶

因為E、尸、G分別為棱441、乙4、4道1的中點,

所以△EFG是邊長為a的正三角形,

由七1一￡尸6=得，"=5s△&FG，4且

貝吟x：x魚x魚x^-h'=|x|xlxlxl,

解得〃=率又OZL/C=逐

所以占到平面EFG的距離為〃=*Mi，

則h=。&—Mi=R-^R=竽，

r2-R2—八2=（b）2_偌1）=’

所以平面EFG截球的截面面積為，豆#=|1T.

故選：A.

【變式3-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AiBiCiDi中，E為棱5C的中點,

用過點E,Q的平面截正方體，則截面周長為（）

O

AD

A.3V2+2V5B.9C.2a+2亞D.3V2+2V3

【解題思路】作出正方體的截面圖形，求出周長即可.

【解答過程】

ByC.

AD

如圖，取48的中點G,連接GE,&G,AC.

因為E為3c的中點，所以GE〃47,GE=\AC,

又AA、〃CC\,AA1=CC1,

所以四邊形acci&為平行四邊形，

所以ac〃4iG，AC=A1C1,

所以41CJ/GE,A1C1=2GE,

所以用過點E,Ci的平面截正方體，所得截面為梯形4C1EG,

其周長為2V^+V5+V2+V5=3V2+2V5.

故選：A.

【變式3-2］（2024?江蘇南通?二模）在棱長為2的正方體ABC。-中，P,Q,R分別為棱8C,CD,

CCi的中點，平面PQR截正方體力BCD-a/iCi/外接球所得的截面面積為（）

.5口8n2V15_

A.-nB.犯C.yTTD.—Tt

【解題思路】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)確定外接球半徑R,設(shè)球心為。，求解。到截面PQR的距離OM,從而可

得截面圓的面積.

【解答過程】取正方體的中心為。，連接。P,OQ,OR,

由于正方體的棱長為2,所以正方體的面對角線長為2a，體對角線長為2VJ，

正方體外接球球心為點。，半徑R=1x2V3=V3,

又易得?！?。（2=。/?=3*2魚=或，豆PQ=PR=QR=3x2a=E

所以三棱錐O-PQ